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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの場合の数・順列・組合せについて，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓積の法則
↓和の法則
↓場合の数のまとめ方
↓樹形図,辞書式配列
↓階乗
↓階乗・順列
↓隣り合う.合わない並び方
↓両端指定・整数の順列
↓円順列・じゅず順列
↓重複順列
↓組合せ
↓組合せ(2)
↓組合せ（文章題）
↓組分け
↓同じものがあるときの順列
↓順路の問題
↓番号札のもらい方
↓二項定理，多項定理
↓重複組合せ
↓重複組合せ（文章題）
順列，組合せ（章末問題）

≪公式の要約≫

○　順列
　異なる n 個のものから，異なる r 個のものを取ってできる順列の総数（ ただし，0≦r≦n ）
nPr=.n!(n−r)!nnnnnn

例　各位の数が異なる２桁の整数の総数
（解答）
　10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から異なる２つを取って並べる順列 10P2=10·9=90 のうち，先頭が0のもの（9個）は１桁になるから，90-9=81個
（別解）
　十の位は0以外の9通り，それぞれ1の位は9通りだから，9×9=81通り

○　重複順列
　異なる n 個のものから，重複を許して r 個のものを取ってできる順列の総数（ r は n よりも大きくてもよい． ）
nΠr=nr

例　２桁の整数の総数
（解答）
　10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から重複を許して２つを取って並べる順列 10Π2=102=100 のうち，先頭が0のもの（10個）は１桁になるから，100-10=90個
（別解）
　十の位は0以外の9通り，それぞれ1の位は10通りだから90通り

○　同じものがあるときの順列
　n 個のもののうち， p 個，q 個，r 個，… がそれぞれ同じものであるとき，これらを全部使っていできる順列の総数
（ ただし，p+q+r+ ···= n ）
.n!p!q!r!···nnnnnnn

（※　全部使うときはこの公式で簡単に求まるが，一部だけ使うときはその構成に応じて分けて考えなければならず，かなり複雑になる）

例　aaaabbbcc を並べ替えてできる順列の総数
（解答）

　.9!4!3!2!nnnnnn=1440個

※このうち8個を使うときは次のような計算になる．

　aaabbbcc → .8!3!3!2!nnnnn=560

　aaaabbcc → .8!4!2!2!nnnnn=420

　aaaabbbc → .8!4!3!1!nnnnn=280

計 1260

○　組合せ
　異なる n 個のものから，異なる r 個のものを取ってできる組合せの総数（ ただし，0≦r≦n ）
nCr=.n!r!(n−r)!nnnnnnn

例　２桁の整数のうち，87 , 51 のように十の位の数が一の位の数よりも大きなものの総数
（解答）
　10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から異なる２つを選べば（組合せ）並べ方は決まる（大きい方を前にする）から 10C2=45個
（別解）
　十の位が1ならば一の位は0だけだから１通り，十の位が2ならば一の位は0,1の2通り，･･･，十の位が9ならば一の位は0,1,･･･,8の9通り．ゆえに，1+2+3+･･･+9=45通り

○　重複組合せ
　異なる n 個のものから，重複を許して r 個のものを取ってできる組合せの総数（ r は n よりも大きくてもよい． ）
nHr=n+r−1Cr

例　２桁の整数のうち，88 , 87 のように一の位の数が十の位の数と等しいか又は小さいものの総数
（解答）
　10個の数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 から重複を許して２つを選べば並べ方は決まる（大きい方を前にする）： 10H2=10+2−1C2=11C2=55個
　ただし，このうち１つは 00 になり２桁とは呼ばないから，55-1=54個 （別解）
　異なる場合が45個，等しい場合が（11,22,...,99の）9個あるから45+9=54個

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．

≪問題１≫
４桁の自然数のうちで 1257 , 2389 のように各位の数が順に大きくなるものは何通りあるか．

≪問題２≫
４桁の自然数のうちで 5139 , 3337 のように各位の数が奇数からなるものは何通りあるか．

≪問題３≫
同質に作られた５個のボールを４人の子どもに分ける方法は何通りあるか．ただし，１個ももらえない子どもがいてもよいとする．

≪問題４≫
x+y+z=5 の正の整数解は何通りあるか．

≪問題５≫
aaabbc の6文字のうち4文字を使ってできる順列の総数を求めよ．

≪問題６≫　次の空欄[ ? ]に入る式を答えよ．

nPr=[ ? ] n−1Pr−1

≪問題７≫　次の空欄[ ? ]に入る式を答えよ．

.n−1Cr−1nCrnnnnnn= [ ? ]

≪問題８≫　次の空欄[ ? ]に入る式を答えよ．

nHr= [ ? ]n+1Hr−1

前回に引き続き、あまり大きなことではないのですが、、、、、公式の要約の重複順列で、記号がHではなくΠが使われているのは何か深いわけがあるのでしょうか？僕が根本的にダメな間違いをしていましたら、おゆるしください・•・m(_ _)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は章末のまとめの問題なので，詳しい話は前にある個別の頁を見てください．
　深いわけというほどのことでもないのですが，異なるｎ個のものから重複を許してｒ個のものをとってくる組合せの総数をnHrで表し，異なるｎ個のものから重複を許してｒ個のものをとってくる順列の総数をnΠrで表します．
※関係があるようなないような話として，ギリシヤ文字のΣは和を表すときに使い，Πは積を表すときに使う．Ｈはアルファベットで，その意味は重複組合せの頁に書いてあります．
　⇒ギリシャ文字のΣはアルファベットのＳ...Sum（和）に対応
　⇒ギリシャ文字のΠはアルファベットのＰ...Product（積）に対応