■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／18.9.27］
上記の説明読ませて頂きました。私の宿題の問題でこちらに書いてあるのではないので申し訳ないのですが、
「白玉4個、黒玉3個、赤玉1個を円形に並べる方法は35通りある。また、これらの玉に紐を通し、輪を作ると何通りできるか。」
という問題があまり理解出来ません。答えは19通りになるのですが.....。もし宜しければ教えてください！お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自の宿題の答えについては，原則として回答しないことにしていますが，答も書いてあるので境界線はあいまいでもよいかと．そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に勝手に答えて，本当の答案は自分で考えてもらうことにします．
まず，同じものがあるときの「円順列」については≪10≫の解説を読んでください．次に，「じゅず順列」については赤1個，白3個，黒2個の場合に勝手に簡単な問題に書き換えて，これに答えてみます．「円順列」の総数は  通り．[A]上の図(1)(2)のように左右非対称なものは「円順列」では別々に数えるが，「じゅず順列」としては，裏返したら重なるから，同じものとみなす．[B]これに対して上の図(3)のように左右対称なものは，「円順列」の段階でも初めから１通りしか数えていない．そこで，「円順列」の総数 通りのうち[B]の型のものはそのまま数えて，[A]の型のものは半分だけ数えるとよい．（[B]の個数は絵を描いて１つずつ調べる）．[B]は2通りだから，[A]は8通り．したがって，  通り…（答）
あなたの質問した問題では，「円順列」の総数が  通り，[B]が3通りだから，[A]が35−3=32，これらを使って上記のように計算すると19になります．
（これは基本問題ではなく，ほぼほぼ応用問題）
■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／18.3.3］
例題10で、赤紙、青紙、黄紙をビーズだと考えて糸を通して輪を作るとすると、どのような計算方法になりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．同じものが含まれているような場合の円順列，じゅず順列の計算は，実際上は「根性物語」が計算方法だと思います．
左図のトリニトロトルエンの異性体が何通りあるかという問題と同じです（自然界ではNO 2がCH 3に対して，2,4,6の位置にあるものしかできないらしいが，理屈上は何通りあるかと考えた場合）．CH 3を上端に固定して，Hを並べていくとよいでしょう．この問題のように同じものがある場合には，左右対称なものは裏返しても同じなので，１つと数えるようにします．
根性で順に絵を描いていくと6通り．［円順列10通りから削っていく場合は，円順列が左右非対称なもの4通りは裏返したら重なるから-4．円順列が左右対称なもの２通りはそのまま２通り⇒結局6通り］
とても役に立ちました！
ほんとにこういうのがあると助かります！
無料でこのサイトを見れるのは、ありがたいです。これからも、よろしくお願いします。
しかし、円順列とじゅず順列の問題の15番だけ解説が表示されません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検してみましたが，iPhone, Androidのいずれでも正常に表示されました．- - ただし，数年前にGoogleから個別にご指導を受けたことがあり，「リンクの間隔が狭過ぎる！」という趣旨だったので，スマホ用ページでは，できるだけ選択肢や解説などの作動ボタンを離して設置するように改良している（年月がかかる）途上です．どうしても誤作動する場合は，ズームインしてから選択してください．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.11.21］
問題《5》についてですが、先生の並ぶ順番が回ることを除いて1通りなのはなぜですか？
＝＞［作者］：
連絡ありがとう．上のＡ，Ｂ，Ｃ，・・・，の並び方は円順列としては同じものです．「向かい合う」という指定があれば２人のＴ（先生）の相互関係は回ることを除いて１通りに決まります．
14と15の問題の解き方がわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問者の状況が分かりませんので，答えられないです．つまり，13番までは分かったが14,15が分からないのか，13番までも分からないのか．HELPで解説が出ることに気付かないのか，解説を見てもまだ分からないのか．順列を学習してから円順列を学んでいるのか，それともネットでたまたま出たページを見ているのか．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.6.10］
青いカード3枚と赤いカード6枚を円形に並べる問題で、書いてある通りに9！/3！6！＝84として、
その後9で割ろうとしても割り切れません。どうして１０番の問題ではその解法を使えるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．円順列については，公式が成り立つ場合だけを説明するのが普通で，公式が成り立たない場合に踏み込んでいくと複雑過ぎて初心者が混乱してしまうことが多いので，触れずに置いておいて応用問題に回すようにしています．すなわち
「ｎ個の異なるものを」「全部使って」できる円順列の総数は (n−1)！
という公式において，「同じものがある場合」「一部分だけを使う場合」は公式の前提を満たしていないので，簡単には求められません．戦国時代の混とん状態になり，積の法則・和の法則や樹形図・辞書式配列のような原始的な取り扱いに帰って１つずつ数えざるを得ません．
【例１】５個の異なるものから４個とってできる円順列の総数は？
⇒上の円順列の公式だけではできません．４個とる取り方は5C4=5通り．その各々について円順列は(4−1)!=3!=6通り．結局，30通り
【例２】赤玉が１個，青玉が２つあり青玉は区別できないとき，これら３個を使ってできる円順列の総数は？
⇒同じものがあるときは円順列の公式に直接当てはめることはできません．まず，青玉に青１，青２と区別しておくと，これら３個のものを使ってできる円順列の総数は(3−1)!=2!=2通り．しかし，青玉は区別できないのだから，各々の円順列において青玉を交換した倍率（2倍）だけ数え過ぎているので，２で割ると1通り．
⇒この問題では，赤玉は１つしかないから，まず赤玉を上に置くと決めると，残りの置き方は自動的に決まるので，１通りになるという話とつじつまが合う．
【例３】赤玉が２個，青玉が２個あり同じ色の玉は区別できないとき，これら４個を使ってできる円順列の総数は？
⇒先に赤玉を並べると，隣り合う場合と１つ置きになっている場合とがある．このとき残りの場所は自動的に青玉の場所になる．結局2通り．
⇒この問題では，同じものがあるときの順列4C2=6通りを４で割っても解答にはならない．
さて，質問の本題に戻ると，教材の10番の問題では赤が１枚になっていて，これを固定すると残りのものは単に同じものがあるときの順列になるので解けるのです．これに対して，青玉３個，赤玉６個があって同じ色の球が区別できないとき，例えば頂上に位置に置く青玉を固定しようにもどの玉の話なのか決まりませんので，３個の青玉の配置を考えます．(1) 青玉３個が（3個連続で）互いに隣り合っている場合→１通り．赤玉は残りの場所に自動的に入る．(2) 青玉２個が互いに隣り合い，もう１つの青玉が左回りに数えて2個目，3個目，4個目，..，6個目にある場合→4通り．赤玉は残りの場所に自動的に入る．(3) どの青玉も隣り合わない場合→根性で数えていくことになります．
このように，同じものがあるときの円順列の総数はとても複雑になります．1個しかない玉があれば，それを固定すると単に同じものがあるときの順列になって，簡単になります．
※通常，教科書でもキラキラ輝く明るい道筋だけ（異なるものを全部使う円順列の総数）を扱っており，１つでも前提が外れると（同じものがある場合，一部分を使う場合，何回でも使える場合）暗闇の中でもがくような話になってしまうので，あまり触れていません．しかし，この前提を確認することは重要だということをどこかに書いておきます．
ぜんぜんわかんない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．できれば助けてやりたいと考えていても，どこがどう分からないのかを述べないと，助けようがありません．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.3.29］
何を言っているのかがわかりにくいです「例1からわからない」
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いきなりその頁だけを見ているようですが，順列・組合せの基本が理解できていないのかもしれません．投げるのもあなたの自由，食らいつくのもあなたの自由です．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.2.26］
採点するを押すと右の欄にキャラクターが表示されるがこれが正解か不正解かわからない。
全角で数字を入力すると値が正しくても不正解になる。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全問不正解なら区別はつきませんが１つでも正解があればわかるはずです.半角文字で入力してください．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／17.1.14］
自分は受験生なのに勉強する意思が弱いのですが、パソコンを使って簡単にできて、すごくわかりやすく勉強しやすいです。本当に感謝の気持ちでいっぱいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[円順列，じゅず順列について／16.11.28］
むりなものがあります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．主語を省略すると反対の意味になる場合があります．すなわち「あなたには無理なものがある」ということでしたら「もっと頑張りましょう」になりますが，「そもそも解けない問題がある」ということでしたら「問題が間違っています」という意味になります．
このように，仲間内では省略できる主語や述語は他人に伝える場合は省略できませんので注意してください．
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右の６個の輪は前の問題の円順列ですが，この中には裏返せば重なるものが２つずつあります.
※「裏返すとつぶれてしまう」ものは，じゅず順列ではなく円順列で数えることになります．
１の裏には６が来るので，２，３，４，５は１と隣り合っています.