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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学ⅠＡの集合・命題・証明について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓集合の要素
↓集合の表わし方
↓部分集合，包含関係
↓共通部分と和集合
↓補集合　
↓共通部分,和集合,補集合(練習問題)
↓ド・モルガンの法則
↓集合(楽しく初歩から)
↓オイラー図
↓集合の要素を用いた証明
↓p→qの真偽
↓逆・裏・対偶
↓必要条件，十分条件（等式）
↓同（不等式）
↓対偶証明法と背理法
↓背理法の入試問題
↓受験向き：条件・集合
↓必要条件，十分条件のセンター試験問題
↓同(2)
↓集合と条件(3)2013～
必要条件，十分条件(入試問題)

【問題1】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) A={1, 2, 3, 4}, B∪C={2, 3, 4, 5, 6, 7}だから
　A∩(B∪C)={2, 3, 4} ⇒ ×
(2) A={1, 2, 3, 4}, B∩C={3, 6}だから
　A∪(B∩C)={1, 2, 3, 4, 6} ⇒ 〇
(3) A∩B={2, 3}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∩B)∪C={2, 3, 4, 6, 7} ⇒ ×
(4) A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∪B)∩C={3, 4, 6} ⇒ ×
以上から，(2)が正解 →解説を隠す←

【問題2】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) A∪C={1, 2, 3, 4, 6, 7}, B={2, 3, 5, 6}だから
　(A∪C)∩B={2, 3, 6} ⇒ 〇
(2) A∩C={3, 4}, B={2, 3, 5, 6}だから
　(A∩C)∪B={2, 3, 4, 5, 6} ⇒ ×
(3) A∩B={2, 3}, A∩C={3, 4}だから
　(A∩B)∪(A∩C)={2, 3, 4} ⇒ ×
(4) A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A∪C={1, 2, 3, 4, 6, 7}だから
　(A∪B)∩(A∪C)={1, 2, 3, 4, 6} ⇒ ×
以上から，(1)が正解
→解説を隠す←

【問題3】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) B={1, 4, 7, 8}だから⇒ ×
(2) A∩B={1, 4}, C∩B={4, 7}だから
　(A∩B)∪(C∩B)={1, 4, 7} ⇒ 〇
(3) A∩C={3, 4}, B={1, 4, 7, 8}だから
　(A∩C)∪B={1, 3, 4, 7, 8} ⇒ ×
(4) A∩C={3, 4}, B∩C={4, 7}だから
　(A∩C)∪(B∩C)={3, 4, 7} ⇒ ×
以上から，(2)が正解
→解説を隠す←

【問題4】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) A={1, 2, 3, 4}, B∪C={1, 3, 4, 6, 7, 8}だから
　A∩(B∪C)={1, 3, 4}⇒ ×
(2) A={1, 2, 3, 4}, B∩C={4, 7}だから
　A∩(B∩C)={4} ⇒ ×
(3) A={1, 2, 3, 4}, B={1, 4, 7, 8}だから
　A∩B={1, 4} ⇒ 〇
(4) A∩B={1, 4}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∩B)∪C={1, 3, 4, 6, 7} ⇒ ×
以上から，(3)が正解
→解説を隠す←

【問題5】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) C={3, 4, 6, 7}, A∩B={7, 8}だから
　C∩(A∩B)={7}⇒ ×
(2) C={3, 4, 6, 7}, A∪B={1, 4, 5, 6, 7, 8}だから
　C∩(A∪B)={4, 6, 7} ⇒ 〇
(3) A={1, 2, 3, 4}, B∩C={1, 2, 4, 5, 7, 8}だから
　A∩(B∩C)={1, 2, 4} ⇒ ×
(4) A={1, 2, 3, 4}, B∪C={1, 8}だから
　A∩(B∪C)={1} ⇒ ×
以上から，(2)が正解
→解説を隠す←

【問題6】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) A∪B={2, 3, 5, 6, 7, 8}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∪B)∩C={3, 6, 7}⇒ ×
(2) A={5, 6, 7, 8}, B∩C={3, 6}だから
　A∪(B∩C)={3, 5, 6, 7, 8} ⇒ ×
(3) A={1, 2, 3, 4}, B∩C={4, 7}だから
　A∪(B∩C)={1, 2, 3, 4, 7} ⇒ ×
(4) A∪B={1, 2, 3, 4, 7, 8}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∪B)∩C={3, 4, 7} ⇒ 〇
以上から，(4)が正解
→解説を隠す←

【問題7】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) A={1, 2, 3, 4}, B∪C={1, 8}だから
　A∩(B∪C)={1}⇒ ×
(2) A∩B={1, 4, 5, 6, 7, 8}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∩B)∪C={1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ⇒ ×
(3) A∪B={7, 8}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∪B)∩C={7} ⇒ 〇
(4) A={1, 2, 3, 4}, B∩C={1, 2, 4, 5, 7, 8}だから
　A∪(B∩C)={1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} ⇒ ×
以上から，(3)が正解
→解説を隠す←

【問題8】☆
　右図の赤線で囲まれた部分に対応する集合を，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
(1) A∪B={1, 2, 3, 4, 7, 8}, A∪C={3, 4, 5, 6, 7, 8}だから
　(A∪B)∩(A∪C)={3, 4, 7, 8}⇒ ×
(2) A∩B={1, 4}, A∩C={6, 7}だから
　(A∩B)∪(A∩C)={1, 4, 6, 7} ⇒ 〇
(3) A∪B={7, 8}, A∪C={1, 2, 3, 4, 6, 7}だから
　(A∪B)∩(A∪C)={7} ⇒ ×
(4) A∩B={2, 3}, A∩C={1, 2, 5, 6, 7, 8}だから
　(A∩B)∪(A∩C)={1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} ⇒ ×
以上から，(2)が正解
→解説を隠す←

【問題9】☆
　Uを全体集合とし，A, B, CをUの部分集合とする．また，A, B, Cは
を満たすとする．ただし，Uの部分集合Xに対し，XはXの補集合を表す．
(1)　U, A, Bの関係を図1のように表すと，A∩Bは図2の斜線部分である．
このとき，Cはセの斜線部分である．
セについては，最も適当なものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ．




(2)　集合U, A, Cが であるとする．A∩B=A∩Cであることに注意すると
であることが分かる．また，Bの要素は全部でツ個あり，そのうちの最大のものはテトである．さらに，Uの要素xについて，条件p, qを次のように定める．
このとき，pはqであるためのナ．
ナの解答群

（解答）
(1)
　③の部分から①の部分を取り除いたものになるから，②･･･（答）
(2)
　A={3, 6, 9, 12, 15}
　C={1, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
だから
　A∩C={6, 12}･･･(答)
　B={2, 5, 6, 7, 11, 12, 13}の7個･･･(答)
Bの要素の最大のものは13･･･(答)
　p ⇔ {2, 5, 7, 11, 13}
　q ⇔ {5, 7, 11, 13}
だから
　q → p
pはqであるための「必要条件であるが，十分条件ではない」⓪･･･(答) →解説を隠す←

【問題10】★
　全体集合Xを30以下の自然数の集合とし，Xの部分集合A, Bをそれぞれ
とする．また，Xの部分集合Sに対して，Sの補集合をSと書くこととする．
(1)　A∩BとA∪Bを，それぞれ要素を書き並べる方法で表せ．
(2)　A∩Bの要素の個数を求めよ．
(3)　CをXの部分集合で，以下の4つの条件を満たすものとする．
このとき，C∩(A∪B)の要素の個数を求めよ．

（解答）
(1)
右図より
　A∩B={15, 30}
　A∪B={3,5,6,9,10,12,
15,18,20,21,24,
25,27,30}
(2)
右図の桃色で示した要素数を数える
　n(A∩B)=16個･･･（答）
(3)
• ド・モルガンの法則 : A∪B=A∩Bにより，(2)の結果を用いると，A∪Bの要素は，桃色で示したものになる
• Cの要素のうちで
したがって，C∩(A∪B)の要素の個数は1個･･･（答）
→解説を隠す←

※差集合は，今の高校数学の教科書には登場しない．発展学習としてはあり得る．

U A B

※差集合は，バックスラッシュ（$\mathrm{\setminus }$）を用いて
$A\mathrm{\setminus }B$の形で書かれることが多い．
※差集合がマイナスの演算（−）で表されるからと言って，和集合がプラスの演算（＋）で表されるのではない．A+Bなどという記号は定義されていない．AとBの和集合は，A∪Bで表す．
※AとBの共通部分のことを，AとBの積集合ということがあるが，その場合でも，A×Bなどという記号は用いない（この記号は直積という別のものを表すために用いる）．AとBの積集合は，A∩Bで表す．
※商集合という用語はあるが，積集合の逆計算ということではない．「漏れなく重複のない分類」「剰余類」などと関連して登場し，高校数学にはない．
※以上のように，集合の和差積商は，整数の和差積商のような簡単な話ではないことに注意（甘く見てはいけない）

【問題11】★
　集合C−(A∪B)に等しいものを，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
問題
　C={3, 4, 6, 7}, A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}だから
　C−(A∪B)={7}
(1) C−A={6, 7}, B={2, 3, 5, 6}だから
　(C−A)∪B={2, 3, 5, 6, 7} ⇒ ×
(2) A={1, 2, 3, 4}, B∩C={3, 6}だから
　A−(B∩C)={1, 2, 4} ⇒ ×
(3) C−A={6, 7}, C−B={4, 7}だから
　(C−A)∪(C−B)={4, 6, 7} ⇒ ×
(4) C−A={6, 7}, C−B={4, 7}だから
　(C−A)∩(C−B)={7} ⇒ 〇
以上から，(4)が正解
→解説を隠す←

【問題12】★
　集合(A∩B)−Cに等しいものを，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
問題
　A∩B={2, 3}, C={3, 4, 6, 7}だから
　(A∩B)−C={2}
(1) A−C={1, 2}, B−C={2, 5}だから
　(A−C)∩(B−C)={2} ⇒ 〇
(2) A−C={1, 2}, B−C={2, 5}だから
　(A−C)∪(B−C)={1, 2, 5} ⇒ ×
(3) A−C={1, 2}, A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}だから
　(A−C)∩(A∪B)={1, 2} ⇒ ×
(4) A−C={1, 2}, B∩C={3, 6}だから
　(A−C)∪(B∩C)={1, 2, 3, 6} ⇒ ×
以上から，(1)が正解
→解説を隠す←

【問題13】★
　集合(A−C)∪(A∩B)に等しいものを，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
問題
　A−C={1, 2}, A∩B={2, 3}だから
　(A−C)∪(A∩B)={1, 2, 3}
(1) A−C={1, 2}, B={2, 3, 5, 6}だから
　(A−C)−B={1} ⇒ ×
(2) A={1, 2, 3, 4}, C−B={4, 7}だから
　A∪(C−B)={1, 2, 3, 4, 7} ⇒ ×
(3) A={1, 2, 3, 4}, B−C={2, 5}だから
　A∩(B−C)={2} ⇒ ×
(4) A={1, 2, 3, 4}, C−B={4, 7}だから
　A−(C−B)={1, 2, 3} ⇒ 〇
以上から，(4)が正解
→解説を隠す←

【問題14】★
　集合(A∪B)−(C−A)に等しいものを，次のうちから１つ選んでください．
（選択肢をクリックすれば，採点結果と解説が読めます）

（解答）
• 各々の部分に含まれる要素は，実際には1個とは限らないが，ここでは各部分に含まれる要素の代表を1～8として説明する
問題
　A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, C−A={6, 7}だから
　(A∪B)−(C−A)={1, 2, 3, 4, 5}
(1) A={1, 2, 3, 4}, C−B={4, 7}だから
　A∪(C−B)={1, 2, 3, 4, 7} ⇒ ×
(2) B={2, 3, 5, 6}, C−A={6, 7}だから
　B∪(C−A)={2, 3, 5, 6, 7} ⇒ ×
(3) B−C={2, 5}, A={1, 2, 3, 4}, だから
　(B−C)∪A={1, 2, 3, 4, 5} ⇒ 〇
(4) A−C={1, 2}, B={2, 3, 5, 6}だから
　(A−C)∪B={1, 2, 3, 5, 6} ⇒ ×
以上から，(3)が正解
→解説を隠す←

ⅰ)　記述式答案は，「ド・モルガンの法則」「分配法則」「差集合の定義」などを用いて，数式変形として書く方がよいでしょう．
ⅱ)　集合の要素を示すことだけで正式答案とした場合，何割得点できるかは採点官次第になるが，「別ルート検算」があることは非常に重要
(「具体的なもの」を「目で見て」確かめる
　以下の問題では，ⅰ)を答案，ⅱ)を検算として，解説を示す．
　∎は墓石記号，ハルモス記号･･･証明の終わりを示す

【追加問題1】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
A−(B−C)=(A−B)∪(A∩C)

（解答）
ⅰ)=証明=
A−(B−C)←差集合の定義
=A−(B∩C)←差集合の定義
=A∩(B∩C)←ド・モルガンの法則
=A∩(B∪C)←分配法則
=(A∩B)∪(A∩C)←差集合の定義
=(A−B)∪(A∩C)　∎
ⅱ)=検算=
右図において
A={1,2,3,4}, B−C={2,5}だから，A−(B−C)={1,3,4}　∎
A−B={1,4}, A∩C={3,4}だから
(A−B)∪(A∩C)={1,3,4}　∎
したがって
A−(B−C)=(A−B)∪(A∩C)が成り立つ　∎
→解説を隠す←

【追加問題2】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
C−(A∩B)=(C−A)∪(C−B)

（解答）
ⅰ)=証明=
C−(A∩B)←差集合の定義
=C∩(A∩B)←ド・モルガンの法則
=C∩(A∪B)←分配法則
=(C∩A)∪(C∩B)←差集合の定義
=(C−A)∪(C−B)　∎
ⅱ)=検算=
右図において
C={3,4,6,7}, A∩B={2,3}だから，C−(A∩B)={4,6,7}　∎
C−A={6,7}, C−B={4,7}だから
(C−A)∪(C−B)={4,6,7}　∎
したがって
C−(A∩B)=(C−A)∪(C−B)が成り立つ　∎
→解説を隠す←

【追加問題3】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
(A−B)−C=A−(B∪C)

（解答）
ⅰ)=証明=
(A−B)−C←差集合の定義
=(A∩B)−C←差集合の定義
=(A∩B)∩C←結合法則
=A∩(B∩C)←ド・モルガンの法則
=A∩(B∪C)←差集合の定義
=A−(B∪C)　∎
ⅱ)=検算=
右図において
A−B={1,4},C={3,4,6,7}, だから，(A−B)−C={1}　∎
A={1,2,3,4}, B∪C={2,3,4,5,6,7}だから
A−(B∪C)={1}　∎
したがって，(A−B)−C=A−(B∪C)が成り立つ　∎
→解説を隠す←

【追加問題4】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
(A−B)∩C=(A∩C)−B

（解答）
ⅰ)=証明=
(A−B)∩C←差集合の定義
=(A∩B)∩C←結合法則
=(A∩C)∩B←差集合の定義
=(A∩C)−B　∎
ⅱ)=検算=
右図において
A−B={1,4},C={3,4,6,7}, だから，(A−B)∩C={4}　∎
A∩C={3,4}, B={2,3,5,6}だから
(A∩C)−B={4}　∎
したがって，(A−B)∩C=(A∩C)−Bが成り立つ　∎
→解説を隠す←

【追加問題5】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
(A∪B)−C=(A−C)∪(B−C)

（解答）
ⅰ)=証明=
(A∪B)−C←差集合の定義
=(A∪B)∩C←分配法則
=(A∩C)∪(B∩C)←差集合の定義
=(A−C)∪(B−C)　∎
ⅱ)=検算=
右図において
A∪B={1,2,3,4,5,6},C={3,4,6,7}, だから，(A∪B)−C={1,2,5}　∎
A−C={1,2}, B−C={2,5}だから
(A−C)∪(B−C)={1,2,5}　∎
したがって，(A∪B)−C=(A−C)∪(B−C)が成り立つ　∎
→解説を隠す←

【追加問題6】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
A∩(B−C)=(A∩B)−C

（解答）
ⅰ)=証明=
A∩(B−C)←差集合の定義
=A∩(B∩C)←結合法則
=(A∩B)∩C←差集合の定義
=(A∩B)−C　∎
ⅱ)=検算=
右図において
A={1,2,3,4},B−C={2,5}, だから，A∩(B−C)={2}　∎
A∩B={2,3}, C={3,4,6,7}だから
(A∩B)−C={2}　∎
したがって，A∩(B−C)=(A∩B)−Cが成り立つ　∎
→解説を隠す←

【追加問題7】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
A∩(B−C)=(B−C)−A

（解答）
ⅰ)=証明=
A∩(B−C)←差集合の定義
=A∩(B∩C)←交換法則
=(B∩C)∩A←差集合の定義
=(B−C)−A　∎
ⅱ)=検算=
右図において
A={5,6,7,8},B−C={2,5}, だから，A∩(B−C)={5}　∎
B−C={2,5}, A={1,2,3,4}だから
(B−C)−A={5}　∎
したがって，A∩(B−C)=(B−C)−Aが成り立つ　∎
→解説を隠す←

【追加問題8】★★
　集合A, B, Cについて，次の等式が成り立つことを示してください．
(A−B)∩C=C−(A−B)

（解答）
ⅰ)=証明=
(A−B)∩C←交換法則
=C∩(A−B)←差集合の定義
=C−(A−B)　∎
ⅱ)=検算=
右図において
A−B={1,4},A−B={2,3,5,6,7,8},C={3,4,6,7}, だから，(A−B)∩C={3,6,7}　∎
C={3,4,6,7}, A−B={1,4}だから
C−(A−B)={3,6,7}　∎
したがって，(A−B)∩C=C−(A−B)が成り立つ　∎
→解説を隠す←