正方行列のｎ乗

※旧教育課程の高校数学Cに含まれていた「行列」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓行列の記号と用語
↓行列の相等，和，差，実数倍
↓行列の積
↓行列の計算(まとめ)

↓行列の乗法の性質
↓零因子
↓行列のｎ乗-現在地
↓行列のｎ乗(2)
↓行列のｎ乗(3)

↓逆行列
↓ケーリー・ハミルトンの定理
ケーリー・ハミルトンの定理(2)

【２乗が定義できない例】

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})

のとき

A^{2} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})

を計算しようとしても，例えば (1,1)成分を求めるときに

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})

となって，３の相手がいない．他の成分についても同様

入力可能な文字は，「半角数字(0～9)」及び「符号のマイナス( - )」です。（a,b,x,nなどの文字式は使えません）
上の表のＡの成分を入力し、下のボタンをクリックすれば，Ａの累乗が計算できます。

(1)

{(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})}^{2}

解説

(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})

は２行１列形の行列で，行数と列数が異なるので，２乗は定義されません．

(2)

{(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix})}^{2}

解説

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix})

は２行３列形の行列で，行数と列数が異なるので，２乗は定義されません．

(3)

{(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})}^{4}

解説

対角行列のｎ乗は，各成分をｎ乗を成分すれば求められます

{(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix})

{(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})}^{3} = (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{matrix})

{(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})}^{4} = (\begin{matrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 & 0 \\ 0 & 81 \end{matrix})

(4)

{(\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{3}

解説

{(\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 a \\ 0 & 1 \end{matrix})

{(\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{3} = (\begin{matrix} 1 & 2 a \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 3 a \\ 0 & 1 \end{matrix})

になります

(5)

{(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{matrix})}^{2}

解説

{(\begin{matrix} a & 0 \\ b & 0 \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} a & 0 \\ b & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} a & 0 \\ b & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a^{2} & 0 \\ a b & 0 \end{matrix})

のように各成分を

a

倍したものになります

(\begin{matrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{matrix})

(6)

{(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{matrix})}^{2}

解説

{(\begin{matrix} 0 & 0 \\ x & y \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ x & y \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 \\ x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ x y & y^{2} \end{matrix})

のように各成分を

y

倍したものになります

(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 12 & 16 \end{matrix})

髫ｨ�ｳ陋ｹ�ｺ隴ｫ螟撰ｿｽ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯溷私�ｽ�｢驛｢�ｧ陋幢ｽｵ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ邇厄ｽｫ�｢雋企ｳｶ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｯ髯ｷ闌ｨ�ｽ�ｨ鬯ｩ蟷｢�ｽ�ｨ鬮ｫ�ｱ�ｽ�ｭ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陝ｶ蜷ｮﾂ�ｻ驛｢�ｧ郢ｧ�ｽ�ｽ閾･�ｸ�ｺ�ｽ�｣驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ
髫ｨ�ｳ陋ｹ�ｺ隨渉髫ｲ�ｽ�ｽ�ｳ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯ｷﾂ�ｽ�ｽ邵ｲ謚ｵ�ｿ�ｽ陟募ｨｯ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｮ髯懶ｿｽ陜楢ｶ｣�ｽ�｡陟募ｨｯﾂ�ｲ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｩ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ邵ｲ蝣､�ｸ�ｺ郢ｧ�ｽ螟｢驍ｵ�ｺ雋�ｼ会ｽｰ驛｢�ｧ陷ｻ闌ｨ�ｽ�ｭ�ｽ�｣鬩墓慣�ｽ�ｺ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ髫ｴ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｧ髣費ｽｨ隴擾ｽｴ遶擾ｽｴ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ隨ｳ�ｽ�ｸ�ｺ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ隨ｳ�ｽ�ｬ�ｾ�ｽ�ｹ髯懈ｻゑｽｿ�ｽ�ｽ�ｦ遶擾ｽｵ隰泌調�ｸ�ｺ�ｽ�ｫ髯晢ｿｽ�ｽ�ｾ驍ｵ�ｺ陷会ｽｱ遯ｶ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｯ�ｽ�ｽ隰疲ｺｷ�ｺ�ｽ螯呻ｿｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ鬯ｮ�ｯ髣企ｯ会ｽｽ鬘俶ｱ橸ｿｽ�ｾ髯滂ｽ｢隲帛ｲｩ�ｽ驛｢�ｧ闕ｵ譎｢�ｽ閧ｲ�ｸ�ｺ�ｽ�ｽ遶企豪�ｸ�ｺ陷会ｽｱ遯ｶ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｻ�ｻ�ｽ�ｼ髮懶ｽ｣�ｽ�ｼ鬩包ｽｺ�つ�ｽ�ｻ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ陞ゑｿｽ�ｽ�ｼ隴ｴ�ｧ陋ｻ�､髫ｰ�ｦ�ｽ�ｽ陜趣ｽｪ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ髫ｴ�ｽ�ｿ�ｽ�ｽ�ｫ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ�ｽ�｣驍ｵ�ｺ�ｽ�ｦ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｽ�ｽ邇匁捗�ｽ�ｴ髯ｷ�ｷ陋ｹ�ｻ�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ陟募ｨｯ關ｽ驛｢�ｧ陟暮ｯ会ｽｽ螳壽ｦ�ｽ�ｬ鬯ｮ�｢闕ｵ譏ｶ�ｽ驛｢�ｧ闕ｵ譏ｶ�ｽ鬩包ｽｲ�ｽ�ｽ�つ�ｽ�ｽ隨�ｽ｡驍ｵ�ｺ闔会ｽ｣邵ｲ蝣､�ｸ�ｺ�ｽ�ｪ驍ｵ�ｺ陷托ｽｰ�ｽ�ｪ�ｽ�ｭ鬮｢�ｽ�ｽ�ｽ�ｽ繧句擅�ｽ�ｭ驛｢�ｧ�つ驍ｵ�ｺ髦ｮ蜷ｮ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｫ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｪ驛｢�ｧ驗呻ｽｫ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陷ｷ�ｶ�ｽ�ｽ驍ｵ�ｺ�ｽ�ｧ�ｽ�ｽ隴ｴ�ｧ雎撰ｽｻ鬨ｾ蛹�ｽｽ�ｨ驍ｵ�ｺ陷会ｽｱ遶擾ｽｪ驍ｵ�ｺ陝ｶ蜻ｻ�ｽ髮｣�ｿ�ｽ髮懶ｽ｣�ｽ�ｼ�ｽ�ｽ