行列を対角化するには

≪行列を対角化するには≫

○　この頁ではｎ次正方行列Aが相異なるｎ個の実数の固有値をもつ場合のみを扱う．
○　統計で登場する相関行列や分散共分散行列などの重要な行列の固有値は実数になる．数学的な理論の上では固有値が等しいという場合もあり得るが，観測データ（実数=小数）を元に実際の作業を行うときに小数の固有値が等しいことはほとんど起こらない．

※　固有方程式が虚数解をもつ場合や重解をもつ場合の取り扱いは，ややこみいったものになる．これらは，線形代数の教科書・問題集や他のWeb教材に記載されており，この頁では取り扱っていない．

【要点１】
　ｎ次正方行列Aが相異なるｎ個の実数の固有値λ1 , λ2 , …, λn
およびこれに対応する固有ベクトル , , ···, をもつとき，
　列ベクトル , , ···, を束にした行列をPとおくと， P−1AP=

…(1) のように対角化できる．

（解説）

（参考１）
　ｎ次正方行列Aが相異なるｎ個の実数の固有値
λ1 , λ2 , …, λn
およびこれに対応する固有ベクトル
, , ···,
をもつとき，

A=λ1

A=λ2

………

A=λn

が成り立つ．

　列ベクトル , , ···, を束にした行列を

P=[ , , ···, ]

で表すと，（参考１）の関係式は

すなわち

A[ , , ···, ]=[ λ1 , λ2 , ···, λn ]
AP=[ λ1 , λ2 , ···, λn ]

と書ける．

（参考２）
(a)　（行列）×（列ベクトル）＝（列ベクトル）になる

(b)　（行ベクトル）×（行列）＝（行ベクトル）になる

(d)　対角行列を左から掛けると各行が対角成分倍になる

　ここで，（参考２）の(c)を見ると，各列ベクトルごとに固有値λkを掛けるには，右から対角行列を掛ければよいから，この式は

AP=P

…(2)

と表せる．

　したがって，もし行列Pに逆行列P−1が存在すれば（=行列Pが正則行列であれば），(2)の両辺に左からP−1を掛ければ(1)が得られる．

（参考３）
(e)　相異なる固有値に対応する固有ベクトルは１次独立である．
(f)　ｎ次正方行列Pのｎ個の列ベクトルが１次独立であるならば，行列Pは正則すなわち逆行列が存在する．

　行列Pに逆行列P−1が存在することは，（参考３）によって分かる．

【要点２】
　上の【要点１】によりｎ次正方行列Aが相異なるｎ個の実数の固有値をもつとき，Aを対角化するには次の手順で行えばよい．

(1)　Aの固有値をｎ個求める．
(2)　各々の固有値に対応する固有ベクトルを求める．
(3)　固有ベクトルを順に束ねた行列をP，固有値を順に対角成分とする行列をDとおく，
（ただし，固有値，固有ベクトルは対応する順に並べる） P−1AP=D が求める対角化である．

例１
　次の行列を対角化せよ． A=

（解答）
(1)　固有方程式を解いて固有値を求める．

det(A−λE)=

=0
⇔　(1−λ)(−4−λ)+6=0
⇔　λ2+3λ+2=0
⇔　λ=−1, −2

(2)　固有ベクトルを求める

1)　λ=−1のとき

　⇔　2x+3y=0
　⇔　(x, y)=t(3, −2)
2)　λ=−2のとき

　⇔　x+y=0
　⇔　(x, y)=t(1, −1)

(3)　

, P−1=

, D=

とおくと
P−1AP=

例２
　次の行列を対角化せよ． A=

（解答）
…（この解答は「各場面で求めているもののイメージをつかむため」の例示であり，実際に固有値，固有ベクトルなどを求めるにはExcelで行えばよい．）…
(1)　固有方程式を解いて固有値を求める．

det(A−λE)=

=0
⇔　λ3−17λ2+94λ−168=0
　この３次方程式は筆算では「因数定理を使って解く」ことになるが，上に述べたように実際にはExcelで固有値を求めるとよい．
⇔　λ=4, 6, 7

(2)　固有ベクトルを求める
　1)　λ=4のとき

⇔	(−2x+7y+z=0)…(1) −x+5y−z=0…(2) −x+2y+2z=0…(*3)

(*2)+(*3)=(*1)だから(*1)は不要
(*2), (*3)より

⇔	x+z=(5y)…(4) x−2z=(2y)…(5)

(*4)−(*5)　3z=(3y) → z=(y)
(*4)に代入　x+(y)=(5y) → x=(4y)
　⇔　x=(4y), z=(y) → x=4t, y=t, z=t
　⇔　(x, y, z)=t(4, 1, 1)

　2)　λ=6のとき

⇔	(−3x+7y+z=0)…(1) −x+3y−z=0…(2) −x+2y+z=0…(*3)

(*2)+(*3)×2=(*1)だから(*1)は不要
(*2), (*3)より

⇔	x+z=(3y)…(4) x−z=(2y)…(5)

(*4)+(*5)　2x=(5y)
(*4)−(*5)　2z=(y)
　⇔　x=5t, y=2t, z=t
　⇔　(x, y, z)=t(5, 2, 1)

　3)　λ=7のとき

⇔	(−7x+14y+2z=0)…(1) −x+2y−z=0…(2) −x+2y+z=0…(*3)

(*2), (*3)より

⇔	x−2y=(z)…(4) x−2y=(−z)…(5)

(*4)−(*5)　z=0
(*4)+(*5)　x=(2y)
これらを(*1)に代入すると成立するから(*1)は不要
　⇔　x=(2y), z=0 → x=2t, y=t, z=0
　⇔　(x, y, z)=t(2, 1, 0)

(3)　

, P−1=

,
D=

とおくと
P−1AP=

例３
　次の行列を対角化せよ．
（筆算では無理なのでExcelで求めるものとし，小数第４位まで求めよ．）

2.2221	0.5996	0.2272	0.9421
0.9492	2.7782	0.9442	-0.6738
0.2118	0.6148	2.2172	0.9529
0.6131	0.0137	0.6051	2.7825

（解答）

0.4767	-0.7019	0.1165	0.4989
-0.6443	-0.0085	-0.7997	0.4952
0.4997	0.7122	0.1083	0.5003
-0.3286	-0.0008	0.5790	0.5056

とおくと，

P−1=

0.5493	-0.3651	0.5363	-0.7151
-0.7173	0.0017	0.6972	0.0163
-0.1255	-0.6455	-0.1305	0.8852
0.4997	0.5020	0.4990	0.4994

となり，
次の対角行列Dに対して

1.0000	0	0	0
0	2.0000	0	0
0	0	3.0000	0
0	0	0	4.0000

P−1AP=Dとなる．

この項目では，wxMaxiam（インストール方法）を用いて固有値，固有ベクトルを求めて比較的簡単に行列を対角化する方法を解説する．

類題2.1
　次の行列を対角化せよ．
$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\ -3 & 7 & -3 \\ 3 & -5 & 5 \end{pmatrix}$

出典:「線形代数学」掘内龍太郎.浦部治一郎共著（学術出版社）p.171

（解答）

○1　行列Aの成分を入力するには

メニューから「代数」→「手入力による行列の生成」と進み，入力欄において行数：3，列数：3，タイプ：一般，変数名：AとしてOKボタンをクリック

入力欄に与えられた成分を書き込む．（タブキーを使って入力欄を移動するとよい）

A: matrix(
[0,1,-2],
[-3,7,-3],
[3,-5,5]
);
のように出力され，行列Aに上記の成分が代入されていることが分かる．

○2　Aの固有値と固有ベクトルを求めるには

wxMaximaで，固有値を求めるコマンドは eigenvalus(A)，固有ベクトルを求めるコマンドは eigenvectors(A)であるが，固有ベクトルを求めると各固有値，各々の重複度，固有ベクトルの順に表示されるので，直接に固有ベクトルを求めるとよい．

画面上で空打ちして入力欄を作り，
eigenvectors(A)+Shift+Enterとする．または，上記の入力欄のAをポイントしてしながらメニューから「代数」→「固有ベクトル」と進む

[[[1,2,9],[1,1,1]],[[[1,1/3,-1/3]],[[1,0,-1]],[[1,3,-3]]]]
のように出力される．
これは
固有値λ1=1の重複度は１で，対応する固有ベクトルは
$t\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ 整数値を選べば $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$
固有値λ2=2の重複度は１で，対応する固有ベクトルは
$t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}$
固有値λ3=9の重複度は１で，対応する固有ベクトルは
$t\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3\end{pmatrix}$
となることを示している．

○3　固有値と固有ベクトルを使って対角化するには
上記の結果を行列で表すと
$\begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\ -3 & 7 & -3 \\ 3 & -5 & 5\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}1$
$\begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\ -3 & 7 & -3 \\ 3 & -5 & 5\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}2$
$\begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\ -3 & 7 & -3 \\ 3 & -5 & 5\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -3\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3\end{pmatrix}9$
これらを束ねて書くと
$\begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\ -3 & 7 & -3 \\ 3 & -5 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$
両辺に左から $\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}^{-1}$ を掛けると
$\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\ -3 & 7 & -3 \\ 3 & -5 & 5 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

※結果のまとめ
$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & -2 \\ -3 & 7 & -3 \\ 3 & -5 & 5 \end{pmatrix}$ に対して，
固有ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ を束にした行列を
$P=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3\\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$ とおき，
固有値を対角成分に持つ行列を $D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$
とおくと
$P^{-1}AP=D$ …(1)
となる．対角行列のｎ乗は各成分のｎ乗になるから，(1)を利用すれば，行列Aのｎ乗は簡単に求めることができる．(※)
$P^{-1}A^nP=D^n$ より $A^n=PD^n P^{-1}$
もしくは，(1)を変形しておいて
$A=PDP^{-1}$ より $A^n=PD^n P^{-1}$

これより
$A^n=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 9^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}^{-1}$
さらに
$\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}^{-1}$ $=\begin{pmatrix}\frac{3}{8} & \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \\ 0 & -1 & -1 \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \end{pmatrix}$
を用いると，Anを成分に直すこともできるがかなり複雑になる．

(※)
(1)式のように，ある行列Pとその逆行列P−1でサンドイッチになっている行列P−1APのｎ乗を計算すると，先頭と末尾が次々にEとなって消える：
２乗：(P−1AP)(P−1AP)=PAPP−1AP=PA2P−1
３乗：(P−1A2P)(P−1AP)=PA2PP−1AP=PA3P−1
４乗：(P−1A3P)(P−1AP)=PA3PP−1AP=PA4P−1

対角行列のｎ乗は，各成分をｎ乗すれば求められる：
$\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}^n$ $=\begin{pmatrix}\lambda_1^n & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3^n \end{pmatrix}$

(※)
wxMaximaを用いて(1)式などを検算するには，1-1で行ったように行列Aを定義し，さらにP，Dもその成分の値を入れて定義すると

行列の積APは A.P によって計算できる
（行列の積はアスタリスク(*)ではなくドット(.)を使うことに注意．*を使うと各成分を単純に掛けたものになる）

実際に計算してみると，
$AP=\begin{pmatrix}3 & 2 & 9 \\ 1 & 0 & 27 \\ -1 & -2 & -27 \end{pmatrix}$ $PD=\begin{pmatrix}3 & 2 & 9 \\ 1 & 0 & 27 \\ -1 & -2 & -27 \end{pmatrix}$
のように一致することが確かめられる．
また，wxMaximaにおいては，Pの逆行列を求めるコマンドは P^-1 などではなく，invert(P)であることに注意すると(1)式は
invert(P).A.P;
で計算することになり,これが対角行列と一致する．

類題2.2
　次の行列を対角化し，Bⁿを求めよ．
$B=\begin{pmatrix}6 & 6 & 6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3\end{pmatrix}$

出典:「線形代数学」掘内龍太郎.浦部治一郎共著（学術出版社）p.171

（解答）

○1　行列Bの成分を入力するには

メニューから「代数」→「手入力による行列の生成」と進み，入力欄において行数：3，列数：3，タイプ：一般，変数名：BとしてOKボタンをクリック

入力欄に与えられた成分を書き込む．（タブキーを使って入力欄を移動するとよい）

B: matrix(
[6,6,6],
[-2,0,-1],
[2,2,3]
);
のように出力され，行列Bに上記の成分が代入されていることが分かる．

○2　Bの固有値と固有ベクトルを求めるには

画面上で空打ちして入力欄を作り，
eigenvectors(B)+Shift+Enterとする．または，上記の入力欄のBをポイントしてしながらメニューから「代数」→「固有ベクトル」と進む

[[[1,2,6],[1,1,1]],[[[0,1,-1]],[[1,-4/3,2/3]],[[1,-2/5,2/5]]]]
のように出力される．
これは
固有値λ1=1の重複度は１で，対応する固有ベクトルは
$t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
固有値λ2=2の重複度は１で，対応する固有ベクトルは
$t \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ 整数値を選べば $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2\end{pmatrix}$
固有値λ3=6の重複度は１で，対応する固有ベクトルは
$t\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{5} \\ \frac{2}{5}\end{pmatrix}$ 整数値を選べば $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}$
となることを示している．

○3　固有値と固有ベクトルを使って対角化するには
上記の結果を行列で表すと
$\begin{pmatrix}6 & 6 & 6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}1$
$\begin{pmatrix}6 & 6 & 6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}2$
$\begin{pmatrix}6 & 6 & 6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}5 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}6$
これらを束ねて書くと
$\begin{pmatrix}6 & 6 & 6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$
両辺に左から $\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$ を掛けると
$\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}6 & 6 & 6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

※結果のまとめ
$B=\begin{pmatrix}6 & 6 & 6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ に対して，
$P=\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2\\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ とおき，
固有値を対角成分に持つ行列を $D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$
とおくと
$P^{-1}BP=D$ …(1)
となる．

○4 Bⁿを求める．
$P^{-1}B^nP=D^n$ より $B^n=PD^n P^{-1}$

$B^n=\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 6^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$
さらに
$\begin{pmatrix}0 & 3 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$ $=\begin{pmatrix}\frac{2}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{7}{5} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{5} & \frac{3}{10} & \frac{3}{10} \end{pmatrix}$
を用いると，Bnを成分に直すこともできるがかなり複雑になる．

問題
　次の行列を対角化せよ．
（筆算では無理なのでExcelで求めるものとし，小数第3位まで求めよ．Web画面をドラッグ・コピーしてからExcel上に貼り付けると入力の手間が省ける．）

-1.624	-1.642	0.322	1.497	1.500
0.560	0.708	1.535	-0.588	0.550
-0.322	3.822	-1.733	2.428	-1.411
4.512	-5.296	2.290	0.617	2.317
1.724	6.145	2.859	0.677	-0.967

（解答）

0.308	0.030	-0.705	0.314	-0.096
0.226	0.450	-0.187	0.125	0.265
-0.646	-0.041	0.625	0.256	-0.743
-0.133	-0.275	0.034	0.747	0.604
0.647	0.848	0.274	0.513	0.062

とおくと，

P−1=

0.270	-2.614	-1.023	-0.195	1.267
-0.236	2.500	0.605	-0.369	-0.231
-0.921	-1.286	-0.164	0.141	0.754
0.635	-0.266	0.434	0.713	0.371
-0.779	0.963	-0.478	0.555	-0.327

となり，
次の対角行列Dに対して

-1.000	0	0	0	0
0	2.000	0	0	0
0	0	-3.000	0	0
0	0	0	4.000	0
0	0	0	0	-5.000

P−1AP=Dとなる．

筆算による
固有値，固有ベクトル，対角化，行列のｎ乗(まとめ)［例と解］

　なるべくシンプルな例を幾つか示す．

1.
$A=\begin{pmatrix}2& 1\\ 4& 5\end{pmatrix}$
について
(1) 固有値と固有ベクトルを求めよ.
(2) 対角化せよ．
(3) $A^n$ を求めよ．

** 1題目だけ基本事項の復習を兼ねた解説とする **
(1) 行列 $A$ による変換で方向が変わらない（向きは逆向きになってもよい）ベクトル（零ベクトル以外）を，この行列 $A$ の固有ベクトルという．
$\begin{pmatrix}2& 1\\4& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ …(1)
(1)式において，ベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ の定数倍を表す $k$ を固有値という．
　(1)式は次の形に書ける
$\begin{pmatrix}2& 1\\4& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k& 0\\0& k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ …(2)
すなわち
$\begin{pmatrix}2-k& 1\\4& 5-k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ …(3)
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ に対して，(3)が成り立つための必要十分条件は
$\rm{det}\begin{pmatrix}2-k& 1\\4& 5-k\end{pmatrix}=0$ …(4)
すなわち
$(2-k)(5-k)-1\cdot 4=0$ …(5)
(5)は行列 $A$ の固有方程式と呼ばれ，固有方程式の解が固有値になる．
$k^2-7k+ 6=0$ より
固有値は $k=1,\hspace{3}6$

　固有値が $k=1$ のとき，(3)式は
$\begin{pmatrix}2-1& 1\\4& 5-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1& 1\\4& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
したがって，固有ベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ は $x+ y=0$ を満たす．
$s\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
の形に書けるベクトル（ただし， $s\ne 0$ ）は，すべて固有値 $k=1$ に対応する固有ベクトルであるが，ここでは整数値で小さな値となるものを１つ選んで代表させる．
$\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$

　固有値が $k=6$ のとき，(3)式は
$\begin{pmatrix}2-6& 1\\4& 5-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-4& 1\\4& -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
したがって，固有ベクトル $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ は $4x-y=0$ を満たす．
$t\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
の形に書けるベクトル（ただし， $t\ne 0$ ）は，すべて固有値 $k=6$ に対応する固有ベクトルであるが，ここでは整数値で小さな値となるものを１つ選んで代表させる．
$\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$

(2)
　以上２組の固有値，固有ベクトルは，次の形に表せる
$\begin{pmatrix}2& 1\\4& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\times 1$
$\begin{pmatrix}2& 1\\4& 5\end{pmatrix}\hspace{20}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}=\hspace{20}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\times 6$
これらは1つにまとめて次の形に書ける
$\begin{pmatrix}2& 1\\4& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\0& 6\end{pmatrix}$
両辺に右から $\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 4\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4& -1\\1& 1\end{pmatrix}$ を掛けると
$\begin{pmatrix}2& 1\\4& 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\0& 6\end{pmatrix}\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4& -1\\1& 1\end{pmatrix}$

(3)
$A=PDP^{-1}$ の形の式は，
$A^2=PDP^{-1}PDP^{-1}=PD^2P^{-1}$
$A^3=PD^2P^{-1}PDP^{-1}=PD^3P^{-1}$
$\cdots\hspace{2}\cdots$
$A^n=PD^nP^{-1}$
となり，さらに「対角行列のｎ乗は各成分のｎ乗となる」から
$\begin{pmatrix}2& 1\\4& 5\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1^n& 0\\0& 6^n\end{pmatrix}\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4& -1\\1& 1\end{pmatrix}$
$=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\0& 6^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4& -1\\1& 1\end{pmatrix}$
$=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4+ 6^n& -1+ 6^n\\-4+ 4\times 6^n& 1+ 4\times 6^n\end{pmatrix}$

2.
$A=\begin{pmatrix}2& 5\\4& 3\end{pmatrix}$
について
(1) 固有値と固有ベクトルを求めよ.
(2) 対角化せよ．
(3) $A^n$ を求めよ．

(1) 固有方程式を解く
$(2-k)(3-k)-5\cdot 4=0$
$k^2-5k-14=0$ より
固有値は $k=7,\hspace{3}-2$

　固有値が $k=7$ のとき，
$\begin{pmatrix}2-7& 5\\4& 3-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-5& 5\\4& -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$x=y$ だから
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$
１つの固有ベクトルは
$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

　固有値が $k=-2$ のとき，
$\begin{pmatrix}2+ 2& 5\\4& 3+ 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}4& 5\\4& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$4x+ 5y=0$ だから
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}$
１つの固有ベクトルは
$\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}$

(2)
　以上２組の固有値，固有ベクトルは，次の形に表せる
$\begin{pmatrix}2& 5\\4& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\times 7$
$\begin{pmatrix}2& 5\\4& 3\end{pmatrix}\hspace{20}\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}=\hspace{20}\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}\times (-2)$
これらは1つにまとめて次の形に書ける
$\begin{pmatrix}2& 5\\4& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 5\\1& -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 5\\1& -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7& 0\\0& -2\end{pmatrix}$
両辺に右から $\begin{pmatrix}1& 5\\1& -4\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{-9}\begin{pmatrix}-4& -5\\-1& 1\end{pmatrix}$ を掛けると
$\begin{pmatrix}2& 5\\4& 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 5\\1& -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7& 0\\0& -2\end{pmatrix}\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4& 5\\1& -1\end{pmatrix}$

(3)
$\begin{pmatrix}2& 5\\4& 3\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1& 5\\1& -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7^n& 0\\0& (-2)^n\end{pmatrix}\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4& 5\\1& -1\end{pmatrix}$
$=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4\cdot 7^n+ 5\cdot (-2)^n& 5\cdot 7^n-5\cdot (-2)^n\\4\cdot 7^n-4\cdot(-2)^n& 5\cdot 7^n+ 4\cdot (-2)^n\end{pmatrix}$

3.
$A=\begin{pmatrix}1& 0\\2& 3\end{pmatrix}$
について
(1) 固有値と固有ベクトルを求めよ.
(2) 対角化せよ．
(3) $A^n$ を求めよ．

(1) 固有方程式を解く
$(1-k)(3-k)-0\cdot 2=0$
$(k-1)(k-3)=0$ より
固有値は $k=1,\hspace{3}3$

　固有値が $k=1$ のとき，
$\begin{pmatrix}1-1& 0\\2& 3-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}0& 0\\2& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$x+ y=0$ だから
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
１つの固有ベクトルは
$\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$

　固有値が $k=3$ のとき，
$\begin{pmatrix}1-3& 0\\2& 3-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-2& 0\\2& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$x=0$ （ $y$ は任意）だから
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
１つの固有ベクトルは
$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

(2)
　以上２組の固有値，固有ベクトルは，次の形に表せる
$\begin{pmatrix}1& 0\\2& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\times 1$
$\begin{pmatrix}1& 0\\2& 3\end{pmatrix}\hspace{20}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\hspace{20}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\times 3$
これらは1つにまとめて次の形に書ける
$\begin{pmatrix}1& 0\\2& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\-1& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0\\-1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\0& 3\end{pmatrix}$
両辺に右から $\begin{pmatrix}1& 0\\-1& 1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1& 0\\1& 1\end{pmatrix}$ を掛けると
$\begin{pmatrix}1& 0\\2& 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 0\\-1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\0& 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\1& 1\end{pmatrix}$

(3)
$\begin{pmatrix}1& 0\\2& 3\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1& 0\\-1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\0& 3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 0\\1& 1\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}1& 0\\3^n-1& 3^n\end{pmatrix}$

4.
$A=\begin{pmatrix}5& -1\\-1& 5\end{pmatrix}$
について
(1) 固有値と固有ベクトルを求めよ.
(2) 対角化せよ．
(3) $A^n$ を求めよ．

(1) 固有方程式を解く
$(5-k)^2-1=0$
$k^2-10k+ 24=0$ より
固有値は $k=6,\hspace{3}4$

　固有値が $k=6$ のとき，
$\begin{pmatrix}5-6& -1\\-1& 5-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1& -1\\-1& -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$x+ y=0$ だから
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
１つの固有ベクトルは
$\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$

　固有値が $k=4$ のとき，
$\begin{pmatrix}5-4& -1\\-1& 5-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1& -1\\-1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$
$x-y=0$ だから
$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$
１つの固有ベクトルは
$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

(2)
　以上２組の固有値，固有ベクトルは，次の形に表せる
$\begin{pmatrix}5& -1\\-1& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\times 6$
$\begin{pmatrix}5& -1\\-1& 5\end{pmatrix}\hspace{20}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\hspace{20}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\times 4$
これらは1つにまとめて次の形に書ける
$\begin{pmatrix}5& -1\\-1& 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6& 0\\0& 4\end{pmatrix}$
両辺に右から $\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 1\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1& -1\\1& 1\end{pmatrix}$ を掛けると
$\begin{pmatrix}5& -1\\-1& 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6& 0\\0& 4\end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1& -1\\1& 1\end{pmatrix}$

(3)
$\begin{pmatrix}5& -1\\-1& 5\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1& 1\\-1& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6^n& 0\\0& 4^n\end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1& -1\\1& 1\end{pmatrix}$
$=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}6^n+ 4^2& -6^n+ 4^n\\-6^n+ 4^n& 6^n+ 4^n\end{pmatrix}$

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