センター試験問題必要条件・十分条件

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数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学ⅠＡの集合・命題・証明について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓集合の要素
↓集合の表わし方
↓部分集合，包含関係
↓共通部分と和集合
↓補集合　
↓共通部分,和集合,補集合(練習問題)
↓ド・モルガンの法則
↓集合(楽しく初歩から)
↓オイラー図
↓集合の要素を用いた証明

↓p→qの真偽
↓逆・裏・対偶
↓必要条件，十分条件（等式）
↓同（不等式）

↓対偶証明法と背理法
↓背理法の入試問題
↓受験向き：条件・集合
↓必要条件，十分条件のセンター試験問題
↓同(2)

↓集合と条件(3)2013～
必要条件，十分条件(入試問題)

== 必要条件・十分条件･･･センター試験問題 ==

【センター試験 2006年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　aは実数とし，bは0でない実数とする．aとbに関する条件p, q, rを次のように定める．

p：a, bはともに有理数である
q：a+b, abはともに有理数である

r：.

abnは有理数である

(1) 次のスに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ．
条件pの否定——pwはスである．

0「a, bはともに有理数である」
1「a, bはともに無理数である」
2「a, bの少なくとも一方は有理数である」
3「a, bの少なくとも一方は無理数である」

ス→ 解説を読む解説を隠す

ド・モルガンの法則

（pかつq）の否定は，（pでない，または，qでない）
（pまたはq）の否定は，（pでない，かつ，qでない）

※否定にすると「かつ」「または」がひっくり返る

を使います．
（aは有理数かつbは有理数）の否定は
（aは無理数またはbは無理数）
あとは国語表現の言い換えとして「または」を「少なくとも一方は」に置き換えます．3

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
　aは実数とし，bは0でない実数とする．aとbに関する条件p, q, rを次のように定める．

p：a, bはともに有理数である
q：a+b, abはともに有理数である

r：.

abnは有理数である

(2) 次のセに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ．
条件「qかつr」は条件pが成り立つためのセ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが十分条件ではない

2十分条件であるが必要条件ではない

3必要条件でも十分条件でもない

セ→ 解説を読む解説を隠す

　必要条件，十分条件を判断するためには，とりあえず次のように矢印を２つ書いてどちらが成り立つかを考えます．

　成り立たないことを示すには「反例」（仮定が成り立ってかつ結論が成り立たないもの）を１つ示せばよい．
　成り立つことを示すには，「正しい変形で導けること」「集合を図で示したときに包含関係が示せること」などを利用します．難しいときは対偶で示してもよい．
→の成否？：
a=.

√2√ni, b=−.

√2√niのとき，

a+b=0は有理数，.

abn=−1は有理数であるが，a, bは有理数ではないから×
←の成否？：
有理数の和，積，商は有理数だから○
以上により，1

p：a, bはともに有理数である
q：a+b, abはともに有理数である

r：.

abnは有理数である

(3) 次の0～7のうち，正しいものはソである．

0「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である．

1「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である．

2「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である．

3「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である．

4「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は真である．

5「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は真，「p⇒q」の対偶は偽である．

6「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は真である．

7「p⇒q」は偽，「p⇒q」の逆は偽，「p⇒q」の対偶は偽である．

ソ→ 解説を読む解説を隠す

　次の図において右向き矢印→は成立します．

　左向きについては，成り立たない例を考えます．
a=.

√2√ni, b=−.

√2√niのとき，
a+b=0は有理数，ab=−2は有理数であるが，a, bは有理数ではないから×
　ここまでで，「p⇒q」は真，「p⇒q」の逆すなわち「q⇒p」は偽
　次に，対偶「qでない⇒pない」の真偽は，「p⇒q」の真偽と一致するから真．
　以上により，2

【センター試験 2007年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　集合A, Bを
　A={ n | nは10で割り切れる自然数 }
　B={ n | nは4で割り切れる自然数 }
とする．

(1)　次のカとキに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つずつ選べ．

自然数nがAに属することは，nが2で割り切れるためのカ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

カ→ 解説を読む解説を隠す

10で割り切れるならば，n=10k=2(5k)となって2で割り切れるが，逆は言えない．（反例として，n=4は10では割り切れない）
→2

自然数nがBに属することは，nが20で割り切れるためのキ．

キ→ 解説を読む解説を隠す

20で割り切れるならば，n=20k=4(5k)となって4で割り切れるが，逆は言えない．（反例として，n=8は20では割り切れない）
→1

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
　集合A, Bを
　A={ n | nは10で割り切れる自然数 }
　B={ n | nは4で割り切れる自然数 }
とする．

(2)　次のク～コに当てはまるものを，下の0～7のうちから一つずつ選べ．
C={ n | nは10と4のいずれでも割り切れる自然数 }
D={ n | nは10でも4でも割り切れない自然数 }
E={ n | nは20で割り切れない自然数 }
とする．自然数全体の集合を全体集合とし，その部分集合Gの補集合を——Gwで表すとき

C=ク，D=ケ，E=コ
である．

0A∪B 1A∪——Bw 2——Aw∪B 3——————A∪Bwww

4A∩B 5A∩ ——Bw 6——Aw∩B 7——————A∩Bwww

ク→ 解説を読む解説を隠す

※この問題は，ストレートな問題なので，是非できるようにしたいものです．（なお，集合Gというのは，この問題で具体的な集合として示されているのではなく，記号 ——GwはGの補集合を表すという［教科書に書いてある記号の使い方の説明をしている］だけであることに注意）
10でも4でも割り切れるのだから，A∩B→4

ケ→ 解説を読む解説を隠す

——Aw ∩ ——Bwになりますが，
ド・モルガンの法則により，これは——————A∪Bwwwに等しい．→3

コ→ 解説を読む解説を隠す

20で割り切れる⇔10でも4でも割り切れる
だから，——Ew=A∩B
したがって，E=——————A∩Bwww
※少し考える必要があるのは，この問題だけで，他は教科書程度の平易な問題です．

【センター試験 2008年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　次のケ～シに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
　自然数m, nについて，条件p, q, rを次のように定める．

p：m+nは2で割り切れる
q：nは4で割り切れる
r：mは2で割り切れ，かつnは4で割り切れる

また，条件pの否定を ——pw ，条件rの否定を ——rw で表す．このとき

pはrであるためのケ．

——pw は ——rw であるためのコ．

「pかつq」はrであるためのサ．

「pまたはq」はrであるためのシ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

ケ→ 解説を読む解説を隠す

次のどちら向きの矢印が成立するかを調べます．
→?
m=1, n=3のとき
m+nは2で割り切れるが
mは2で割り切れないし，nは4で割り切れない．［×］
←?
m=2s, n=4t（s, tは自然数）のとき
m+n=2s+4t=2(s+2t)は2で割り切れる［○］
以上により，1

コ→ 解説を読む解説を隠す

ケの問題に対して対偶を考えると，直ちに結果が得られます．
p←○×→rの対偶の真偽は，元の真偽と一致するから
——pw←×○→——rw
したがって，2

サ→ 解説を読む解説を隠す

(p and q)→?r
m+n=2s, n=4t（s, tは自然数）のとき
m=2s−4t=2(s−2t)は2で割り切れる
n=4tは4で割り切れる［○］
(p and q)?←r
m=2s, n=4t（s, tは自然数）のとき
m+n=2(s+2t)は2で割り切れる
n=4tは4で割り切れる［○］
したがって，0

シ→ 解説を読む解説を隠す

サの結果から，(p or q)○←→×(p and q)⇔rと予想されるが，一応確かめておく方がよい．
→?
m=1, n=3のとき
m+nは2で割り切れるからp成立，nは4で割り切れないからq不成立．このとき(p or q)は成立するが，r不成立
←はサの結果から成立する
したがって，1

【センター試験 2009年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　実数aに関する条件p, q, rを次のように定める．

p：a2≧2a+8
q：a≦−2またはa≧4
r：a≧5

(1)　次のクに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ．

qはpであるためのク

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

ク→ 解説を読む解説を隠す

a2≧2a+8 ⇔ a2−2a−8≧0
⇔ (a+2)(a−4)≧0 ⇔ a≦−2, 4≦a
したがって，p ⇔ q：0

(2)　条件qの否定を ——qw ，条件rの否定を ——rwで表す．

　次のケ，コに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

命題「pならばケ」は真である．

ケ→ 解説を読む解説を隠す

p ⇔ q ← rだから
条件p, q, rを集合P, Q, Rで図示すると

Pが含まれるのはQ∪——Rw：1
Pに含まれるのはQ∩——Rw：0

命題「コならばp」は真である．

0qかつ——rw

1qまたは——rw

2——qwかつ——rw

3——qwまたは——rw

コ→ 解説を読む解説を隠す

p ⇔ q ← rだから
条件p, q, rを集合P, Q, Rで図示すると

Pが含まれるのはQ∪——Rw：1
Pに含まれるのはQ∩——Rw：0

【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　次のケ～サに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．また，シに当てはまるものを，下の4～7のうちから一つ選べ．

自然数nに関する条件p, q, r, sを次のように定める．
p：nは5で割ると1余る数である
q：nは10で割ると1余る数である
r：nは奇数である
s：nは2より大きい素数である

また，条件rの否定を ——rw，条件sの否定を ——swで表す．このとき

「pかつr」はqであるためのケ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

ケ→ 解説を読む解説を隠す

p, q, rは各々5, 10, 2で割ったときの余りで述べられているので，これらの最小公倍数10で割ったときの余りで表すと
p：5で割ると1余る →

n=5k+1=5(2s)+1=10s+1
n=5k+1=5(2s+1)+1=10s+6

q：10で割ると1余る →

n=10s+1

r：2で割ると1余る →

n=2l+1=2(5s)+1=10s+1
n=2l+1=2(5s+1)+1=10s+3
n=2l+1=2(5s+2)+1=10s+5
n=2l+1=2(5s+3)+1=10s+7
n=2l+1=2(5s+4)+1=10s+9

したがって，pかつr：n=10s+1
q：n=10s+1
（pかつr）はqであるための必要十分条件0

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
自然数nに関する条件p, q, r, sを次のように定める．
p：nは5で割ると1余る数である
q：nは10で割ると1余る数である
r：nは奇数である
s：nは2より大きい素数である

——rwは——swであるためのコ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

コ→ 解説を読む解説を隠す

r：n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
——rw：n=1,2,3,4,5,6,7,8,...
s：n=1,2,3,4,5,6,7,8,...
——sw：n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,...
したがって，——rw←×○→——sw：十分条件2
（別解）
２よりも大きい素数は奇数である：s→rは成立
奇数であるからといって素数であるとは限らない：r→sは不成立
したがって，r←○×→s
対偶をとって，——rw←×○→——sw：十分条件2

「pかつs」は「qかつs」であるためのサ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

サ→ 解説を読む解説を隠す

5で割ると1余る数でかつ2よりも大きい素数（奇数）になるのは
11,31,41,61,..
これは10で割ると1余る数でかつ2よりも大きい素数と同じ：必要十分条件0

　自然数全体の集合を全体集合Uとし，条件pを満たす自然数全体の集合をP，条件rを満たす自然数全体の集合をR，条件sを満たす自然数全体の集合をSとすると，P, R, Sの関係を表す図はシである．

シ→ 解説を読む解説を隠す

P={1,6,11,16,21,26,31,...}
R={1,3,5,7,9,11,13,...}
S={3,5,7,11,13,17...}
だから，S⊂RかつP, Rは各々固有の要素がある
5,6に絞るとP∩S={11,...}が存在するから5

【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（追試験）第１問［２］】

　1から100までのすべての自然数の集合を全体集合Uとし，その部分集合A, B, Cを次のように定義する．

A={ x | xは偶数 }
B={ x | xは3の倍数 }
C={ x | xは4の倍数 }

(1) A, B, Cの関係を表す図は，次の0～3のうちセである．

01

セ→ 解説を読む解説を隠す

集合の要素を具体的に列挙して考える場合：

A={2,4,6,8,10,12,...}

B={6,9,12,...}

C={4,8,12,...}

C⊂A
AとBは各々固有の要素も共通の要素もある
CとBは各々固有の要素も共通の要素もある
以上より，0

（スマホでは画面が小さいので，元の条件を再掲しておきます）
　1から100までのすべての自然数の集合を全体集合Uとし，その部分集合A, B, Cを次のように定義する．
A={ x | xは偶数 }
B={ x | xは3の倍数 }
C={ x | xは4の倍数 }

(2) Cの補集合を——Cwで表す．また，xが集合Sの要素であることをx∈Sと表す．

x∈Cはx∈A∩Bであるためのソ．
x∈A∩——Cwはx∈Aであるためのタ．
x∈A∪Bは「x∈A∩——Cwまたはx∈B」であるためのチ．
x∈A∪Bは「x∈Aまたはx∈B∩——Cw」であるためのツ．

　ソ～ツに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件ではない

2十分条件であるが，必要条件ではない

3必要条件でも十分条件でもない

ソ→ 解説を読む解説を隠す

上記の結果を参考にすると
x∈Cかつx∈A∩Bでないものがある：例x=4
したがってx∈C→x∈A∩Bは×
x∈A∩Bであってx∈Cでないものがある：例x=6
したがってx∈A∩B→x∈Cは×
以上により，必要でも十分でもない3

タ→ 解説を読む解説を隠す

x∈A∩——Cwならばx∈Aは図により明らか
x∈Aであって，かつx∈A∩——Cwでないものとしてx∈Cであるものが該当するから，例えば4, 8,..がこの命題が成り立たないことの反例となる
以上により，x∈A∩——Cw←×○→x∈A：十分条件2

チ→ 解説を読む解説を隠す

x∈A∪B←「x∈A∩——Cwまたはx∈B」は図により明らか
x∈A∪B→「x∈A∩——Cwまたはx∈B」が成り立たないことを示す反例としては，x∈A∪Bであって，かつ，「x∈A∩——Cwまたはx∈B」でないものがあることを示せばよい．
x∈C∩——Bwとなるもの：例えば4, 8,..が反例となる．
以上により，x∈A∪B←○×→「x∈A∩——Cwまたはx∈B」：必要条件1

ツ→ 解説を読む解説を隠す

x∈A∪B←○○→「x∈Aまたはx∈B∩——Cw」
は図により明らか
したがって，必要十分条件0

【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　実数a, bに関する条件p, qを次にように定める．

p：(a+b)2+(a−2b)2<5
q：|a+b|<1または|a−2b|<2

(1) 次の0～3のうち，命題「q⇒p」に対する反例になっているのはチである．

0a=0, b=0 1a=1, b=0
2a=0, b=1 3a=1, b=1

チ→ 解説を読む解説を隠す

「q⇒p」が成り立たないことを示す反例は，qを満たし，かつ，pを満たさないものです．
a=0, b=0→q○，p○→反例でない
a=1, b=0→q（×または○）で○，p○→反例でない
a=0, b=1→q（×または×）で×，p×→反例でない
a=1, b=1→q（×または○）で○，p×→反例となる
以上により，3

(2) 命題「p⇒q」の対偶は「ツ⇒テ」である．
　ツ，テに当てはまるものを，次の0～7のうちから一つずつ選べ．

0|a+b|<1かつ|a−2b|<2 1(a+b)2+(a−2b)2<5
2|a+b|<1 または|a−2b|<2 3(a+b)2+(a−2b)2≦5
4|a+b|≧1かつ|a−2b|≧2 5(a+b)2+(a−2b)2>5
6|a+b|≧1または|a−2b|≧2 7(a+b)2+(a−2b)2≧5

ツテ→ 解説を読む解説を隠す

「p⇒q」の対偶は「——qw⇒——pw」
ここで，
——pwは，(a+b)2+(a−2b)2≧5
——qwは，ド・モルガンの法則：——————————aまたはbwwwww=——awかつ——bwにより
|a+b|≧1かつ|a−2b|≧2

(3) pはqであるためのト．
　トに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つ選べ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件ではない

2十分条件であるが，必要条件ではない

3必要条件でも十分条件でもない

ト→ 解説を読む解説を隠す

(1)(2)を利用して(3)を求める形になっている誘導問題だと考えるとよい．
(1)により，「q⇒p」は×．
(2)により，「p⇒q」の成否はその対偶「（|a+b|≧1かつ|a−2b|≧2）⇒(a+b)2+(a−2b)2≧5」と真偽が一致するから，これで調べる．
（|a+b|≧1かつ|a−2b|≧2）ならば（(a+b)2≧1かつ|a−2b|≧2）だから（(a+b)2+(a−2b)2≧5）は○．
以上により，p←×○→q：十分条件2

（別解）
a+b=x, a−2b=yとおいて図示すると右図のようになるから，p→q：十分条件2

※茶色の箇所は，スマホ画面で見やすいように，本来の記述個所から転記したもの．

【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（追試験）第１問［２］】

　m, nを整数とする．
　次のク，コに当てはまるものを，下の0～5のうちから一つずつ選べ．また，次のケ，サに当てはまるものを，下の6～9のうちから一つずつ選べ．ただし，ケ，サには，同じものを繰り返し選んでよい．

(1) m, nに関する条件p, qを次のように定める．

p：m, nの少なくとも１つは3の倍数でない
q：m+n, m−nの少なくとも１つは3の倍数でない

pの否定——pwはク．

0m, nの少なくとも１つは3の倍数である

1m, nはともに3の倍数である

2m, nはともに3の倍数でない

3m, nはともに奇数である

4m, nはともに偶数である

5m, nのうち一方だけが偶数である

ク→ 解説を読む解説を隠す

ド・モルガンの法則で考えます．
——awまたは——bw=————————aかつbwwww
だから

————————————————awまたは——bwwwwwwww=aかつb
「mは3の倍数でない，または，nは3の倍数でない」の否定は
「mは3の倍数である，かつ，nは3の倍数である」

p：m, nの少なくとも１つは3の倍数でない
q：m+n, m−nの少なくとも１つは3の倍数でない

pはqであるためのケ．

6必要十分条件である

7必要条件であるが，十分条件でない

8十分条件であるが，必要条件でない

9必要条件でも十分条件でもない

ケ→ 解説を読む解説を隠す

上の問題をヒントにして，対偶：
——pw←??→——qwについての成否で考えます．
——pw：「m=3k，かつ，n=3l (k,lは整数)」
——qw：「m+n=3s，かつ，m−n=3t (s,tは整数)」
となるから
——pw⇒「m+n=3(k+l)，かつ，m−n=3(k−l)」⇒——qwは成立

——qw⇒「m+n=3s，かつ，m−n=3t」
⇒m=.

3(s+t)2nnnnnn, n=.

3(s−t)2nnnnnn

m,nは整数だから
s+t=2K, s−t=2L
m=3K, n=3L
⇒——pwが成立
以上により，——pwと——qwとは互いに必要十分条件
対偶をとって，pとqとは互いに必要十分条件

(2) m, nに関する条件r, sを次のように定める．

r：m, nの少なくとも１つは4の倍数でない
s：m+n, m−nの少なくとも１つは4の倍数でない

sの否定——swが成立するならば，コ．

0m, nの少なくとも１つは3の倍数である

1m, nはともに3の倍数である

2m, nはともに3の倍数でない

3m, nはともに奇数である

4m, nはともに偶数である

5m, nのうち一方だけが偶数である

コ→ 解説を読む解説を隠す

——sw

→m+n=4k, m−n=4l
→2m=4(k+l),2n=4(k−l)
→m=2(k+l),n=2(k−l)
m, nはともに偶数である4

rはsであるためのサ．

6必要十分条件である

7必要条件であるが，十分条件でない

8十分条件であるが，必要条件でない

9必要条件でも十分条件でもない

サ→ 解説を読む解説を隠す

対偶で考える．
——rw：m,nはともに4の倍数である

→m=4k, n=4l
→m+n=4(k+l), m−n=4(k−l)
→——swが成立

——sw：m+n,m−nはともに4の倍数である

→m+n=4s, m−n=4t
たとえば，m=2, n=2のとき，m+n=4, m−n=0はともに4の倍数であるが，m,nは（どちらも）4の倍数でないから，——rwは成立しない．

以上により，

——rw←×○→——sw
対偶をとるとr←○×→s：必要条件7

※茶色の箇所は，スマホ画面で見やすいように，本来の記述個所から転記したもの．

【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　kを定数とする．自然数m, nに関する条件p, q, rを次のように定める．

p：m>kまたはn>k
q：mn>k2
r：mn>k

(1) 次のクに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ．

pの否定——pwはクである．

0m>kまたはn>k
1m>kかつn>k
2m≦kかつn≦k
3m≦kまたはn≦k

ク→ 解説を読む解説を隠す

ド・モルガンの法則：——————————aまたはbwwwww=——awかつ——bwにより，
——pw：m≦kかつn≦k2

(2) 次のケ～サに当てはまるものを，下の0～3のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

(i) k=1とする．

pはqであるためのケ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

ケ→ 解説を読む解説を隠す

m, nはともに自然数（≧1を前提として）対偶で調べる．

——pw：「m≦1かつn≦1」ならば，mn≦1だから——qwが成立

——qw：mn≦1ならば「m≦1かつn≦1」だから——pwが成立

ゆえに，——pw←○○→——qw
対偶をとると，p←○○→q：必要十分条件0

(ii) k=2とする．

pはrであるためのコ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

コ→ 解説を読む解説を隠す

m, nはともに自然数（≧1を前提として）対偶で調べる．
——pw：「m≦2かつn≦2」
——rw：mn≦2

——pw：「m≦2かつn≦2」が成り立っても，m=2, n=2のときはmm=4となって，——rwは成立しない

——rw：mn≦2ならば，「m≦2かつn≦2」だから，——pwは成立する

以上により，——pw←○×→——rw
対偶をとると，p←×○→r：十分条件2

p：m>kまたはn>k
q：mn>k2
r：mn>k

pはqであるためのサ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件でない

2十分条件であるが，必要条件でない

3必要条件でも十分条件でもない

サ→ 解説を読む解説を隠す

m, nはともに自然数（≧1を前提として）対偶で調べる．
——pw：「m≦2かつn≦2」
——qw：mn≦4

——pw：「m≦2かつn≦2」ならばmn≦4となって，——qwは成立する

——qw：mn≦4であってもm=1, n=4のときは「m≦2かつn≦2」が成り立っていないから，——pwは成立しない

以上により，——pw←×○→——qw
対偶をとると，p←○×→q：必要条件1

【センター試験 2013年度：数学Ｉ・Ａ（本試験）第１問［２］】

　三角形に関する条件p, q, rを次のように定める．

p：三つの内角がすべて異なる
q：直角三角形でない
r：45°の内角は一つもない

　条件pの否定を——pwで表し，同様に——qw, ——rwはそれぞれ条件q, rの否定を表すものとする．

(1) 命題「r⇒（pまたはq）」の対偶は「ク⇒——rw」である．

クに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つ選べ．

0（pかつq）1（——pwかつ——qw）

2（——pwまたはq）3（——pwまたは——qw）

ク→ 解説を読む解説を隠す

r⇒（pまたはq）の対偶は
（pまたはq）でない⇒（r）でない
仮定の部分にド・モルガンの法則を用いると
（——pwかつ——qw）⇒——rw1

(2) 次の0～4のうち，命題「（pまたはq）⇒r」に対する反例となっている三角形はケとコである．

ケとコに当てはまるものを，次の0～4のうちから一つずつ選べ．ただし，ケとコの解答の順序は問わない．

0直角二等辺三角形
1内角が30°，45°，105°の三角形
2正三角形
3三辺の長さが3, 4, 5の三角形
4頂角が45°の二等辺三角形

ケコ→ 解説を読む解説を隠す

（pまたはq）○，r×となるものが反例になる．
直角二等辺三角形：（p×，q×）だから（pまたはq）×，r×
内角が30°，45°，105°の三角形：（p○，q○）だから（pまたはq）○，r×
正三角形：（p×，q○）だから（pまたはq）○，r○
三辺の長さが3, 4, 5の三角形：（p○，q×）だから（pまたはq）○，r○
頂角が45°の二等辺三角形：（p×，q○）だから（pまたはq）○，r×
以上から，○⇒×になるのは，14

(3) rは（pまたはq）であるためのサである．

サに当てはまるものを，次の0～3のうちから一つ選べ．

0必要十分条件である

1必要条件であるが，十分条件ではない

2十分条件であるが，必要条件ではない

3必要条件でも十分条件でもない

サ→ 解説を読む解説を隠す

(1)の結果を用いてr⇒（pまたはq）の真偽をその対偶
（——pwかつ——qw）⇒——rwで調べると

（少なくとも1組の内角が等しい，かつ，直角三角形）ならば直角二等辺三角形になるから，45°の内角がある．
よって，その対偶：r⇒（pまたはq）は真

(1)の結果から，（pまたはq）⇒rは偽

したがって，十分条件2

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