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*** 大区分 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 中区分 ***
ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima

※高卒から大学初年度向け「行列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓ベクトル.行列の超基本
↓行列と一次変換
↓点の像と原像（高校）
↓行列と１次変換
↓ベクトルの直交条件
↓１次独立,１次従属,基底,次元,核,階数-現在地
↓行列の階数
↓転置行列,対称行列,対角行列,三角行列
↓逆行列(1)
↓逆行列(2)
↓行列式(1)
↓行列式(2)
↓行列式(3)
↓行列式.基本性質による変形
↓固有値.固有ベクトル（定義）
↓固有値と固有ベクトル(求め方)
↓固有値と固有ベクトル(問題)
↓行列の対角化とは（定義）
↓行列を対角化するには（求め方）
表計算などによる連立方程式の解き方

［←なぜなら］
　k1→e1w+k2→e2w
の形に書けるためには が成り立たなければならないが，これを満たすk1，k2は存在しない．

◇１次結合とは◇
　k1→a1w+k2→a2w+ ··· +kn→anw のように幾つかのベクトルの定数倍の和で表されるものをこれらのベクトルの１次結合という．

ベクトルの組→a1w , →a2w , ··· →anwについて ならば
が成り立つとき，これらのベクトルの組→a1w , →a2w , ··· , →anwは１次独立であるという．１次独立でないとき１次従属であるという．

◇「すべて」と「ある」に関するド・モルガンの法則◇

例1　次のベクトルの組が１次独立かどうか調べよ．
　，，

　x→a1w+y→a2w+z→a3w=→0w …(1)

…(2)

…(3)

例2　次のベクトルの組が１次独立かどうか調べよ．
　，，

　x→a1w+y→a2w+z→a3w=→0w …(1)

…(2)

…(3)

【ソルバーを用いた不定方程式の解き方：まとめ】
(1)　E1:E3には仮の値を適当に入力しておく．
(2)　G1に行列Aと列ベクトルE1:E3の積の計算式を書き込む． =MMULT(A1:C3,E1:E3)
(3)　(2)のままでは行列の積のうち１つの成分が書き込まれるだけなので，これをG1:G3に配列として書き込むために G1:G3を選択・反転させておいて，画面上にある数式バーをポイントして Ctrl+Shift+Enterとする．
(4)　G1²+G2²+G3²=0によって，ソルバーの目的を設定するためにセルG5に =SUMSQ(G1:G3)と書きこむ．
(5)　E1:E3に整数値の解が得られるように，ソルバーの制約条件としてたとえばE1=1という条件を考えておく．
(*)　ソルバーを走らせる．
Excel2002→ツール→ソルバー（Excek2007→データ→ソルバー）
・目的セル：G5，目標値：値0，変化させるセル：E1:E3，制約条件：E1=1
⇒　以上により，(1, 1, −1)の解が得られる．
※　以上の方法でパラメータ（任意定数）１個を含む不定解が求められる．

例3　A1:D4に示される行列の４個の列ベクトルが１次独立かどうか調べよ．

	A	B	C	D	E	F
1	4	-5	3	0		0.5
2	5	7	0	3		0.5
3	-7	0	7	5		0.5
4	1	5	4	5		0.5

○3　１次独立なベクトルの組による表し方の一意性
　ベクトルの組→a1w , →a2w , ··· →anwが１次独立であるとき，あるベクトル→bwをそれらの１次結合で表す方法はただ１通りに定まる．
　すなわち，
ならば s1=t1, s2=t2, ···, sn=tn が成り立つ.

（※　恒等式の係数比較法のときと同様に，対応する係数が等しいといえる．）

　s1→a1w+s2→a2w+ ··· +sn→anw=t1→a1w+t2→a2w+ ··· +tn→anw

　(s1−t1 )→a1w+(s2−t2 )→a2w+ ··· +(sn−tn )→anw=→0w

s1−t1=0, s2−t2=0, ···, sn−tn=0

○4　基底と次元
○　ベクトルの組→u1w , →u2w , ··· →unwによって の形に表すことができるベクトル全体からなる空間を考えるとき，この空間は→u1w , →u2w , ··· →unwによって生成されるという．

○　空間Vを生成する１次独立なベクトルの組→u1w , →u2w , ··· →unwを空間Vの基底という．

○　基底となるベクトルの組は一般に幾通りもあるが，そのうちｎ次元空間の基本ベクトルの組 ，，… , は標準基底と呼ばれる．（標準基底は１組のみである．）

○　１つの空間Vを生成する１次独立なベクトル（基底）の個数は，基底のとり方によらずに一定である．これを次元といい dim(V) で表す．

○5　像と核，行列の階数
　ｎ次正方行列Aで表される１次変換によってｎ次ベクトルがｎ次元ベクトルに移されるとき
このとき

Ker(A)は，加法と定数倍について閉じた１つの空間をなしている．
　→x1w , →x2w∈Ker(A) ならばA→x1w=→0w , A→x2w=→0wにより

Im(A)は，加法と定数倍について閉じた１つの空間をなしている．
　→y1w , →y2w∈Im(A) ならばA→x1w=→y1w , A→x2w=→y2wとなる→x1w , →x2wが存在し

1)　［←　Im(A)を生成すること］
　→yw∈Im(A)ならば→yw=A→xwとなるベクトル→xwが存在する．
　Vの任意のベクトル→xwはその基底 →a1w , →a2w , ··· , →arw，→b1w , →b2w , ··· , →bsw の１次結合で表されるから， 　　→xw=p1→a1w+p2→a2w+ ··· +pr→arw+q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw と表せる．
したがって，
　　A→xw=A(p1→a1w+p2→a2w+ ··· +pr→arw+q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw )
　　=A(p1→a1w+p2→a2w+ ··· +pr→arw )+A(q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw )

　　ここで→a1w , →a2w , ··· , →arwはKer(A)の基底だから
　　A(p1→a1w+p2→a2w+ ··· +pr→arw )=→0w
が成り立ち
　　A→xw=A(q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw )=q1→c1w+q2→c2w+ ··· +qs→csw
となる．
よって→c1w , →c2w , ··· , →cswによって生成される．

2)　［←　１次独立であること］
q1→c1w+q2→c2w+ ··· +qs→csw=→0w ならば 　　q1A→b1w+q2A→b2w+ ··· +qsA→bsw =→0w したがって 　　A(q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw )=→0w この式は 　　q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw∈Ker(A) を表している．
よって， q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw=p1→a1w+p2→a2w+ ··· +pr→arw と書ける．
すなわち q1→b1w+q2→b2w+ ··· +qs→bsw−p1→a1w−p2→a2w− ··· −pr→arw=→0w ところが， →a1w , →a2w , ··· , →arw，→b1w , →b2w , ··· , →bsw はVの基底だから，１次独立でありすべての係数は0に等しい．
ゆえに， q1=q2= ··· =qs=0 となり，１次独立であることが示される．

例1
　行列A=で表される１次変換について
(1)　Ker(A)を求めよ．（基底を１組示せ）
(2)　Im(A)を求めよ．（基底を１組示せ）
(3)　rank(A)を求めよ．

(3, 4, 2)=4(1, 1, 0)+(−1, 0, 2)となることに注意すると，(*)
x(1, 1, 0)+y(−1, 0, 2)+z(3, 4, 2)
=x(1, 1, 0)+y(−1, 0, 2)+z{ 4(1, 1, 0)+(−1, 0, 2) }
=(x+4z)(1, 1, 0)+(y+z)(−1, 0, 2)
x+4z=s , y+z=tとおくと
=s(1, 1, 0)+t(−1, 0, 2)
２つの基底(1, 1, 0) , (−1, 0, 2)によって生成される空間 …（答）
(*)からこの結果を直接述べてもよい．

例2
　行列A=で表される１次変換について
(1)　Ker(A)を求めよ．
(2)　Im(A)を求めよ．（基底を１組示せ）
(3)　rank(A)を求めよ．

例3
　○1 (1)で示した３つの列ベクトルからなる行列A=で表される１次変換について
(1)　Ker(A)を求めよ．（基底を１組示せ）
(2)　Im(A)を求めよ．（基底を１組示せ）
(3)　rank(A)を求めよ．

x+y+5z=0
x−y−z=0

x+y=(−5z)
x−y=(z)

x=(−2z)
y=(−3z)

x+y+z
=x+y+z{ 2+3 }
=(x+2z)+(y+3z)
x+2z=s , y+3z=tとおくと
s+t
さらに，s+t=p , s−t=qとおいて
p+qと書ける．

先程この項で質問した者です。まだいくつか疑問に思ったことがあるので申し訳ありませんが質問させていただきますm(__)m 質問1 5.像と核の例1の(3)で、なぜ、dim(ker(A))=1なんでしょうか？ 私の考えとして、4.基底と次元のところの次元の定義から基底の個数を次元としていますから、(1)の(x.y.z)=t(-4.-1.1)は基底の集合だと私は思うので、基底の個数はt、tは実数のことでしょうから実数が次元となるのだと思いました(何次元かを聞かれて実数次元なんていう答えが間違いなのはわかります) 質問2 5.像と核の例1の行列Aは、det(A)=16≠0から逆行列が存在するのに、なぜ、(1)で(x.y.z)がx=y=z=0以外の解、t(-4.-1.1)、があるのでしょうか？例2では例2のAの行列が逆行列を持っているのでx=y=z=0ですが。 質問3 5.像と核の例3の(3)で、逆行列が存在しないのに、5.像と核の青線でくくられた定義が書かれているところの米印の定理？を使っていますが、いいのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問1:t(-4.-1.1)は1次元です．質問2:det(A)=0です．質問3:(*)は使っていません．【重要】(4)です．

5.像と核の(4)の解説で、1次変換によってつくられる空間の次元は～のあとに1次変換によってつくられる空間の次元についての説明がありますが、原像と一次変換による像とで次元は変わらないのではないでしょうか？変換の意味からして。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．書いてあるつもりですが，それではわからんということかな？
dim(Ker(A))+rank(A)=n だからdim(Ker(A))=1のときは原像が3次元でも像は2次元に，dim(Ker(A))=2のときは原像が3次元でも像は1次元になります．
【例１】

の場合，原像が3次元でも，Ker(A)が1次元だから像は2次元になります．
【例２】

の場合，原像が3次元でも，Ker(A)が2次元だから像は1次元になります．

よく理解できました　有難う御座います 標準基底e1=(1) e2=(0) 　　　　 (0) (1) とするとこの基底で線形写像fに対応する行列(1.-1) (2.4) fを基底(1) (1) (2) (1) によって表すとき対応する行列に求めよ 上記の解答をお願いします よろしくお願いします
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問を解読するのが難しいのと同様に，プレーンテキストで書かれたメールで行列を表すことはできませんので，web上で回答します．
そもそも質問内容が十分伝わりませんが，「標準基底で表された点が一次変換によって点に移されるとき
この移動を，を基底とする座標で表したときの一次変換の行列を求めよ」という問題だとします．
これにより，行列の積を気長に計算すればよいことになります．

いつも参考にさせて頂いております。 例3の回答(2)の3行目、 (x+2y)(1,1,0)・・・・略 ですが、(x+2z)(1,1,0)ではないでしょうか。 私が勘違いしているだけかもしれませんが、ご確認のほどよろしくお願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスでしたので訂正しました．