![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの場合の数・順列・組合せについて,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓積の法則 ↓和の法則 ↓場合の数のまとめ方 ↓樹形図,辞書式配列 ↓階乗 ↓階乗・順列 ↓隣り合う.合わない並び方 ↓両端指定・整数の順列 ↓円順列・じゅず順列 ![]() ↓重複順列 ↓組合せ ↓組合せ(2) ↓組合せ(文章題) ↓組分け ↓同じものがあるときの順列 ↓順路の問題 ↓番号札のもらい方 ↓二項定理,多項定理 ↓重複組合せ ↓重複組合せ(文章題) 順列,組合せ(章末問題) |
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■円順列,じゅず順列---円順列---
【例1】
4人の生徒が円形のテーブルのまわりに座るとき、座り方は何通りあるか. ![]() 上図の4種類の座り方は,左上の座り方を回転させたものです. このように「回転させれば一致する並び方は同じならび方とみなす」のが円順列です. 円運列とは,座席を区別せず,ものの相対的な位置関係だけを区別するものだともいえます----上図のどの場合にもAさんの右手にはBさんがいます. 座席の区別があれば4!通りの座り方がありますが,まわせば重なるものが4通りずつ含まれているので,円順列としては4!÷4=3!通りあります. 次の図のように,赤で示した1人(Aさん)の座席を固定して表しすと,回転して一致するものを重複して数えるのを避けることができる.⇒全部で6通りになる.
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《要点》
n個のもの全部を使ってできる円順列の総数は そのうち1個を固定して,残り(n-1)個のものを並べる順列と考えるとよいから
※この公式が使えるのは
「n個のものを全部使う場合」かつ「1回ずつ使う場合」かつ「同じものがない場合」です. これらの条件を1つでも満たしていない場合には,上記のような簡単な式にはなりません. |
---じゅず順列---
【例2】
<考え方>
ダイヤ,サファイヤ,ルビー,水晶の4個の宝石を使って首飾りを作るとき,何通りの首飾りができるか. 首飾りのように持ち上げることのできるものでは,「まわして重なる」だけでなく「裏返せば重なる」ことがあります. ![]() 首飾りの種類は,円順列のさらに半分になります. 3!÷2=3通り・・・(答) (このような数え方をするものを,「じゅず順列」といいます.) ![]()
《要点》
n個のもの全部使ってできるじゅず順列の総数は |
《問題》
選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください.
解説
(5−1)!です.
これを5!−1!などと変形しないように.階乗のカッコは,はずせませんので,カッコ内を先に計算します.
(5−1)!=4!=24 …(答)
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解説
6人で作る円順列です
(6−1)!=5!=120 …(答) |
解説
まず父母をセットにして4人で円順列を作る方法が3!通り
その各々について父母の座席を入れ替える方法が2!通り 3!×2!=12 …(答) |
≪4≫
解説父母と子供4人の合計6人が円卓のまわりに座るとき,一番年下の子供が父母の間に座る方法は何通りあるか.
父母と一番年下の子供をセットにし,合計4人で円順列を作る方法は3!通り
その各々について,父母の座席を入れ替える方法が2!通り ※ この問題について,遠回りをしても「父母の間」といえるかどうかは,常識で判断します---遠回りをした場合,間とはいいません. |
≪5≫
解説先生2人,生徒6人の合計8人が手をつないで輪になるとき,先生は互いに向かい側に来るような並び方は,何通りあるか.
先生の並び方は,回ることを除けば1通り
その各々について,(誰先生の右とか左とか場所に区別ができてしまうので)生徒の並び方は6!通り (別解) 生徒が先に並ぶ方法は5!通り その各々について,先生1人の入れる場所はすきまの6通り.1人の先生の場所が決まるともう1人の先生の入り方は決まってしまう 6!=720 …(答) |
≪6≫
解説男子2人,女子4人の合計6人が手をつないで輪になるとき,男子が隣り合わない並び方は何通りあるか.
まず,男子が隣り合う並び方を数える:
男子をセットにして1人と数えて,5人の円順列を作る方法は4!通り その各々について,男子の並び方の入れ替え方が2!通り できた結果を全体の円順列(6−1)!から引きます. 5!−4!×2!=120−48=72 …(答) (別解) 女子が先に円順列を作る方法は3!通り その各々について,女子のすきま4か所から2か所選んで男子が入る方法は,4・3通り
女子が場所を決めたら,各々の場所には「どの女子の右か左か」という個性・区別ができるから,その後から男子の場所を決めるときには,円順列ではなく単なる順列で考える
3!×4×3=72 …(答)
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≪7≫
解説A,B,C,D,E,F,Gの7人が卓のまわりにすわるとき,D,FがともにAと隣り合うような座り方は何通りあるか. (京都府大)
D,Fの間にAが来ることと同じだから,DFA組+他の4人=5個のものの円順列の作り方を考えると4!通り
その各々についてD,Fの入れ替えで2!通り 4!×2!=48 …(答) |
解説
男子だけで先に円順列を作る方法は4!通り
その各々について(男子のすきま5か所には区別がついてしまうので)女子の入り方は5!通り 4!×5!=24×120=2880 …(答) |
解説
円順列とまったく同じです.
(4−1)!=3!=6 …(答) |
≪10≫
解説赤1枚,青2枚,黄3枚の合計6枚のカードを机の上で円形に並べる方法は何通りあるか.ただし,同じ色のカードには区別はないものとする.
同じものがあるときの順列
これらのうちには,まわして重なるものが6通りずつ含まれているから ÷6 10 …(答) (別解) 赤を1枚固定する. 残り5個のカードで同じものがあるときの順列を考えると |
解説
じゅず順列:円順列÷2
(6−1)!÷2=5!÷2=60 …(答) |
解説
6個から4個を選ぶ方法は6C4通り
その各々について,並べ方は4個のもののじゅず順列 6C4×(4−1)!÷2=15×3=45 …(答) |
解説
1つは固定する(これを底面とする)
その各々について,上の面の塗り方は5通り その各々について,側面の塗り方は4個の円順列3!通り 5×3!=30 …(答) |
解説
まわしてみて重なるものは同じものです.
1つの色,例えば赤を底の面に固定する.(面対称となっているもの(=鏡に映ったもの)は別のものです.) 次に,残り3個の側面の塗り方が円順列 (3−1)!=2 …(答) |
≪15≫
解説実際に使われるさいころは,向かい合う2面に書かれた数の和が7になるように作られています.(1の裏は6,2の裏は5,3の裏は4です.)この約束だけでさいころを作ると,異なる種類のさいころは,何通りできるか. ![]() そのうち2,3の書き方を決めれば4,5は決まります.2の向かい側には3は来ないので,1,2,3は1つの頂点のまわりにあります.結局,3つのものの円順列となります. (3−1)!=2 …(答) (別解) 1を底面に固定すると,1の裏には6が来るから上面は6に決まります. 側面の1つに2を固定すると,その向かい側には5がきます. 3の入り方は2通りあり,4は自動的に決まります. 2 …(答) ※上記の約束だけで作ると,結局,鏡対称となる(光学異性体となる)2種類のサイコロが存在することになります. |
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■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/18.9.27]
=>[作者]:連絡ありがとう.各自の宿題の答えについては,原則として回答しないことにしていますが,答も書いてあるので境界線はあいまいでもよいかと.そこで,尋ねられた問題に答えずに,尋ねられていない問題に勝手に答えて,本当の答案は自分で考えてもらうことにします. まず,同じものがあるときの「円順列」については≪10≫の解説を読んでください.次に,「じゅず順列」については赤1個,白3個,黒2個の場合に勝手に簡単な問題に書き換えて,これに答えてみます.「円順列」の総数は あなたの質問した問題では,「円順列」の総数が (これは基本問題ではなく,ほぼほぼ応用問題) 例題10で、赤紙、青紙、黄紙をビーズだと考えて糸を通して輪を作るとすると、どのような計算方法になりますか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/18.1.12]
![]() 左図のトリニトロトルエンの異性体が何通りあるかという問題と同じです(自然界ではNO2がCH3に対して,2,4,6の位置にあるものしかできないらしいが,理屈上は何通りあるかと考えた場合).CH3を上端に固定して,Hを並べていくとよいでしょう.この問題のように同じものがある場合には,左右対称なものは裏返しても同じなので,1つと数えるようにします. 根性で順に絵を描いていくと6通り.[円順列10通りから削っていく場合は,円順列が左右非対称なもの4通りは裏返したら重なるから-4.円順列が左右対称なもの2通りはそのまま2通り⇒結局6通り] とても役に立ちました!
ほんとにこういうのがあると助かります!
無料でこのサイトを見れるのは、ありがたいです。これからも、よろしくお願いします。
しかし、円順列とじゅず順列の問題の15番だけ解説が表示されません。
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.11.21]
=>[作者]:連絡ありがとう.点検してみましたが,iPhone, Androidのいずれでも正常に表示されました.- - ただし,数年前にGoogleから個別にご指導を受けたことがあり,「リンクの間隔が狭過ぎる!」という趣旨だったので,スマホ用ページでは,できるだけ選択肢や解説などの作動ボタンを離して設置するように改良している(年月がかかる)途上です.どうしても誤作動する場合は,ズームインしてから選択してください. 問題《5》についてですが、先生の並ぶ順番が回ることを除いて1通りなのはなぜですか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.9.5]
=>[作者]: ![]() 連絡ありがとう.上のA,B,C,・・・,の並び方は円順列としては同じものです.「向かい合う」という指定があれば2人のT(先生)の相互関係は回ることを除いて1通りに決まります. 14と15の問題の解き方がわかりません
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.6.10]
=>[作者]:連絡ありがとう.質問者の状況が分かりませんので,答えられないです.つまり,13番までは分かったが14,15が分からないのか,13番までも分からないのか.HELPで解説が出ることに気付かないのか,解説を見てもまだ分からないのか.順列を学習してから円順列を学んでいるのか,それともネットでたまたま出たページを見ているのか. 青いカード3枚と赤いカード6枚を円形に並べる問題で、書いてある通りに9!/3!6!=84として、
その後9で割ろうとしても割り切れません。どうして10番の問題ではその解法を使えるのですか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.4.22]
=>[作者]:連絡ありがとう.円順列については,公式が成り立つ場合だけを説明するのが普通で,公式が成り立たない場合に踏み込んでいくと複雑過ぎて初心者が混乱してしまうことが多いので,触れずに置いておいて応用問題に回すようにしています.すなわち
「n個の異なるものを」「全部使って」できる円順列の総数は (n−1)!
という公式において,「同じものがある場合」「一部分だけを使う場合」は公式の前提を満たしていないので,簡単には求められません.戦国時代の混とん状態になり,積の法則・和の法則や樹形図・辞書式配列のような原始的な取り扱いに帰って1つずつ数えざるを得ません.
【例1】5個の異なるものから4個とってできる円順列の総数は?
さて,質問の本題に戻ると,教材の10番の問題では赤が1枚になっていて,これを固定すると残りのものは単に同じものがあるときの順列になるので解けるのです.これに対して,青玉3個,赤玉6個があって同じ色の球が区別できないとき,例えば頂上に位置に置く青玉を固定しようにもどの玉の話なのか決まりませんので,3個の青玉の配置を考えます.(1) 青玉3個が(3個連続で)互いに隣り合っている場合→1通り.赤玉は残りの場所に自動的に入る.(2) 青玉2個が互いに隣り合い,もう1つの青玉が左回りに数えて2個目,3個目,4個目,..,6個目にある場合→4通り.赤玉は残りの場所に自動的に入る.(3) どの青玉も隣り合わない場合→根性で数えていくことになります.⇒上の円順列の公式だけではできません.4個とる取り方は5C4=5通り.その各々について円順列は(4−1)!=3!=6通り.結局,30通り 【例2】赤玉が1個,青玉が2つあり青玉は区別できないとき,これら3個を使ってできる円順列の総数は? ⇒同じものがあるときは円順列の公式に直接当てはめることはできません.まず,青玉に青1,青2と区別しておくと,これら3個のものを使ってできる円順列の総数は(3−1)!=2!=2通り.しかし,青玉は区別できないのだから,各々の円順列において青玉を交換した倍率(2倍)だけ数え過ぎているので,2で割ると1通り. ⇒この問題では,赤玉は1つしかないから,まず赤玉を上に置くと決めると,残りの置き方は自動的に決まるので,1通りになるという話とつじつまが合う. 【例3】赤玉が2個,青玉が2個あり同じ色の玉は区別できないとき,これら4個を使ってできる円順列の総数は? ⇒先に赤玉を並べると,隣り合う場合と1つ置きになっている場合とがある.このとき残りの場所は自動的に青玉の場所になる.結局2通り. ⇒この問題では,同じものがあるときの順列4C2=6通りを4で割っても解答にはならない. このように,同じものがあるときの円順列の総数はとても複雑になります.1個しかない玉があれば,それを固定すると単に同じものがあるときの順列になって,簡単になります. ※通常,教科書でもキラキラ輝く明るい道筋だけ(異なるものを全部使う円順列の総数)を扱っており,1つでも前提が外れると(同じものがある場合,一部分を使う場合,何回でも使える場合)暗闇の中でもがくような話になってしまうので,あまり触れていません.しかし,この前提を確認することは重要だということをどこかに書いておきます. ぜんぜんわかんない
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.3.29]
=>[作者]:連絡ありがとう.できれば助けてやりたいと考えていても,どこがどう分からないのかを述べないと,助けようがありません. 何を言っているのかがわかりにくいです「例1からわからない」
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.2.26]
=>[作者]:連絡ありがとう.いきなりその頁だけを見ているようですが,順列・組合せの基本が理解できていないのかもしれません.投げるのもあなたの自由,食らいつくのもあなたの自由です. 採点するを押すと右の欄にキャラクターが表示されるがこれが正解か不正解かわからない。
全角で数字を入力すると値が正しくても不正解になる。
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/17.1.14]
=>[作者]:連絡ありがとう.全問不正解なら区別はつきませんが1つでも正解があればわかるはずです.半角文字で入力してください. 自分は受験生なのに勉強する意思が弱いのですが、パソコンを使って簡単にできて、すごくわかりやすく勉強しやすいです。本当に感謝の気持ちでいっぱいです。
■[個別の頁からの質問に対する回答][円順列,じゅず順列について/16.11.28]
=>[作者]:連絡ありがとう. むりなものがあります
=>[作者]:連絡ありがとう.主語を省略すると反対の意味になる場合があります.すなわち「あなたには無理なものがある」ということでしたら「もっと頑張りましょう」になりますが,「そもそも解けない問題がある」ということでしたら「問題が間違っています」という意味になります. このように,仲間内では省略できる主語や述語は他人に伝える場合は省略できませんので注意してください. |
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