行列の計算(まとめ１)

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※旧教育課程の高校数学Cに含まれていた「行列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓行列の記号と用語
↓行列の相等，和，差，実数倍
↓行列の積
↓行列の計算(まとめ)-現在地

↓行列の乗法の性質
↓零因子
↓行列のｎ乗
↓行列のｎ乗(2)
↓行列のｎ乗(3)

↓逆行列
↓ケーリー・ハミルトンの定理
ケーリー・ハミルトンの定理(2)

※高卒から大学初年度向けの「ベクトル，行列」について，このサイトには次の教材があります．
*** ベクトル ***
↓ ●ベクトル.行列の超基本 ●ベクトルの直交条件
●１次独立，１次従属，基底，次元，核，階数
*** 行列 ***
↓ ●逆行列(1) ●逆行列(2)
↓ ●転置行列，対称行列,対角行列，三角行列
●行列の階数
*** 行列式 ***
●行列式(1) ●行列式(2) ●行列式(3)
*** 一次変換 ***
●行列と一次変換 ●点の像と原像
*** 固有値 ***
↓ ●固有値.固有ベクトルの定義
↓ ●固有値と固有ベクトル(1) ●固有値と固有ベクトル(2)
●行列の対角化とは ●行列を対角化するには

== 行列の計算 ==(まとめ)
【まとめ】

[行列の相等]・・・２つの行列が同じ型であって，かつ，対応する成分がそれぞれ等しいとき，これらの行列は等しいという。

【例】
２×２行列の相等

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})

は，次の４つの方程式からなる連立方程式と同値

a_{11} = b_{11}

a_{12} = b_{12}

a_{21} = b_{21}

a_{22} = b_{22}

[行列の和]・・・２つの行列が同じ型であるとき，対応する成分の和を成分とする行列をそれらの行列の和という。

【例】
２×２行列の和

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})

= (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{matrix})

[行列の差]・・・２つの行列が同じ型であるとき，対応する成分の差を成分とする行列をそれらの行列の差という。

【例】
２×２行列の差

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) - (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})

= (\begin{matrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} \end{matrix})

[行列の実数倍]・・・各成分に同じ値を掛けたもの。

【例】
２×２行列の実数倍

k (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{matrix})

[行列の積]・・・
　型：L×M行列とM×N行列の積はL×N行列になる。
　成分：p 行と q列の内積がpq 成分になる。

【例】
２×２行列と２×２行列との積

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})

= (\begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{matrix})

■　問題　次の空欄を埋めなさい。

(1)

採点するやり直す解説

(2,2)成分は−4+8=4になります

(2)
採点するやり直す解説

(1,2)成分は

(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2

になります

(3)
採点するやり直す解説

(2,2)成分は8−(−4)=12になります

(4)
採点するやり直す解説

(1,1)成分は

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

になります

(5)
採点するやり直す解説

3 (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 2 & - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 & 0 \\ 6 & - 9 \end{matrix})

になります

(6)
採点するやり直す解説

\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} \sqrt{2} & - 2 \\ 2 & - \sqrt{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & - 1 \end{matrix})

になります

(7)
採点するやり直す解説

(\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 10 \end{matrix})

になります

(8)
採点するやり直す解説

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

になります

(9)
採点するやり直す解説

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & 3 \\ - 6 & 7 \end{matrix})

になります

(10)
採点するやり直す解説

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} \end{matrix})

になります

(11)
採点するやり直す解説

(\begin{matrix} 1 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \end{matrix})

になります

(12)
採点するやり直す解説

(\begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{6} \end{matrix})

になります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の計算(まとめ)について／17.5.23］

感で解けます（ヒラキ）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．勘ぐるの勘の方がこの文脈で使う漢字としてはいい感じです．ヒラキとは？人名？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[行列の計算(まとめ)について／17.3.25］

今春から大学生になりますが、高校3年間ちょくちょくわからない場面で使わせていただきました。本当に助かりました。大学の予習にもぼちぼち使わせていただきます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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