組分け

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの場合の数・順列・組合せについて，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓積の法則
↓和の法則
↓場合の数のまとめ方
↓樹形図,辞書式配列

↓階乗
↓階乗・順列
↓隣り合う.合わない並び方
↓両端指定・整数の順列
↓円順列・じゅず順列
↓重複順列

↓組合せ
↓組合せ(2)
↓組合せ（文章題）
↓組分け

↓同じものがあるときの順列
↓順路の問題
↓番号札のもらい方

↓二項定理，多項定理

↓重複組合せ
↓重複組合せ（文章題）

順列，組合せ（章末問題）

■組分け …《解説》

「順列」「組合せ」は場合の数の数え方，確率の基本として最重要な内容ですが，この頁で扱う「組分け」というのは，組合せに並ぶような位置を占めていません．どちらかというと組合せの応用問題の１つの形に付けられた名前です

【例１】
■基本
　９人の人をＡの部屋に４人，Ｂの部屋に３人，Ｃの部屋に２人入れる方法は，₉Ｃ₄・₅Ｃ₃・₂Ｃ₂通り＝1260通りです.

（解説）
■部屋に名前（区別）がある場合--これが基本
_全体Ｃ_Ａの人数・_残りＣ_Ｂの人数・_{さらに残り}Ｃ_Ｃの人数
したがって，９人の人を４人，３人，２人の３組に分ける方法は，
₉Ｃ₄・₅Ｃ₃・₂Ｃ₂通り＝1260通りです.

　４人の組はＡにしか入れず，３人の組はＢにしか入れず，２人の組はＣにしか入れません.だから，部屋を決める場合と同じになります.
（同様にして）
　９人の人をＡの部屋に３人，Ｂの部屋に３人，Ｃの部屋に３人入れる方法は，
₉Ｃ₃・₆Ｃ₃・₃Ｃ₃通り＝1680通りになります.

■単に組に分けるのは，部屋に区別がない場合に対応します

　９人の人を３人，３人，３人の３組に分ける方法は，部屋に区別がある場合÷３！です.

　３組に分ける方法をx通りとおき，まず組分けをしてから部屋に入れるとすると，x通りの各々について部屋に入れる方法が3!通りあります.
だから，

x＝部屋に区別がある場合（基本）÷3!通りとなります.

⇒　誰と同じ組になるかということだけに関心がある場合，例えば次の分け方は全部同じ１つの分け方です．
　だから，「１つの組分け」に対して「Ａ，Ｂ，Ｃの３つの部屋に入る方法」は3!=6倍あります． A{1,2,3}, B{4,5,6}, C{7,8,9}

A{1,2,3}, C{4,5,6}, B{7,8,9}

B{1,2,3}, A{4,5,6}, C{7,8,9}

B{1,2,3}, C{4,5,6}, A{7,8,9}

C{1,2,3}, A{4,5,6}, B{7,8,9}

C{1,2,3}, B{4,5,6}, A{7,8,9}

【例２】
■基本（部屋に区別がある場合）
　９人の人をＡの部屋に５人，Ｂの部屋に２人，Ｃの部屋に２人の３組に分ける方法

Ａの部屋に入る５人を選ぶ方法が₉Ｃ₅=126通り
その各々について，残り４人からＢの部屋に入る２人を選ぶ方法が₄Ｃ₂=6通り
その各々について，残り２人は自動的にＣの部屋に決まるから１通り
結局，126×6×1=756通り

■応用（部屋に区別がない場合）
　９人の人を５人，２人，２人の３組に分ける方法

このような組に分ける方法がx通りあるとして，上記の「基本=部屋の区別がある場合」との関係を調べる．
各々の組わけに対して，５人の組は必ずＡの部屋に入る．
次に，２人の組はＢの部屋に入るかＣの部屋に入るか2!通りある．
だから，「基本=部屋の区別がある場合」はx×2!通り
x×2!=756
x=378

（参考）
　部屋に区別がある次の２通りの入り方は，組分けとしては同じものです. A{1,2,3,4,5}, B{6,7}, C{8,9}

A{1,2,3,4,5}, C{6,7}, B{8,9} (Ａの部屋とはメンバ入れ替えできません.）

※部屋に区別がある場合÷２！と覚えてしまってもよい.

《組分けの要点》
Aの人数=p，Bの人数=q，Cの人数=r，合計=nとするとき

基本は
nCp×n−pCq×n−p−qCr
p+q+r=n → n−p−q=rだから３個目の式は
n−p−qCr=rCr=1
になる．
（Cの部屋に入れる方法は，残った人に自動的に決まってしまう）

組に名前がなく，３組の人数が同じときは，　基本÷３！通り

組に名前がなく，２組の人数が同じときは，　基本÷２！通り

【例３】
　８人の人を次の組に分ける方法は各々何通りあるか
(1)　４人，４人の２組に分ける場合
$\frac{_8 C _4\times 1}{2!}=35$ …（答）
(2)　３人，３人，２人の３組に分ける場合
$\frac{_8 C _3\times _5 C _3 \times 1}{2!}=280$ …（答）
(3)　２人，２人，２人，２人の４組に分ける場合
$\frac{_8 C _2\times _6 C _2 \times _4 C _2\times 1}{4!}=105$ …（答）
(4)　５人，２人，１人の３組に分ける場合
$_8 C _5\times _3 C _2 \times 1=168$ …（答）

※(4)の問題は，同じ人数の組がないので，部屋に名前が付いている場合とまったく同じ結果になります．すなわち，Aの部屋に５人，Bの部屋に２人，Cの部屋に１人入れる方法と同じです．

《問題》《問題》

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．

≪1≫
　６人の生徒を，Ａの部屋に３人，Ｂの部屋に３人入れる方法は何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

Ａの部屋に入る3人を選ぶ方法は6C3=20通り
その各々についてＢの部屋に入る3人を選ぶ方法は3C3=1通り（自動的に残りが決まる）
結局、20×1=20通り
（上記解説の「基本」の型）

≪2≫
　６人の生徒を，３人ずつの２組に分ける方法は何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

部屋の名前に区別があるときは、上記１の問題のように6C3·3C3=20通り

単に組に分ける問題は部屋の区別がないのと同じだから、
$\frac{20}{2!}=10$ 通り

≪3≫
　６人の生徒を，Ａの部屋に２人，Ｂの部屋に２人，Ｃの部屋に２人入れる方法は何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

Ａの部屋に入る2人を選ぶ方法は6C2=15通り
その各々についてＢの部屋に入る2人を選ぶ方法は4C2=6通り
その各々についてＣの部屋に入る2人を選ぶ方法は2C2=1通り
結局、15×6×1=90通り
（上記解説の「基本」の型）

≪4≫
　６人の生徒を，２人ずつの３組に分ける方法は何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

部屋の名前に区別があるときは、上記３の問題のように90通り
求める組わけの総数をxおくと、上記３の場合の数はできた組に部屋の名札を付けた数3!×xに等しい。
3!×x=90より
$\frac{90}{3!}=15$ 通り

≪5≫
　７人の生徒を，３人，２人，２人の３組に分ける方法は何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

　Ａの部屋に３人、Ｂの部屋に２人、Ｃの部屋に２人入れる場合の数は7C3·4C2·2C2=210通り
　ところがこのように数えると、人数の等しいＢ，Ｃの部屋の人を入れ替えた場合を重複して数えていることになるから、Ｂ，Ｃの部屋の名札を入れ替えする分：2!倍だけ余計に数えていることになる
　求める組の数は
$\frac{210}{2!}=105$ 通り

≪6≫
　Ａ室は３人部屋，Ｂ室は２人部屋，Ｃ室は１人部屋である．
６人の客がこの旅館に泊まるとき，部屋の決め方は何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

　Ａの部屋に入る3人を選ぶ方法は6C3=20通り
　その各々についてＢの部屋に入る2人を選ぶ方法は3C2=3通り
　その各々についてＣの部屋に入る1人を選ぶ方法は1C1=1通り
　結局、20×3×1=60通り
（部屋に区別があり、人数も違うので入れ替えの余地はない。上記解説の「基本」の型）

≪7≫
　６人の生徒を３組に分ける方法は，全部で何通りありますか.ただし，どの組にも少なくとも1人の生徒がいるものとします.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

4人,1人,1人と分ける方法は
$\frac{_6 C _4\times _2 C _1\times 1}{2!}=15$ 通り

3人,2人,1人と分ける方法は
6C3·3C2·1C1=60通り

2人,2人,2人と分ける方法は
$\frac{_6 C _2\times _4 C _2\times 1}{3!}=15$ 通り

和の法則により15+60+15=90通り

≪8≫
　８人を３組に分ける方法は何通りあるか.ただし，1組の人数は2人または３人とする.

（芝浦工大）

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

3人,3人,2人と分ける方法は
$\frac{_8 C _3\times _5 C _3\times 1}{2!}=280$ 通り（他には分け方はない）

≪9≫
　男子６人，女子３人の合計９人を３人ずつの３組に分けるとき，どの組にも女子がいるような分けかたは何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

異なる女子が１人ずついる（人には区別がある）ところに男子を２人､２人、２人と入れる方法は6C2·4C2·2C2=90通り

≪10≫
　９人を３人ずつの３組に分けるとき，特定の２人が同じ組になる分け方は何通りありますか.

10 15 20 60 70 90

105 140 210 280 560

解説

Ａ，Ｂを１つの組に入れておき、残り７人を１人、３人、３人と分ければよいから
$\frac{_7 C _1\times _6 C _3\times 1}{2!}=70$ 通り

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.8.6］

手持ちの教科書に次のように例題とその回答が載っていますが、どうも納得できません。例題:7人を次のようにする方法は、何通りあるか。（1）部屋A,B,Cに2人ずつ入れ、部屋Dに１人入れる。教科書記載の解答:7C2×5C2×3C2=630通り私の思う解答:630×3×2=3780通り教科書記載の解答は、ただ2人、2人、2人、１人にわけただけであり、本来は３つの2人組をABC３つの部屋に振り分ける順列3P3をかける必要があると考えています。（2）2人、2人、2人、１人の４組に分ける。教科書記載の解答:（1）でABCの区別をなくすと、同じものが3！通りずつできるから、求める方法の総数は630/（3！）=105通り私の思う解答:7C2×5C2×3C2=630通り私の考えはおかしいですか？お手数ですが、ご協力いただけませんでしょうか。よろしくお願いします。
[追伸]教科書の組分けの例題が分からずに先ほど質問しましたが、自力で分かりました。お手数おかけしました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．分かったのでもうよいということですが，順列・組合せ・確率の問題で解き方・考え方が正しいかどうかを確かめる方法を，長年考えてきました…他の問題なら，グラフを描くなど別の根拠を示すことができますが，順列・組合せ・確率の問題に対して，何が示せるのか？
あなたの疑問に対しては「問題を単純化しても成り立つかどうか調べる」という方法があると思います．つまり，3人を部屋A,B,Cに１人ずつ入れる方法は
$_3C_2\times _2C_1\times _1C_1$ （通り）
これに対して，3人を１人ずつ3組に分ける方法は
$1$ （通り）
このように，そのページの先頭にある「■部屋に名前（区別）がある場合--これが基本」と書いたように $_3C_2\times _2C_1\times _1C_1$ は部屋に区別がある場合に対応しています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.6.15］

≪9≫の問題、６ｃ２＝１５　４ｃ２＝６　２ｃ２＝１　女子３人を別々に分けるので×３部屋の区別がないので３！で割るのではないのでしょうか？１５×６＝９０９０×３÷３！＝２７０÷（３×２）＝４５で４５となるのでは？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「女子３人を別々に分けるので×３」というのが違います．×3！です．だから，あなたの考え方に沿って計算すると，９０×３！÷３！＝９０になります．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.3.29］

私は、60を過ぎた老人です。必要あって、数学の勉強を始めて、貴殿のサイトにたどり着きました。大変親切な記述は、半ば腐敗した老人の脳にも、大変わかりやすいです。是非このサイトをさらに発展させて、若い人たちの学習の助けになるように、頑張ってください。最後に、御努力ご苦労様です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／18.1.14］

下に問いがあるのはいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.9.24］

組み分けで6人を三つの組に分けるのに、特定の3人が同じ所に入る場合を求めよという問題で、特定の3人を選ぶ式がないのはなぜでしょうか? ⚠︎問題はここにあったものではありません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この質問は，主に順列・組合せで使われる「特定の」という用語の使い方が鍵になると考えられます．

６人の人を３組に分けるとき，特定の３人（源さん，平さん，徳川さん）は同じ組に入る･･･他の３人（豊臣さん，織田さん，足利さん）については特に制限はない･･･という問題を考えてみると，特定の３人は「選ぶまでもなく決まっています」．だから選ぶ必要はないのです．
結局，この問題では
(1) ３人，２人，１人に分ける場合 - - １人組に入る人を（豊臣さん，織田さん，足利さん）から選べば，他の組もすべて決まるから- - ３通り
(2) ４人，１人，１人に分ける場合 - - ４人目として合流する人を（豊臣さん，織田さん，足利さん）から選べば，他の組もすべて決まるから- - ３通り
(*) これ以外の分け方，例えば４人，２人，０人とか５人，１人，０人のように１人もいない組を作ると３組に分けたとは言わないから，(1)(2)より６通り

特定のという用語の使い方が，まだ十分わからないということでしたらもう１題．
「５人の候補者から３人を選ぶとき，特定の人Ａさんは必ず選ばれ，特定の人Ｂさんは必ず外れるように選ぶ方法は何通りあるか」
はじめから，Ａさんを当選させておき，Ｂさんを落選させておく．残り３人の候補者から２人選んでＡさんに合流させたらよいから₃C₂=3通り（バイキング料理で５種類のメニューから３つ選んで食べる場合に，好き嫌いがあってＡは必ず食べたいが，Ｂは食べたくないとき，メニューの選び方は何通りあるかという問題なら学習意欲がわいてくるかもしれません）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.8.22］

「 □例　部屋に区別がある次の６通りの入り方は，組分けとしては同じものです. とある」のところなのですが、何回読んでも理解できずにいたので他のサイトをみて勉強してみると、上記の文章は間違っているのではないかと思ったので報告します。私が間違っていたらごめんなさい。どこがおかしいかと思ったかというと、部屋に区別がない場合はそりゃ重複してるやつを消す必要があるので3!で割るとわかりますが、部屋に区別があれば割る必要はないですよね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．組分けと聞いただけで何か割り算をして求めなければならないと思い込んでいませんか．順列，組合せなどは教科書にも登場する使い方の定まった用語ですが，ここでいう組分けは世間でいう組に分ける方法ぐらいの用語です．そこで，普通に読めば

A{1,2,3} B{4,5,6}, C{7,8,9}
A{1,2,3} C{4,5,6}, B{7,8,9}
… …
C{1,2,3} B{4,5,6}, A{7,8,9}

のように部屋に入れば，1,2,3はいつも同じ組にいて，4,5,6も同じ組,7,8,9も同じ組で部屋が変わっただけだということが分かるはずです．
何も計算はいりません．{1,2,3} ,{4,5,6}, {7,8,9}はそれぞれ仲良しグループでいつも同じ部屋に入っているな～つまり同じ組になっているな～部屋は変わっても組分けは同じじゃないか～と読めるのです．
たぶんあなたの場合，何か計算しなければならないと難しく考え過ぎているため，平凡な普通の話が入っていないのです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.8.14］

徐々に難しくなっていて、問題の構成が非常に良いです。唯一欠点を挙げるとしたら、文字の字体が読みにくいことかと思います。できるだけ、左端をそろえたほうが読みやすいかと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．字体という話と左端に揃えるという話のどちらに重点を置いて読めばよいのか？
文章は左揃え，図表は中央揃えが基本でしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.7.12］

『数学A 組分け』の頁の【例2】の末文「※部屋に区別がある場合÷2！と覚えてしまってもよい.」とありますが、「部屋に区別がない場合」の誤記ではないでしょうか？ご確認願います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．（部屋に区別がない場合）=（部屋に区別がある場合）÷2！なので誤記ではありません．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[組分けについて／17.7.5］

9番 3!でわるだろ！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解答を見てもなぜそれが答なのか分からないということですか？･･･屋上屋を重ねて，文章題における人=ペルソナの取り扱いについて，さらに一言述べると．解答に書いてありますように，人は必ず区別します．だから，どの女子と同じ組かということは重要な区別になり，入れ換えると別の組になります．入れ換えることはできません．･･･なお，「わるだろ！」は表現としてよくない．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります