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必要条件と十分条件 《解説》 ■ 数学で用いられる「必要条件」「十分条件」という用語は，日常生活で用いられる”必要"，"十分"とは異なるものです． 数学上の必要条件，十分条件は， pならばq （記号では，p→q） という関係が成り立つかどうかで決まります． pならばq （記号では，p→q）が成り立つとき，
「pはqであるための十分条件」
といいます．
「qはpであるための必要条件」 ■
十分必要条件とはいいません．
■
p→q と p←q のどちらも成り立たないとき pはqであるための必要条件でも十分条件でもありません．
※１つの命題（判断や主張）について「必要条件」とか「十分条件」ということは言いません．
「必要条件」や「十分条件」は２つの命題の『関係』について述べたものです．
２つの命題（１つの判断を述べた文章や式で，正しいか正しくないかが定まるものを命題といいます．）があるときに，一方が他方の必要条件あるいは十分条件といういい方をし，ある命題１つについてそれ自体で必要条件とか十分条件とかということはいえません．
［例１］
シェパード→犬，犬→動物 です． そこで，犬であることは，シェパードであるための必要条件です． また，犬であることは，動物であるための十分条件です． しかし，犬だけで，必要とか十分とかの議論はしません． ［例２］ ｘ＞１→ｘ＞０，ｘ＞２→ｘ＞１ です． そこで，ｘ＞１はｘ＞０であるための十分条件です．ｘ＞０はｘ＞１であるための必要条件です． また，ｘ＞２はｘ＞１であるための十分条件です．ｘ＞１はｘ＞２であるための必要条件です． |
≪覚え方≫正しい推論で一方から他方が得られるとき，その矢印は「成立」すると考えます． 図示できるときは，中に入っている方（卵の黄身）が十分条件です． |
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［例３］
「ｍａ＝ｍｂ は ａ＝ｂ であるための何条件ですか」という問題があるとき，  ○ ｍａ＝ｍｂ → ｍ（ａ−ｂ）＝０ → ｍ＝０またはａ−ｂ＝０ ［ａ＝ｂに行くとは限らず，ｍ＝０に行くこともある］ ○ ａ＝ｂ → ｍａ＝ｍｂ （両辺に同じ数を掛けても等しい）， だから，  ※ 上の説明において，「ｍａ＝ｍｂ → ａ−ｂ＝０」が成り立たないことは，１つの例 ｍ＝０，ａ＝1，ｂ＝２ を示すだけで証明できます．このように，ある命題（主張）ｐ→ｑが成り立たないことを示す例は「反例」と呼ばれます． ○ ｐ→ｑ の反例としては，「ｐが成り立ち」かつ「ｑが成り立たない」ものでなければなりません． ○ ｐ→ｑ は （すべての）「ｐについてｑが成り立つ」の省略なので，「１つでもｐであってかつｑでないもの」があれば，ｐ→ｑが間違っていることになります．しかし，「あるｐについてｑが成り立つ」ことを示しても他のｐについてｑが成り立つことは示せていないから，ｐ→ｑが成立することの証明にはなりません． このように
例を幾つ示しても成り立つことの証明にはなりません．
反例を１つ示せば成り立たないことの証明になります． |
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