逆行列

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数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
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ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計 maxima

※高卒から大学初年度向け「行列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓ベクトル.行列の超基本
↓行列と一次変換
↓点の像と原像（高校）
↓行列と１次変換

↓ベクトルの直交条件
↓１次独立,１次従属,基底,次元,核,階数
↓行列の階数
↓転置行列,対称行列,対角行列,三角行列

↓逆行列(1)
↓逆行列(2)-現在地

↓行列式(1)
↓行列式(2)
↓行列式(3)
↓行列式.基本性質による変形

↓固有値.固有ベクトル（定義）
↓固有値と固有ベクトル(求め方)
↓固有値と固有ベクトル(問題)

↓行列の対角化とは（定義）
↓行列を対角化するには（求め方）

表計算などによる連立方程式の解き方

■逆行列

（参考）
○高校数学での逆行列の求め方
○余因子行列による逆行列の求め方
○行基本変形による逆行列の求め方（この頁）

【逆行列とは】
　ｎ次正方行列Aに対して
AB=BA=En
が成り立つとき，ｎ次正方行列BをAの逆行列といい，A−1で表す．ここに，Enはｎ次の単位行列とする．

【例】
(1)　２次の正方行列について

だから

は

の逆行列
また，

は

の逆行列
(2)　３次の正方行列について

だから

は

の逆行列
また，

は

の逆行列

※ｎ次正方行列Aの逆行列A−1が存在するとき
AA−1=A−1A=En
が成り立つ．
※正方行列でないものについては逆行列は考えない．

【逆行列の求め方】
○２次の正方行列について，高校では（教育課程により，また科目選択により，習わないことがある）次のように覚える．

（ア）　|A|=ad−bc≠0のとき，逆行列が存在し

の逆行列は.

1ad−bcnnnnn

の対角成分は入れ替えて，対角でない成分は符号だけ変えたもの

を考えると，

となるから，全体をad−bcで割ると単位行列になる．

（イ）　|A|=ad−bc=0のときは，逆行列は存在しない．

○３次以上の正方行列については，
A=

の逆行列を求めるには，その右側に単位行列を付けた次のような行列を考えて

行基本変形によってAを単位行列にできたときの右側の行列が逆行列（Aを単位行列にできないとき（|A|=0のとき）は逆行列は存在しない）

【例】
(1)
（高校数学で習う方法で）A=

の逆行列を求めるには，まず対角成分は入れ替えて，対角でない成分は符号だけ変えて

を考える．次に，これを行列式|A|=4−6=−2で割って A−1=

とする．

【行基本変形で求める方法】
右側に単位行列を付けた次のような行列を考える

１行目は左端が1になっている．２行目から１行目の３倍を引く

２行目の0でない左端を1にするために，２行目を−2で割る

１行目から２行目の２倍を引いて，左側の行列を単位行列にする

よって，

−1=

(2)
行基本変形によって

の逆行列を求めるには，はじめに右側に単位行列を付けた次のような行列を考える

１行目と２行目を入れ替える

３行目から１行目の２倍を引く

１行目から２行目を引く，３行目に２行目を足す

１行目に３行目を足す，２行目から３行目の２倍を引く

よって，

−1=

○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）

○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．
　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください．

※正しい番号をクリックしてください．

平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-16

　２次の正方行列がA