二項定理，多項定理

■二項定理，多項定理
○　二項定理

【要点】
○(a+b)n を展開したとき， an−rbr の係数はnCrになる．（nCr を二項係数という．）

○すなわち，一般項はnCran−rbrになる．（r=0～n）

○展開式を全部書くと
(a+b)n=nC0an+nC1an−1b+nC2an−2b2 + ···

+ nCkan−kbk +

··· + nCn−1abn−1+nCnbn

○展開式をシグマ記号を用いて書くと
$(a + b)^n=\sum_{k=0}^n _n C _k a^{n-k}b^k$

【例】
(a+b)7 を展開したとき，

例えばa5b2 の係数は 7C2==21 になる．

一般項は 7Cra7−rbr (0≦r≦n)になる．

展開式を全部書くと

(a+b)7
=7C0a7+7C1a6b+7C2a5b2+7C3a4b3
+7C4a3b4+7C5a2b5+7C6ab6+7C7b7
=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3
+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

展開式をシグマ記号を用いて書くと
$(a + b)^7=\sum_{k=0}^7 _7 C _k a^{7-k}b^k$

※　（第一印象で悩みそうな箇所）　なぜ an−rbr の係数を求めるのか？なぜ arbn−r にしないのか？
nCr=nCn−r が成り立つので，どちらで考えてもよい．ただし，多くの教科書や参考書では，上に書いた形（b の係数が増える順）に書いてある．

（二項定理の解説）
　通常，式の展開は次のような順序で，「総当たりで」掛けると考えることが多いが，二項定理，多項定理の解説はこの方法では分かりにくいので，「代表選手の選び方」で解説してみる．　

　右図のように各々の（　）からどちらか１つの項 a , b を選んで取り出し，合計 2 個からなる文字の組を考える．

○「同じものがあるときの順列」で考える方法
　(a+b)n を展開したときの an−rbr の係数を考える．
　各々の（　）からどちらか１つの項 a , b を選んで取り出し，合計 n 個からなる文字の組を考える．

　できた組を全部足したものが展開式になるが，例えば ababb , bbaab などは同類項で a2b3 になり，それらが「出てきた回数」が a2b3 の係数になる．
　そこで，abb···ab など n 個の文字のうち，a が n−r 個，b が r 個ある順列を並べ替えてできる順列の総数を数える．
　全部異なるものが n 個あるときは，並べ替えてできる順列は n! 個あるが，a は同じものなので，その内部交換でできる (n−r)! 通りは別のものができないから， n! 個とすると (n−r)! 倍だけ数え過ぎで，正しくは通り．
　同様にして，b も同じものなので，その内部交換でできる r! 通りは別のものができないから，上のように通りとすると r! 倍だけ数え過ぎで，正しくは通り．
　結局，a が n−r 個，b が r 個，それぞれ同じものがある合計 n 個の文字 abb···ab を並べ替えてできる順列の総数は，

通りだから，上のように代表の組を作るとan−rbr は回登場する．

　これらの同類項をまとめると，係数はになる．

例えば (a+b)5 を展開するとき，左図のような選び方をすると，abbab という項が１つできる．これは，a2b3 になる．
　しかし，a2b3 になるのはこれだけではない．a2b3 になるものを全部並べると，次のようになる． aabbb , ababb
abbab , abbba
baabb , babab
babba , bbaab
bbaba , bbbaa 　ところで，a2b3 が 10個あるから，これらを加えたとき，係数は 10 になり，10a2b3 となる．

○　組合せで考える方法

　「同じものがあるときの順列の総数」は，組合せに直して求めることができる．
　a が n−r 個，b が r 個，それぞれ同じものがある合計 n 個の文字 abb···ab を並べ替えてできる順列の総数を，図のように1～ｎのｎ個の番号札をあらかじめ用意しておき，b の行き先の番号札をもらう方法で考える．
（a の行き先の番号札を n−r 個もらうと考えてもよい．）
　上の図のように，2,3,･･･，nの札をもらったとき，その場所に b が入ると決めておく（ a の場所は，自動的に決まり，残りの n−r 個の場所となる．）と，b の行き先 r 個の番号札のもらい方が並べ方の総数に等しく，nCr すなわち通りになる．

　an−rbr は回登場するから，

これらを同類項をまとめると，係数はになる．

○　多項定理

○(a+b+c)n を展開したとき， apbqcr の係数はになる．（p+q+r=n , 0≦p,q,r≦n）

○すなわち，一般項は apbqcr になる．

（p+q+r=n , 0≦p,q,r≦n）

○展開式は
$(a + b + c)^n=\sum_{\stackrel{p+ q+ r=n}{0\leq p,q,r\leq n}}\frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r$

（このΣ記号は，条件に合うものを全部加えることを示す．）

例
　(a+b+c)6 を展開したとき， a3b2c の係数はになる．

一般項は apbqcr になる．

（p+q+r=6 , 0≦p,q,r≦6）

展開式は
(a+b+c)6
=a6+a5b+a5c+a4bc

+···+apbqcr+···+c6

展開式をΣ記号で表わすと
$(a + b + c)^6=\sum_{\stackrel{p+ q+ r=6}{0\leq p,q,r\leq 6}}\frac{6!}{p!q!r!}a^p b^q c^r$

（多項定理の解説）
　二項定理のときと同様に「同じものがあるときの順列」で考えると
(a+b+c)n を展開したとき，apbqcr が登場する回数は，
　a が p 個，b が q 個，c が r 個それぞれ同じものがある合計 n 個の文字 abbc···ab を並べ替えてできる順列の総数になり，
通り

　apbqcr を同類項としてまとめると，その係数は

○　組合せで考える方法
　多項定理は，最近の高校の教科書では，組合せを２段階適用して解説されている．
　１～ｎまで合計ｎ個の番号札をあらかじめ用意しておき，文字 a の行き先 p 個，文字 b の行き先 q 個，文字 c の行き先 r 個をもらう方法を数えると，
a の札のもらい方は nCp 通り，
その各々について，残り n−p 枚の番号札のうち b の札のもらい方は n−pCq 通り，
（残りは自動的に c の札となる．）
　もらい方の総数は，

nCp×n−pCq=

=

　ここで，n−p−q=r であるから，

に等しい．

■例題１（二項定理）

　(1)　(2x−3)5 の展開式における x2 の係数を求めよ．

■解説
(1)　一般項は 5Cr(2x)5−r(- 3)r=25−r(- 3)rx5−r

　x2 となるのは，r=3 のとき．
　このとき係数は，22(- 3)3=−1080

　※　この種の問題で，展開式を全部書くのは無駄が多いので，必要な項だけを書けばよい．
　※　文字の部分も付けて「一般項は」と書き始めるとうまくいく．

【重要】　二項定理の公式：
nCran−rbr
において，an−r , br については
○「係数も何乗かする」ことが重要
… 係数^何乗×nCr が係数になる ○　負の数を奇数乗すると負の数になる．

　(2)　(2x2−)7 の展開式における x2 の係数を求めよ．

(2)　一般項は 7Cr(2x2)7−r(- )r

. =27−r(−)rx14−3r　（右の囲み欄→）

　x2 となるのは，14−3r=2 より，r=4のとき．

　このとき係数は，23(- )4=

（数IIで習う指数法則）

　一般に
=xn−m

が成り立つ．

上の問題では，=x14−3r と変形するとよい．

《問題》

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．

≪1≫
　(3a−2b)5 の展開式における a2b3 の係数を求めよ．

−1080 −720 −20 $\frac{20}{27}$ $\frac{27}{20}$
6 10 15 54 80 161

解説

(1)　一般項は，5Cr(3a)5−r(- 2b)r
=35−r(- 2)ra5−rbr

　a2b3 となるのは r=3のとき．
　このとき係数は 32(- 2)3=9×(- 8)×10=−720

≪2≫
　(x2−)4 の展開式における x2 の係数を求めよ．

−1080 −720 −20 $\frac{20}{27}$ $\frac{27}{20}$
6 10 15 54 80 161

解説

一般項は 4Cr(x2)4−r(- )r =(- 3)rx8−3r

　x2 となるのは，8−3r=2 より，r=2のとき．

　このとき係数は，(- 3)2=9×6=54

≪3≫
　(2x2−)6 の展開式における定数項を求めよ．

−1080 −720 −20 $\frac{20}{27}$ $\frac{27}{20}$
6 10 15 54 80 161

解説

定数項とは，x0 となる項（実際にはその係数）のこと．
　一般項は 6Cr(2x2)6−r(- )r

=26−r(- )rx12−3r

　x0 となるのは，12−3r=0 より，r=4のとき．

　このとき係数は，22(- )4=

≪4≫
　(2x−3y+z)5 の展開式における xy3z の係数を求めよ．

−1080 −720 −20 $\frac{20}{27}$ $\frac{27}{20}$
6 10 15 54 80 161

解説

一般項は

(2x)p(−3y)qzr=2p(−3)qxpyqzr

　xy3z となるのは，p=1,q=3,r=1 のとき
　このとき係数は，

2×(−3)3=2×(−27)×20=−1080

≪5≫
　(x2+x+2)5 の展開式における x5 の係数を求めよ．

−1080 −720 −20 $\frac{20}{27}$ $\frac{27}{20}$
6 10 15 54 80 161

解説

一般項は (x2)pxq2r=2rx2p+q

　x5 となるのは，p , q , r が p+q+r=5 …(i)
2p+q=5 …(ii)
0≦p , q , r≦5 …(iii) を満たすときである．
【重要】３個（p , q , r）の未知数に対して方程式が２個（ (iii)は不等式）であるため，p , q , r は解がただ一つに定まらない．むしろ，次のように「順に総当たりで調べる」と考えるとよい．

(iii)により負にならない整数 p , q , r で，(ii)を満たすものは
[1] p=0 のとき，(ii)より q=5 → (i)より r=0
[2] p=1 のとき，(ii)より q=3 → (i)より r=1
[3] p=2 のとき，(ii)より q=1 → (i)より r=2

[*] p>2 のとき，(ii)より解なし
　係数は[1]より，20=1

　　　　　　[2]より，21=40

　　　　　　[3]より，22=120

計 161

≪6≫
　(x2+x−)6 の展開式における x3 の係数を求めよ．

−1080 −720 −20 $\frac{20}{27}$ $\frac{27}{20}$
6 10 15 54 80 161

解説

一般項は
(x2)pxq(−)r=(- 2)rx2p+q−r

p+q+r=6 …(i)
2p+q−r=3 …(ii)
0≦p , q , r≦6 …(iii)

(i)+(ii)より 3p+2q=9 …(iv)
[1] p=0 のとき，q の整数解なし
[2] p=1 のとき，q=3,r=2 係数は (- 2)2=240
[3] p=2 のとき，q の整数解なし
[4] p=3 のとき，q=0,r=3 係数は (- 2)3=−160
[*] p>3 のとき，解なし
　以上より 80

■あと一歩だけ進もう！■

【例題２】
(1)　(x+2)3(x−3)4の展開式におけるx2の係数を求めよ．

（解答）
(x3+3x2×2+3x×22+23)
×{x4+4x3×(−3)+6x2×(−3)2+4x×(−3)3+(−3)4}

のかっこを展開したとき，x2が出てくるのは，この式で赤－赤，青－青，緑－緑で示した組だけ（２次-０次，１次－１次，０次－２次の組合せだけ）

その係数は
3×2×(−3)4+3×22×4×(−3)3+23×6×(−3)2
=486+(−1296)+432=−378…（答）

(2)　(2x+3y)2(x−2y)5の展開式におけるx6yの係数を求めよ．

（解答）
{(2x)2+2×(2x)(3y)+(3y)2}
×{x5+5x4×(−2y)+...+(−2y)5}

のかっこを展開したとき，x6yが出てくるのは，この式で赤－赤，青－青で示した組だけ

その係数は

(2)2×5×(−2)+2×(2)×(3)=−40+12=−28 …（答）

(3)　(x+2y)4(x−3y)3の展開式におけるx2y5の係数を求めよ．

（解答）
{x4+4x3×(2y)+6x2×(2y)2+4x(2y)3+(2y)4}
×{x3+3x2(−3y)+3x(−3y)2+(−3y)3}

のかっこを展開したとき，x2y5が出てくるのは，この式で赤－赤，青－青，緑－緑で示した組だけ

その係数は

6×(2)2×(−3)3+4×(2)3×3(−3)2+(2)4×3×(−3)
=−648+864−144=72…（答）

※すべての組合せが登場するわけではありません．
−432y7−432xy6+72x2y5+160x3y4
+5x4y3−21x5y2−x6y+x7
のようにx, yの次数が合計7になる項だけが登場します．

■二項係数の性質　（※　発展的な内容）

【主な公式】
nC0+nC1+nC2+···+nCk+···+nCn
=2n ··· (1)

nC0+nC2+nC4+···=nC1+nC3+nC5+···
=2n−1 ··· (2)

nC1+2nC2+3nC3+···+knCk+···+nnCn
=n·2n−1 ··· (3)

2·1·nC2+3·2·nC3+4·3·nC4+···+n(n−1)nCn
=n(n−1)2n−2 ··· (4)

12nC1+22nC2+32nC3+···+n2nCn
=n(n+1)2n−2 ··· (5)

nC0+nC1+nC2+···+nCk+···+nCn

= ··· (6)

nC02+nC12+nC22+···+nCk2+···+nCn2

= ··· (7)

※　高校ではこれらの公式を覚える必要はない．必要に応じて作ればよい．微分・積分を利用する証明が簡単である．
（母関数 f(x)=(1+x)n から次々に導かれる．）

二項定理により，
f(x)=(1+x)n
=nC0+nC1x+nC2x2+···+nCkxk+···+nCnxn とおく
x=1 を代入すると，
f(1)=2n=nC0+nC1+nC2+···+nCk+···+nCn → (1)

x=−1 を代入すると，
f(−1)=0=nC0−nC1+nC2−···+(−1)knCk+···
+(−1)nnCn
したがって，nC0+nC2+nC4+···=nC1+nC3+nC5+···
ところで(1)により，両辺の和は 2n だから，
nC0+nC2+nC4+···=nC1+nC3+nC5+···=2n−1 → (2)

f(x) を x で微分すると
f ’(x)=n(1+x)n−1
=nC1+2nC2x+···+knCkxk−1+···+nnCnxn−1
x=1 を代入すると，
f ’(1)=n·2n−1=nC1+2nC2+···+knCk+···+nnCn → (3)

f ’(x) を x で微分すると
f ”(x)=n(n−1)(1+x)n−2 =2·1·nC2+3·2·nC3x1+···
+k·(k−1)·nCkxk−2+··· n·(n−1)·nCnxn−2
x=1 を代入すると，
f ”(1)=n(n−1)·2n−2 =2·1·nC2+3·2·nC3+···
+k·(k−1)·nCk+···+n·(n−1)·nCn → (4)

　上の(4)のように単純に微分すれば x の次数が下がるため，k−1 が掛けられることになるが，両辺に x を掛けてから微分すると k を掛けることができる．
xf ’(x)=nx(1+x)n−1
=nC1x+2nC2x2+···+knCkxk+···+nnCnxn
両辺を x で微分すると
n(1+x)n−1+n(n−1)x(1+x)n−2 =12nC1+22nC2x+32nC3x2+···+k2nCkxk−1
+···+n2nCnxn−1

x=1 を代入すると，

n·2n−1+n(n−1)·2n−2
=12nC1+22nC2+32nC3+···+n2nCn

n(n+1)·2n−2
=12nC1+22nC2+32nC3+···+n2nCn → (5)

xkdx=xk+1= に注意して，

区間 0≦x≦1 で f(x) の定積分を求めると，
$\int_0^1 (1+ x)^n dx=\int_0^1 _n C _0 dx+ \int_0^1 _n C _1 x dx$
$+ \int_0^1 _n C _2 x^2 dx + \int_0^1 _n C _3 x^3 dx$
$+ ... \int_0^1 _n C _k x^k dx + ... + \int_0^1 _n C _n x^n dx$

左辺==

右辺=nC0+nC1+nC2+··· +nCk+···+nCn
→ (6)

　(1+x)2n を (1+x)n(x+1)n に分けて，各々 xn の係数を求めて比較する．
　(1+x)2n の展開式における xn の係数は，2nCn= …(A)

(1+x)n=nC0+nC1x+nC2x2+···+nCkxk+···+nCnxn
(x+1)n
=nC0xn+nC1xn−1+nC2xn−2+···+nCkxn−k+···+nCn
(1+x)n(x+1)n において，この式で上下に対応する項を掛けたときだけ xn となるから，その係数は
nC02+nC12+nC22+···+nCk2+···+nCn2 …(B)

(A)(B)は等しい． → (7)

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項定理，多項定理について／17.6.15］

大変参考になりました。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二項定理，多項定理について／17.4.23］

全然わからない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．できれば助けてやりたいと考えていても，どこがどう分からないのかを述べないと，助けようがありません．