ケーリー・ハミルトン(2)

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※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

== ケーリー・ハミルトンの定理(2) ==
※　ケーリー・ハミルトンの定理は，使えない場面では使わないことが大切です。
［要点］
●A=

について，ケーリー・ハミルトンの定理から

＜いえること＞
ｐ＝ａ＋ｄ，ｑ＝ａｄ－ｂｃとおくと

Ａ²-ｐＡ+ｑＥ＝０

＜いえないこと＞
ａ＋ｄ＝ｐ，ａｄ－ｂｃ＝ｑ　
××

Ａ²-ｐＡ+ｑＥ＝０

＜例(*)：出てくる場面＞
A=

について，
Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０　のとき　ａ＋ｄ＝7，ａｄ－ｂｃ＝６　といえるか？

→　いえない。

まず，次の関係に注意します。

「

x A + y E = 0

」のとき

x, y

の値は？

（ア）

A \neq k E

のとき　(

A

が単位行列の定数倍でないとき)，

x = y = 0

と言える．

（証明）

x \neq 0

ならば

A = - \frac{y}{x} E

すなわちＡが単位行列の定数倍となり矛盾を生じるから，

x = 0

でなければならない．

このとき，原式に

x = 0

を代入すると，

y E = 0

より

y = 0

以上より，

x = y = 0

が成り立つ

（イ）

A = k E

のとき　(

A

が単位行列の定数倍であるとき)

x = y = 0

とは限らない

（証明）

x (\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix}) + y (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

すなわち

(\begin{matrix} k x + y & 0 \\ 0 & k x + y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

は

x = 0, y = 0

でなくとも成立する。

(1，1)成分をみれば

y = - k x

のとき常に成り立つことが分かる
たとえば，

A = 2 E = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

の場合を考えてみると，

x A + y E = 0

は

(\begin{matrix} 2 x + y & 0 \\ 0 & 2 x + y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

となり

x = 1, y = - 2

，

x = 2, y = - 4

，

x = 3, y = - 6

，など

x = 0, y = 0

でない解は幾らでもある

＜上の例(*)の場合＞
与えられた条件から

A2−7A+6E=0…（1）

ケーリー・ハミルトンの定理から

A2−(a+d)A+(ad−bc)E=0…（2）

以上の2つが成立することは言える．

そこで
(1)-(2)

(ａ＋ｄ－７)Ａ+(６-ａｄ＋ｂｃ)Ｅ＝０

（ア）　Ａ≠ｋＥのとき

ａ＋ｄ＝７，ａｄ－ｂｃ＝６・・答

（イ）　Ａ＝ｋＥのとき

Ａ＝

とおくと、

(2ｋ－７)

+（6-ｋ²）

＝0

(1,1)成分，(2,2)成分から

(２ｋ－７)ｋ+6-ｋ²＝0
ｋ²-7ｋ+6＝0
ｋ＝１，６

Ａ＝

，

のとき，
各々

Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０

は成立する．

ａ＋ｄ＝2，ａｄ－ｂｃ＝1・・答
及び，ａ＋ｄ＝12，ａｄ－ｂｃ＝36・・答

このようにして，Ａ≠ｋＥのときはａ＋ｄ＝７，ａｄ－ｂｃ＝６が成り立つが，
Ａ＝ｋＥのとき，ａ＋ｄ＝７，ａｄ－ｂｃ＝６以外の値になるので，
Ａ²-7Ａ+6Ｅ＝０のときａ＋ｄ＝7，ａｄ－ｂｃ＝６とは限らない

※Ａ＝ｋＥの可能性がある問題は，結局，成分計算となる

例題1
Ａ＝

が　Ａ²-Ａ-6Ｅ＝０　を満たすとき　ａ＋ｄ，ａｄ－ｂｃ　の値を求めなさい。

答案例
条件から，Ａ²-Ａ-6Ｅ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-(a+d)Ａ+(ad-bc)Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)
(a+d-1)Ａ+(-6-ad+bc)Ｅ＝0・・・(3)
（ア）　Ａ≠ｋＥのとき，

　(3)より，a+d=1，ad-bc＝-6・・・答

（イ）　A＝ｋＥのとき，

Ａ＝とおくと，
(2k-1)+(-6-ｋ²)E=0
(1,2)成分，(2,1)成分は成立。
(1,1)成分，(2,2)成分から
2ｋ²-ｋ-6-ｋ²＝0
ｋ²-ｋ-6＝0
k=3,-2
k=3のとき，a+d=6，ad-bc=9・・答
k=-2のとき，a+d=-4，ad-bc=4・・答

※Ａ＝ｋＥの可能性がない問題は，一言断ればケーリー・ハミルトンだけで済む

例題２
Ａ＝

について　Ａ²+ｘＡ+ｙＥ＝０　が成り立つとき，ｘ＝［ア］，ｙ＝［イ］

答案例
条件から，Ａ²+ｘＡ+ｙＥ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-5Ａ+2Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)　（ｘ＋５）Ａ+（ｙ－２）Ｅ＝０
Ａ≠ｋＥ　だから・・・（記述式答案では，一言断ることが大切）
　ｘ＝－５，ｙ＝２・・・答

［問題］

≪１≫

条件から，Ａ²-４Ａ＋３Ｅ＝０・・・(1)
ケーリー・ハミルトンの定理からＡ²-(a+d)Ａ+(ad-bc)Ｅ＝０・・・(2)
(1)-(2)
(a+d-4)Ａ+(3-ad+bc)Ｅ＝0・・・(3)
（ア）　Ａ≠ｋＥのとき，

　(3)より，a+d=，ad-bc＝・・・答

（イ）　A＝ｋＥのとき，

Ａ＝

とおくと，
(2k-4)

+(3-ｋ²)E=0
(1,2)成分，(2,1)成分は成立。
(1,1)成分，(2,2)成分から
2ｋ²-4ｋ+3-ｋ²＝0
ｋ²-4ｋ+3＝0
k=3,1
k=3のとき，a+d=，ad-bc=・・答
k=1のとき，a+d=，ad-bc=・・答

≪２≫

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