...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの場合の数・順列・組合せについて，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓積の法則
↓和の法則
↓場合の数のまとめ方
↓樹形図,辞書式配列
↓階乗
↓階乗・順列
↓隣り合う.合わない並び方
↓両端指定・整数の順列
↓円順列・じゅず順列
↓重複順列
↓組合せ
↓組合せ(2)
↓組合せ（文章題）
↓組分け
↓同じものがあるときの順列
↓順路の問題
↓番号札のもらい方
↓二項定理，多項定理
↓重複組合せ
↓重複組合せ（文章題）
順列，組合せ（章末問題）

← PC用は別頁

【例1】
　４人の生徒が円形のテーブルのまわりに座るとき、座り方は何通りあるか.

《要点》
ｎ個のもの全部を使ってできる円順列の総数は
そのうち１個を固定して，残り（ｎ－１）個のものを並べる順列と考えるとよいから
（ｎ－１）！

※この公式が使えるのは
「ｎ個のものを全部使う場合」かつ「1回ずつ使う場合」かつ「同じものがない場合」です．
これらの条件を１つでも満たしていない場合には，上記のような簡単な式にはなりません．

【例2】
　ダイヤ，サファイヤ，ルビー，水晶の４個の宝石を使って首飾りを作るとき，何通りの首飾りができるか.

《要点》
ｎ個のもの全部使ってできるじゅず順列の総数は
（ｎ－１）！÷２

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．

≪1≫
　５人の人が円形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか.

≪2≫
　６人の生徒が手をつないで輪になる方法は何通りあるか.

≪3≫
　父母と子供３人の合計５人が円卓のまわりに座るとき，父母が隣り合う座り方は何通りあるか.

≪4≫
　父母と子供４人の合計６人が円卓のまわりに座るとき，一番年下の子供が父母の間に座る方法は何通りあるか.

≪5≫
　先生２人，生徒６人の合計８人が手をつないで輪になるとき，先生は互いに向かい側に来るような並び方は，何通りあるか.

≪6≫
　男子２人，女子４人の合計６人が手をつないで輪になるとき，男子が隣り合わない並び方は何通りあるか.

≪7≫
　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇの７人が卓のまわりにすわるとき，Ｄ，ＦがともにＡと隣り合うような座り方は何通りあるか.

≪8≫
　男女５人ずつ合計10人が手をつないで輪になるとき，男女が交互に並ぶ方法は何通りあるか.

≪9≫
　４人の人が次の図のように正方形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか.

≪10≫
　赤１枚，青２枚，黄３枚の合計６枚のカードを机の上で円形に並べる方法は何通りあるか.ただし，同じ色のカードには区別はないものとする.

≪11≫
　相異なる６個の宝石を全部使って首飾りを作る方法は何通りあるか.

≪12≫
　相異なる６個の宝石のうち４個を使って首飾りを作る方法は何通りあるか.

≪13≫
　立方体(正六面体)の表面を６種類の色を全部使って塗り分ける方法は何通りあるか.

≪14≫
　正四面体の４面を赤，青，黄，緑の４色で塗り分ける方法は何通りあるか.

≪15≫
　実際に使われるさいころは，向かい合う２面に書かれた数の和が７になるように作られています.（1の裏は6，2の裏は5，3の裏は4です.）この約束だけでさいころを作ると，異なる種類のさいころは，何通りできるか.

上記の説明読ませて頂きました。私の宿題の問題でこちらに書いてあるのではないので申し訳ないのですが、 「白玉4個、黒玉3個、赤玉1個を円形に並べる方法は35通りある。また、これらの玉に紐を通し、輪を作ると何通りできるか。」 という問題があまり理解出来ません。答えは19通りになるのですが.....。もし宜しければ教えてください！お願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各自の宿題の答えについては，原則として回答しないことにしていますが，答も書いてあるので境界線はあいまいでもよいかと．そこで，尋ねられた問題に答えずに，尋ねられていない問題に勝手に答えて，本当の答案は自分で考えてもらうことにします．
　まず，同じものがあるときの「円順列」については≪10≫の解説を読んでください．次に，「じゅず順列」については赤1個，白3個，黒2個の場合に勝手に簡単な問題に書き換えて，これに答えてみます．「円順列」の総数は通り．[A]上の図(1)(2)のように左右非対称なものは「円順列」では別々に数えるが，「じゅず順列」としては，裏返したら重なるから，同じものとみなす．[B]これに対して上の図(3)のように左右対称なものは，「円順列」の段階でも初めから１通りしか数えていない．そこで，「円順列」の総数通りのうち[B]の型のものはそのまま数えて，[A]の型のものは半分だけ数えるとよい．（[B]の個数は絵を描いて１つずつ調べる）．[B]は2通りだから，[A]は8通り．したがって，通り…（答）
あなたの質問した問題では，「円順列」の総数が通り，[B]が3通りだから，[A]が35−3=32，これらを使って上記のように計算すると19になります．
（これは基本問題ではなく，ほぼほぼ応用問題）

例題10で、赤紙、青紙、黄紙をビーズだと考えて糸を通して輪を作るとすると、どのような計算方法になりますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．同じものが含まれているような場合の円順列，じゅず順列の計算は，実際上は「根性物語」が計算方法だと思います．
左図のトリニトロトルエンの異性体が何通りあるかという問題と同じです（自然界ではNO₂がCH₃に対して，2,4,6の位置にあるものしかできないらしいが，理屈上は何通りあるかと考えた場合）．CH₃を上端に固定して，Hを並べていくとよいでしょう．この問題のように同じものがある場合には，左右対称なものは裏返しても同じなので，１つと数えるようにします．
根性で順に絵を描いていくと6通り．［円順列10通りから削っていく場合は，円順列が左右非対称なもの4通りは裏返したら重なるから-4．円順列が左右対称なもの２通りはそのまま２通り⇒結局6通り］

とても役に立ちました！ ほんとにこういうのがあると助かります！ 無料でこのサイトを見れるのは、ありがたいです。これからも、よろしくお願いします。 しかし、円順列とじゅず順列の問題の15番だけ解説が表示されません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．点検してみましたが，iPhone, Androidのいずれでも正常に表示されました．- - ただし，数年前にGoogleから個別にご指導を受けたことがあり，「リンクの間隔が狭過ぎる！」という趣旨だったので，スマホ用ページでは，できるだけ選択肢や解説などの作動ボタンを離して設置するように改良している（年月がかかる）途上です．どうしても誤作動する場合は，ズームインしてから選択してください．

問題《5》についてですが、先生の並ぶ順番が回ることを除いて1通りなのはなぜですか？
＝＞［作者］：

連絡ありがとう．上のＡ，Ｂ，Ｃ，・・・，の並び方は円順列としては同じものです．「向かい合う」という指定があれば２人のＴ（先生）の相互関係は回ることを除いて１通りに決まります．

14と15の問題の解き方がわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問者の状況が分かりませんので，答えられないです．つまり，13番までは分かったが14,15が分からないのか，13番までも分からないのか．HELPで解説が出ることに気付かないのか，解説を見てもまだ分からないのか．順列を学習してから円順列を学んでいるのか，それともネットでたまたま出たページを見ているのか．

青いカード3枚と赤いカード6枚を円形に並べる問題で、書いてある通りに9！/3！6！＝84として、 その後9で割ろうとしても割り切れません。どうして１０番の問題ではその解法を使えるのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．円順列については，公式が成り立つ場合だけを説明するのが普通で，公式が成り立たない場合に踏み込んでいくと複雑過ぎて初心者が混乱してしまうことが多いので，触れずに置いておいて応用問題に回すようにしています．すなわち
という公式において，「同じものがある場合」「一部分だけを使う場合」は公式の前提を満たしていないので，簡単には求められません．戦国時代の混とん状態になり，積の法則・和の法則や樹形図・辞書式配列のような原始的な取り扱いに帰って１つずつ数えざるを得ません． さて，質問の本題に戻ると，教材の10番の問題では赤が１枚になっていて，これを固定すると残りのものは単に同じものがあるときの順列になるので解けるのです．これに対して，青玉３個，赤玉６個があって同じ色の球が区別できないとき，例えば頂上に位置に置く青玉を固定しようにもどの玉の話なのか決まりませんので，３個の青玉の配置を考えます．(1) 青玉３個が（3個連続で）互いに隣り合っている場合→１通り．赤玉は残りの場所に自動的に入る．(2) 青玉２個が互いに隣り合い，もう１つの青玉が左回りに数えて2個目，3個目，4個目，..，6個目にある場合→4通り．赤玉は残りの場所に自動的に入る．(3) どの青玉も隣り合わない場合→根性で数えていくことになります．
このように，同じものがあるときの円順列の総数はとても複雑になります．1個しかない玉があれば，それを固定すると単に同じものがあるときの順列になって，簡単になります．
※通常，教科書でもキラキラ輝く明るい道筋だけ（異なるものを全部使う円順列の総数）を扱っており，１つでも前提が外れると（同じものがある場合，一部分を使う場合，何回でも使える場合）暗闇の中でもがくような話になってしまうので，あまり触れていません．しかし，この前提を確認することは重要だということをどこかに書いておきます．

ぜんぜんわかんない
＝＞［作者］：連絡ありがとう．できれば助けてやりたいと考えていても，どこがどう分からないのかを述べないと，助けようがありません．

何を言っているのかがわかりにくいです「例1からわからない」
＝＞［作者］：連絡ありがとう．いきなりその頁だけを見ているようですが，順列・組合せの基本が理解できていないのかもしれません．投げるのもあなたの自由，食らいつくのもあなたの自由です．

採点するを押すと右の欄にキャラクターが表示されるがこれが正解か不正解かわからない。　 全角で数字を入力すると値が正しくても不正解になる。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．全問不正解なら区別はつきませんが１つでも正解があればわかるはずです.半角文字で入力してください．

自分は受験生なのに勉強する意思が弱いのですが、パソコンを使って簡単にできて、すごくわかりやすく勉強しやすいです。本当に感謝の気持ちでいっぱいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

むりなものがあります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．主語を省略すると反対の意味になる場合があります．すなわち「あなたには無理なものがある」ということでしたら「もっと頑張りましょう」になりますが，「そもそも解けない問題がある」ということでしたら「問題が間違っています」という意味になります．
　このように，仲間内では省略できる主語や述語は他人に伝える場合は省略できませんので注意してください．