階乗

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの場合の数・順列・組合せについて，このサイトには次の教材があります．
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↓積の法則
↓和の法則
↓場合の数のまとめ方
↓樹形図,辞書式配列

↓階乗

↓階乗・順列
↓隣り合う.合わない並び方
↓両端指定・整数の順列
↓円順列・じゅず順列
↓重複順列

↓組合せ
↓組合せ(2)
↓組合せ（文章題）
↓組分け
↓同じものがあるときの順列
↓順路の問題
↓番号札のもらい方

↓二項定理，多項定理

↓重複組合せ
↓重複組合せ（文章題）

順列，組合せ（章末問題）

■階乗
　順列や組み合わせでは、4×3×2×1のように整数を階段状に掛ける計算がしばしば登場します。これを表すために、階乗という記号を使います。

【階乗の定義】
　正の整数nから１つずつ小さい整数を1まで順に掛けた積を n!で表します。

n!=n×(n-1)×･･･×3×2×1

　「nの階乗（かいじょう）」と読みます。
　階乗は、正の整数に対して定義されていますので、(-2)! のような「負の数の階乗」や、1.5! のような「小数値の階乗」は定義されません。0!は後に順列や組合せに関連して、別途定義されます。

【階乗の例】

0! =1（←例外、重要、後に順列・組合せの項目で定義されます。）
1! =1
2!= 2×1=2
3!= 3×2×1=6
4!= 4×3×2×1=24
5!= 5×4×3×2×1=120
6!= 6×5×4×3×2×1=720
7!= 7×6×5×4×3×2×1=5040

負の数！　←なし
小数！　　←なし
分数！　　←なし

　このように階乗は、階段状に次々と掛ける計算になりますので、nが大きくなると急速に大きくなり、 100! （158桁の整数）などは筆算や普通のコンピュータソフトでは求められません．

【駅の風景で分かる階乗計算】
≪階乗の割り算：5!÷4!を求めるには≫
５両編成の列車の前に４両編成の列車を止めると５両目が見えます

【階乗計算の例】

(3+2)! = 5! = 120
(3 - 2)! = 1! = 1

【よくある間違い】
階乗の「かっこ」は外れません
（文字式の計算で慣れているような、かっこを外す公式はありません。かっこの中から計算するしかありません。）
(a-b)! →× a!-b!
したがって、(3-2)! の計算は
× (3-2)!→3!-2!→6-2=4
○ (3-2)! = 1! = 1

（参考）より進んだ学習のために
　大学では，階乗記号を重ねたものは別の意味が定義されています．

　3!!は(3!)!→6!=720ではなく，奇数だけを掛けたもの3!!=3×1=3を表す．
　同様にして4!!は(4!)!→24!ではなく，偶数だけを掛けたもの4!!=4×2=8を表す．
　⇒　高校ではn!!という記号はうっかり使わない方がよい．

≪問題≫次の値を求めてください．

(1) 4!+6!

10 24 42 144 744

HELP

4!=4×3×2×1=24
6!=6×5×4×3×2×1=720
だから
4!+6!=24+720=744
別々に求めて，後から足すようにします．

(2) (2+3)!

5 8 24 120 720

HELP

かっこの中を先に計算します．
(2+3)!=5!=5×4×3×2×1=120
階乗のかっこは単純にははずれないので，次のような間違いをしないように気をつけましょう．
(2+3)!→2!+3!→2+6 ××

(3) (7−5)!

2 12 42 600 4920

HELP

かっこの中を先に計算します．
(7−5)!=2!=2×1=2
階乗のかっこは単純にははずれないので，次のような間違いをしないように気をつけましょう．
(7−5)!→7!−5!→?? ××

(4) .

7!5!nn

2 12 42 600 4920

HELP

解説の階乗計算の例にあるように，できるだけ約分して簡単にします．

7!5!nn=.

7×6×5×4×3×2×15×4×3×2×1nnnnnnnnnnnnnnn=7×6=42

(5) 1!×0!

0 1 2 3 4

HELP

　0!=1です．（本来，階乗記号は正の整数に対して定義されますが，0!は解説にあるように，順列・組合せの公式を煩わしい制約なしに使えるようにするための「約束事」です．）
　他方で，1!も1なので
　結局，1!×0!=1×1=1になります．

(6) .

6!4!2!nnnn

2 6 12 15 20

HELP

解説の階乗計算の例にあるように，できるだけ約分して簡単にします．

6!4!2!nnnn=.

6×5×4×3×2×14×3×2×1×2×1nnnnnnnnnnnnn=.

302nn=15

■［個別の頁からの質問に対する回答］[階乗について／17.8.3］

何も知らない中学生でしたが、五分くらいで階乗についての簡単な理解が可能でした
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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