零因子，可換性

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※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

== 零因子 ==
［解説］
●　数については，

ａｂ＝０ならば，ａ＝0またはｂ＝０です。
(対偶で言えば，ａ≠０かつｂ≠0ならばａｂ≠０です。)

２次以上の方程式を因数分解で解くことができるのは，この性質によります。

ａｂ＝０ならば，ａ＝0またはｂ＝０
の性質を用いて，

(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)＝０
ならば

ｘ＝ａまたはｘ＝ｂ
が言えます。

●　行列については，

ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０　とは限りません。
(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)

※　教科書では，「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となる行列Ａ，Ｂを（単に）零因子という」とされています。教科書としては，これ以上深入りしにくいと思いますが，授業で解説するには，逆に次のように踏み込んだ方が(少なくともこのページの作者には)概念的に分かりやすい．

「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となるときＡをＢの左零因子，ＢをＡの右零因子という。」

※ある行列Ａに他の行列Ｂを右から掛けた結果と左から掛けた結果は一般に異なり，ＡＢ＝０であってもＢＡ＝０になるとは限らず，逆も同様です．
このように，普通の文字式と比べると行列はとても「気むずかしい」ので，確実に成り立つと言える変形だけを使うことが重要です．

ここで述べる「零因子の存在」や「積の計算において交換法則が成立しないこと」は，行列計算における代表的な落とし穴になっています．

例
Ａ=

，B=

のとき，
Ａ≠0かつＢ≠0であるが，ＡＢ=

になります。
ただし，ＢＡ=

は零行列にはなりません。

●　行列については零因子が存在するため，次のような変形はできません。

(Ｘ－Ａ)(Ｘ－Ｂ)＝0　→　ｘ＝ＡまたはＸ＝Ｂ
Ｘ²＝0　→　Ｘ＝0

【零因子の作り方】
Ａ＝

，Ｂ＝

のとき，
ＡＢ＝

だから，ＡＢ＝０となるためには，ａｐ＋ｂｒ＝０・・(1)，ａｑ＋ｂｓ＝０・・(2)
ｃｐ＋ｄｒ＝０・・(3)，ｃｑ＋ｄｓ＝０・・(4) (1)はベクトル（ａ，ｂ）とベクトル（ｐ，ｒ）が垂直であればよく，
(2)はベクトル（ａ，ｂ）とベクトル（ｑ，ｓ）が垂直であればよい。
したがって，まず（ａ，ｂ）に対する関係から（ｐ，ｒ）と（ｑ，ｓ）は平行です。
次に，
(1)はベクトル（ａ，ｂ）とベクトル（ｐ，ｒ）が垂直であればよく，
(3)はベクトル（ｃ，ｄ）とベクトル（ｐ，ｒ）が垂直であればよい。
したがって，（ｐ，ｒ）に対する関係から（ａ，ｂ）と（ｃ，ｄ）は平行です。

（ａ，ｂ），（ｃ，ｄ）の傾きをｋとすると，これらは（ａ，ｋａ），（ｃ，ｋｃ）とおくことができ，これに垂直な（ｐ，ｒ），（ｑ，ｓ）の傾きは-1/ｋですが，右下図のようにｘ軸に垂直なものもありえますので，（ｐ，ｒ），（ｑ，ｓ）を（－ｋｒ，ｒ），（－ｋｓ，ｓ）とおけば，
（ａ，ｋａ）//（ｃ，ｋｃ）⊥（－ｋｒ，ｒ）//（－ｋｓ，ｓ）となります。

【問題】
各々正しいものを選んでください．

≪１≫
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} -4 & 8 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$ のとき

ＡはＢの左零因子であって右零因子ではない
ＡはＢの右零因子であって左零因子ではない
ＡはＢの左零因子かつ右零因子である
Ａ，Ｂは互いに零因子ではない

解説

Ａ≠０かつＢ≠０であって，かつ

$AB=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 8 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの左零因子
$BA= \begin{pmatrix} -4 & 8 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 20 & 40 \\ -10 & -20 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの右零因子ではない

≪２≫
$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ のとき

解説

Ａ≠０かつＢ≠０であって，かつ

$AB=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 11 & 0 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの左零因子ではない
$BA= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの右零因子

≪３≫
$A=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ のとき

解説

Ａ≠０かつＢ≠０であって，かつ

$AB=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの左零因子
$BA= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの右零因子

≪４≫
$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ のとき

解説

Ａ≠０かつＢ≠０であって，かつ

$AB=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの左零因子ではない
$BA= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ だからＡはＢの右零因子ではない

【問題】

≪１≫
　行列

の右零因子を一つ求めなさい。(文字でなく数値で答えなさい。)

≪２≫
　行列

の左零因子を一つ求めなさい。(文字でなく数値で答えなさい。)

≪３≫
　(少し考える問題：上の解説を参考に考えなさい。)
行列Ａ=

が行列Ｂ=

に対して左零因子かつ右零因子になっているような例を一つ求めなさい。(文字でなく数値で答えなさい。)
(この場合，行列Ｂも行列Ａに対して，右零因子かつ左零因子となります。)

かつ

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.21］

零因子の作り方のところにある文字の行列式で、(a,b)を(a,ka)とおくのは大丈夫ですが、(p,r)を(-kr,r)とおくのはなぜなんでしょうか？(a,ka)のように、y座標のとこよに、x座標に傾きをかけた値がくるのではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $r=-\frac{1}{k}p\overset{\rightarrow}{\leftarrow}p=-kr$ だから $(r,-\frac{1}{k}p)$ とおいてもよいが，分数を避けて $(-kr,r)$ とおいても同じことになります．普通の感覚なら分数は煩わしいので，分数を避けて整数係数にします．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.20］

今日、零因子のところで質問したものです。ｙ軸に平行な直線は，傾きを用いたy=kxの直線の方程式によって表すことはできないということを忘れていました(というか恥ずかしながら初耳です)失礼しましたあの、零因子のところの式の例外の場合というのは、図を書いてみるのも手なんでしょうか？(というより、他に手はあるのでしょうか？)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「これには例外がある」ということを覚えるのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.20］

零因子の作り方のところで、昨日の質問の回答で、上の式と下の式は対応していないとのことですが、上の式は一般的な零因子の式ですよね。それが、下の具体的な零因子の式と対応してないのはおかしくないですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．一般の場合と具体的な場合の関係ではありません．一般の場合と例外の場合の関係です．
高卒の方のようですが，ｙ軸に平行な直線は，傾きを用いたy=kxの直線の方程式によって表すことはできません．この話は中学，高校で何度も出て来るものです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／18.8.19］

零因子の作り方のところで質問です。質問1 なぜ、(a.b) (c.d)の傾きをkとすると、これらは(a.ka)、(c.kc)とおくことができるんでしょうか？質問2 1番したの行列の左零因子で、aが0で、kaが1となっています。行列に対応？する図ではy軸上を上に向かってすすむベクトルとなってますが、このベクトルの傾きは、1/0から定義できないですよね？ですが、この場合、aが0で、kaが1となっていますから0にkをかけたら1になるということになります。でも、0になにをかけても0ですよね。ここで、この場合のkの値は何になるのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問１について：点(a,b)が傾きkの直線y=kx上に4あるときは，b=kaが成り立つから，(a, ka)とおけます．(c,d)についても同様です．
質問2について：上の図に上の式が対応しており，下の図に下の式が対応しており，上の式と下の式は対応していません．具体的に下の式について言うと
y軸に平行なベクトル $(0,\hspace{3}1)$ とｘ軸に平行なベクトル $\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}$ は垂直だよね→ $(0,\hspace{3}1)\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}=0$
から
y軸に平行なベクトル $(0,\hspace{3}2)$ とｘ軸に平行なベクトル $\begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix}$ は垂直だよね→ $(0,\hspace{3}2)\begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix}=0$
まで，下の図に描かれた4種類の垂直を確かめているだけです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[零因子について／17.6.1］

採点できませんでした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．2000年ごろに当時全盛期だったIEでエラーが起こらないようにテストしたものですが，現存するブラウザ（Chromeも含む）では文法が合わなくなっているようですので，訂正しました．･･･このプログラム，変化の速い業界で10年以上持ちこたえたようなのでご容赦を．