集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）

(2)
　命題「( p または q ) ⇒ r」に対する反例は
　「( p または q ) かつ r」となるものであるから
「（三つの内角がすべて異なる，または，直角三角形でない）であって，かつ，45°の内角がある」である．
前半を満たすものは（①③または①②④）だから（①②③④），後半を満たすものは⓪①④だから，両方とも成り立つ（「かつ」が成立する）のは，①④→ケコ
→解答を隠す←

(3)　rは( p または q )であるためのサ。
　サに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件ではない
②　十分条件であるが，必要条件ではない
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

(3)
対偶で考えて，（pかつq）とrの関係を調べる
（pかつq）は（二等辺三角形または正三角形）かつ直角三角形
ここで，正三角形と直角三角形は両立できないから，
　　（pかつq）は「直角二等辺三角形」，
　　　rは「45°の内角がある」
以上から
　「直角二等辺三角形」

\underset{\underset{\times}{⟸}}{\underset{⟹}{\circ}}

「45°の内角がある」
すなわち
　（pかつq）

\underset{\underset{\times}{⟸}}{\underset{⟹}{\circ}}

r
対偶をとると

\underset{\underset{\times}{⟸}}{\underset{⟹}{\circ}}

（pまたはq）
よって，rは( p または q )であるための②→サ
→解答を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問 [2]

　集合UをU={n|nは5<

\sqrt{n}

<6を満たす自然数}で定め，またUの部分集合P, Q, R, Sを次のように定める。

P={n|n∈Uかつnは4の倍数}
Q={n|n∈Uかつnは5の倍数}
R={n|n∈Uかつnは6の倍数}
S={n|n∈Uかつnは7の倍数}

　全体集合をUとする。集合Pの補集合をPで表し，同様にQ, R, Sの補集合をそれぞれQ，R，Sで表す。

(1)　Uの要素の個数はタチ個である。

(2)　次の⓪～④で与えられた集合のうち，空集合であるものはツ，テである。

　ツ，テに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。ただし，ツ，テの解答の順序は問わない。

⓪ P∩R　① P∩S　② Q∩R　③ P∩Q　④ R∩Q

［解答を見る］

(1)
25<n<36
n=26,27,28.29,30,31,32,33,34,35　10個→タチ

(2)
P={28,32}, Q={30,35}, R={30}, S={28,35}
だから
⓪　P∩R=∅， ①　P∩S={28}， ②　Q∩R={30}
③　P∩Q={28,32}， ④　R∩Q=∅
したがって，空集合であるものは，⓪④→ツテ →解答を隠す←

(3)　集合Xが集合Yの部分集合であるとき，X⊂Yと表す。このとき，次の⓪～④のうち，部分集合の関係について成り立つものはト，ナである。
　ト，ナに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。ただし，ト，ナの解答の順序は問わない。

⓪P∪R⊂Q　　 ①S∩Q⊂P　　②Q∩S⊂P
③P∪Q⊂S　　④R∩S⊂Q

［解答を見る］

(3)
⓪P∪R={28,30,32},Q={26,27,28,29,31,32,33,34}
30∈P∪Rかつ30∉Q
ゆえに，P∪R⊂Qは偽

①S∩Q={28}，P={28,32}
だから，S∩Q⊂Pは真

②Q∩S={26,27,29,31,32,33,34}
P={26,27,29,30,31,33,34,35}
32∈Q∩Sかつ32∉P
ゆえに，Q∩S⊂Pは偽

③P∪Q={26,27,　,29,30,31,　,33,34,35}
∪{26,27,28,29,　,31,32,33,34,　}
∪U
S={26,27,29,30,31,32,33,34}
28,35∈P∪Qかつ28,35∉S
だから，P∪Q⊂Sは偽

④R∩S={26,27,28,29,　,31,32,33,34,35}
∩{26,27,　,29,30,31,32,33,34,　}
={26,27,　,29,　,31,32,33,34,　}
Q={26,27,28,29,　,31,32,33,34,　}
ゆえに，R∩S⊂Qは真
①④→トナ →解答を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第2問 [1]

　条件p1, p2, q1, q2の否定をそれぞれp1, p2, q1, q2と書く。
(1)　次のアに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。

命題「（p1かつp2 ）⇒ （q1かつq2）」の対偶はアである。

⓪　（p1またはp2）⇒（q1またはq2）
①　（q1またはq2）⇒（p1またはp2）
②　（q1かつq2）⇒（p1かつp2）
③　（p1かつp2）⇒（q1かつq2）

［解答を見る］

「（p1かつp2 ）⇒ （q1かつq2）」の対偶は
　「（q1かつq2） ⇒ （p1かつp2 ）」
すなわち
　「（q1またはq2）⇒（p1またはp2）」
①→ア →解答を隠す←

(2)　自然数nに対する条件p1, p2, q1, q2を次のように定める。

p1 : nは素数である
p2 : n+2は素数である
q1 : n+1は5の倍数である
q2 : n+1は6の倍数である

　30以下の自然数nのなかでイとウエは
　　命題「（p1かつp2）⇒（q1かつq2）」
の反例となる。

［解答を見る］

命題「（p1かつp2）⇒（q1かつq2）」の反例は，
「（p1かつp2）が成り立ち，かつ，（q1またはq2）となるもの」であるから
まず30以下の自然数で，（p1かつp2）となるものは，
　n=3,5,11,17,29
このうちで，n+1が5の倍数であるものは，
　n=29
n+1が6の倍数でないものは，
　n=3
以上から，n=3, 29→イ，ウエ →解答を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　次の問いに答えよ。必要ならば，

\sqrt{7}

が無理数であることを用いてよい。
(1)　Aを有理数全体の集合，Bを無理数全体の集合とする。空集合を∅と表す。

　次の(ⅰ)～(ⅳ)が真の命題になるように，サ，セに当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

(ⅰ)　Aサ{0}

(ⅱ)　

\sqrt{28}

シB

(ⅲ)　A={0}スA

(ⅳ)　∅=AセB

⓪ ∈　① ∋　② ⊂　③ ⊃　④ ∩　⑤ ∪

［解答を見る］

集合と要素の間での基本の書き方
　要素∈集合，集合∋要素
　集合⊂集合，集合⊃集合，集合∩集合，集合∪集合

(ⅰ) Aは集合，{0}も集合であることに注意する

A⊃{0}→③サ

(ⅱ)

\sqrt{28} = 2 \sqrt{7}

は１つの無理数

\sqrt{28} = 2 \sqrt{7}

∈B→⓪シ

(ⅲ) Aと{0}は等しくないので，{0}をAに等しくなるまで広げる

{0}∪A=A→⑤ス

(ⅳ) A∩B=∅は明らか（実数のうちで有理数でないものを無理数という）

→④セ

→解答を隠す←

(2)　実数xに対する条件p, q, rを次のように定める。

p : xは無理数
q : x+

\sqrt{28}

は有理数
r :

\sqrt{28}

xは有理数

　次のソ，タに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

pはqであるためのソ。
pはrであるためのタ。

⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件でない
②　十分条件であるが，必要条件でない
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

p ⇒ qの成否を調べる

「p : xは無理数」のとき，例えば

x = - \sqrt{7}

のとき，「q : x+

2 \sqrt{7} = \sqrt{7}

は無理数」だから，

p \overset{\times}{⟹} q

p ⇒ qの成否を調べる

「q : x+

2 \sqrt{7}

が有理数」のとき，有理数aを用いて，x+

2 \sqrt{7}

=aと書ける．
このとき，x=a

- 2 \sqrt{7}

は無理数になるから，

p \overset{\circ}{⟸} q

以上から，pはqであるための必要条件①→ソ

p ⇒ rの成否を調べる

「p : xは無理数」のとき，例えば

x = \sqrt{2}

のとき，「r :

2 \sqrt{7} x = 2 \sqrt{14}

は無理数」だから，

p \overset{\times}{⟹} r

p ⇒ rの成否を調べる

「r :

2 \sqrt{7} x

が有理数」のとき，例えば

2 \sqrt{7} x = 0

のとき， x=0は有理数になるから，

p \overset{\times}{⟸} r

以上から，pはrであるための必要条件でも十分条件でもない③→タ
→解答を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　実数xに関する２つの条件p, qを

p : x=1
q : x2=1

とする。また，条件p, qの否定をそれぞれp，qで表す。

(1)　次のケ，コ，サ，シに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

qはpであるためのケ。
pはqであるためのコ。
(pまたはq)はqであるためのサ。
(pかつq)はqであるためのシ。

⓪　必要条件だが十分条件でない
①　十分条件だが必要条件でない
②　必要十分条件である
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

[2](1)
p : x=1

\underset{\underset{\times 2}{⟸}}{\underset{⟹}{\circ 1}}

q : x2=1
⓪→ケ

［式の変形で示す場合］
x=1の辺々を2乗するとx2=1になるから，⇒1は〇
x2−1=0を変形するとx±1=0
x=−1のとき，pが成り立たないから，⇒2は×

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表すと
右図のようにP⊂Qだからp⇒q

他方で，−1∈Qかつ−1∉Pだから，逆は成り立たない．P⊅Q すなわち，p : x=1

\underset{\times}{⟸}

q : x2=1

p : x≠1

\underset{\underset{\times 4}{⟸}}{\underset{⟹}{\times 3}}

q : x2=1
③→コ

［式の変形で示す場合］
x=0のとき，x≠1であって，かつx2=1が成り立たないから，⇒3は×
x=1のとき，x2=1かつx≠1が成り立たないから，⇒4は×

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す
x=0のとき，x∈Pかつx∉Qだから
P⊄Q
x=1のとき，x∈Qかつx∉Pだから
P⊅Q

→解答を隠す←

［解答を見る］

(pまたはq)

\underset{\underset{\times 2}{⟸}}{\underset{⟹}{\times 1}}

［式の変形で示す場合］
意外に難しい．集合図で考える方が分かりやすい人が多いと思われる．
x=1またはx2=1
ここで,x2=1⇔(x=1またはx=−1)⇔(x≠1かつx≠−1)
だから
x=1または(x≠1かつx≠−1)
⇔(x=1またはx≠1)かつ(x=1またはx≠−1)
⇔(何でもあり)かつ(x=1またはx≠−1)
⇔x=1またはx≠−1
⇔x≠−1
そこで
x≠−1

\underset{⟹}{\times}

x2=1（反例：x=0）
x2=1

\underset{⟹}{\times}

x≠−1（反例：x=−1）

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す
P∪Q={x|x≠−1}
Q={x|x=−1, 1}
x=0∈(P∪Q)のときx∉Qだから(pまたはq)

\underset{\Rightarrow}{\times}

q
x=−1∈Qのときx∉(P∪Q)だから(pまたはq)

\underset{\Leftarrow}{\times}

→解答を隠す←

［解答を見る］

(pかつq)

\underset{\underset{\times 2}{⟸}}{\underset{⟹}{\circ 1}}

［式の変形で示す場合］
(pかつq) ⇔ x≠1かつ(x=1またはx=−1)
⇔ (x≠1かつx=1)または(x≠1かつx=−1)
⇔ (ありえない)または(x≠1かつx=−1)
⇔ (x≠1かつx=−1)
⇔ x=−1
そこで
x=−1

\underset{\underset{\times 2}{⟸}}{\underset{⟹}{\circ 1}}

x2=1

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す
P∪Q={x|x=−1}
Q={x|x=−1, 1}
だから
(P∪Q)⊂Q　すなわち　(pかつq)

\underset{⟹}{\circ}

他方で，1∈Qかつ1∉(P∪Q)だから，逆は成り立たない．
Q⊄P∪Q)．すなわち，p : x=1

\underset{\times}{⟸}

q : x2=1

→解答を隠す←

(2)　実数xに関する条件rを

r : x>0

とする。次のスに当てはまるものを，下の ⓪～⑦のうちから一つ選べ。
　３つの命題

A : 「(pかつq)⇒r」
B : 「q⇒r」
C : 「q⇒p」

の真偽について正しいものはスである。

⓪　Aは真，Bは真，Cは真
①　Aは真，Bは真，Cは偽
②　Aは真，Bは偽，Cは真
③　Aは真，Bは偽，Cは偽
④　Aは偽，Bは真，Cは真
⑤　Aは偽，Bは真，Cは偽
⑥　Aは偽，Bは偽，Cは真
⑦　Aは偽，Bは偽，Cは偽

［解答を見る］

p : x=1，p : x≠1
q : x2=1，q : x≠1かつx≠−1
r : x>0
　このとき
Aについて

(pかつq) ⇔ x=1 ⇒ x>0
であるから，Aは真

Bについて

q ⇔ x2=1
x=−1のときx>0は成り立たないから
x2=1

\underset{⟹}{\times}

x>0
Bは偽

Cについて

(q : x≠1かつx≠−1) ⇒ p : x≠1
であるから，Cは真

以上から，Aは真，Bは偽，Cは真→ ②ス
→解答を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問[2]

(1)　全体集合UをU={x|xは20以下の自然数}とし，次の部分集合A, B, Cを考える。

A={x|x∈Uかつxは20の約数}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
C={x|x∈Uかつxは偶数}

　集合Aの補集合をAで表し，空集合を∅と表す。
　次のキに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。
　集合の関係

(a)　A⊂C
(b)　A∩B=∅

の正誤の組合せとして正しいものはキである。

	⓪	①	②	③
(a) (b)	正正	正誤	誤正	誤誤

［解答を見る］

A={1, 2, 4, 5, 10, 20}
B={3, 6, 9, 12, 15, 18}
C={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

A⊂Cの真偽について調べる

5∈Aであるが5∉CだからA⊂Cは偽

A∩Bについて調べる

A, Bの両方に入っている数はないから，A∩B=∅が成り立つ

以上により，②→キ →解答を隠す←

(2)　実数xに関する次の条件p, q, r, sを考える。

p : |x−2|>2,q : x<0,r : x>4, s :

\sqrt{x^{2}}

　次のケ，コに当てはまるものを，下の⓪～③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

　qまたはrであることは，pであるためのケ。また，sはrであるためのコ。

⓪　必要条件だが十分条件ではない
①　十分条件であるが必要条件ではない
②　必要十分条件である
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

(2)

p : x<0または4<x
q : x<0
r : x>4
s : x<−2または2<x

(qまたはr) ⇔ (x<0または4<x) ⇔ p
②必要十分条件である→ケ

s ⇔ (x<−2または2<x)

\underset{\underset{\circ}{⟸}}{\underset{⟹}{\times}}

x>4 ⇔ r
⓪必要条件だが十分条件ではない→コ →解答を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　二つの自然数m, nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。

p : mとnはともに奇数である
q : 3mnは奇数である
r : m+5nは偶数である

また，条件pの否定をpで表す。

(1)　次のシ，スに当てはまるものを，下の⓪～②のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

　二つの自然数m, nが条件pを満たすとする。このとき，mが奇数ならばnはシ。また，mが偶数ならばnはス。

⓪　偶数である
①　奇数である
②　偶数でも奇数でもよい

［解答を見る］

「二つの自然数m, nが条件pを満たす」⇔「mが偶数，または，nが偶数」
このとき，「mが奇数」ならば「nは偶数」⓪→シ
「mが偶数」ならば「nは偶数でも奇数でもよい」②→ス
→解答を隠す←

(2)　次のセ，ソ，タに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

pはqであるためのセ。
pはrであるためのソ。
pはrであるためのタ。

⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件ではない
②　十分条件であるが，必要条件ではない
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

p:mとnはともに奇数である
q:3mnは奇数である
r:m+5nは偶数である

p:mまたはnは偶数である
q:3mnは偶数である
r:m+5nは奇数である

(mとnはともに奇数である) ⇔ (3mnは奇数である)だから
pはqであるための必要十分条件⓪→セ

(mとnはともに奇数である) ⇒ (m+5nは偶数である)は成り立つ
(m+5nは偶数である) ⇒ (mとnはともに奇数である)について調べる

-表1-
m	n	m+5m
奇数	奇数	偶数
奇数	偶数	奇数
偶数	奇数	奇数
偶数	偶数	偶数

右の表1から分かるように，m+5nが偶数であるとき，(mとnはともに奇数である)とは言えない．［mとnがともに偶数である場合もある］
したがって
(m+5nは偶数である) ⇒ (mとnはともに奇数である)は成り立たない．

\underset{\underset{\times}{⟸}}{\underset{⟹}{\circ}}

r
②十分条件であるが，必要条件ではない→ソ

(mまたはnは偶数である) ⇔ (m+5nは偶数である)について調べる

表1から分かるように， (mまたはnは偶数である)場合に，(m+5nは偶数である)とは限らない．
(m+5nは偶数である)場合に，(mまたはnは偶数である)とは限らない．
したがって，p

\underset{\underset{\times}{⟸}}{\underset{⟹}{\times}}

r
③必要条件でも十分条件でもない→タ

→解答を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　自然数nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。

p : nは4の倍数である
q : nは6の倍数である
r : nは24の倍数である

　条件p, q, rの否定をそれぞれp，q，rで表す。
　条件pを満たす自然数全体の集合をPとし，条件qを満たす自然数全体の集合をQとし，条件rを満たす自然数全体の集合をRとする。自然数全体の集合を全体とし，集合P, Q, Rの補集合をそれぞれP，Q，Rで表す。

(1)　次のスに当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

32∈ス

⓪ P∩Q∩R

① P∩Q∩R

② P∩Q

③ P∩Q

④ P∩Q∩R

⑤ P∩Q∩R

［解答を見る］

　32は4の倍数である(P)が，6の倍数でない(Q)，24の倍数でない(R)
　正確に言えば，
32∈P∩Q∩R
であるが，これにちょうど当てはまるものはない．そこで，「もう少し範囲が広いが，間違いでないもの＝必要条件となるもの」を探すと
32∈ (P∩Q∩R) ⊂ (P∩Q)
により，②→ス →解答を隠す←

(2)　次のタに当てはまるものを，下の⓪～④のうちから一つ選べ。

P∩Qに属する自然数のうち最小のものはセソである。
また，セソタRである。

⓪ =　　① ⊂　　② ⊃　　③ ∈　　④ ∉

(3)　次のチに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。

自然数セソは，命題チの反例である。

⓪「(pかつq)⇒r」

①「(pまたはq)⇒r」

②「r⇒(pかつq)」

③「(pかつq)⇒r」

［解答を見る］

P∩Qに属するものは，4の倍数であって，かつ，6の倍数だから，12の倍数．これを満たす自然数のうち最小のものは12→セソ

Rに属するものは，24の倍数．12∉R．④→タ

一般に，a⇒bという命題が正しくないことを示す反例は，「aが成り立ち，かつ,bが成り立たないもの」である．
そこで

⓪の反例は，P∩Q∩Rに属する2になる→12は該当しない

①の反例は，(P∪Q)∩R：4または6の倍数であって，かつ，24の倍数，すなわち，24の倍数になる→12は該当しない

②の反例は，R∩(PまたはQ)：24の倍数であって，かつ，(４の倍数でないかまたは6の倍数でないもの)→このようなものは存在しないから，12は該当しない

③の反例は，(PまたはQ)かつR：(４の倍数または6の倍数)であって，かつ，24の倍数でないもの→12はこれに該当する→チ →解答を隠す←

(携帯版)...メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります