![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの場合の数・順列・組合せについて,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓積の法則 ↓和の法則 ↓場合の数のまとめ方 ![]() ↓樹形図,辞書式配列 ↓階乗 ↓階乗・順列 ↓隣り合う.合わない並び方 ↓両端指定・整数の順列 ↓円順列・じゅず順列 ↓重複順列 ↓組合せ ↓組合せ(2) ↓組合せ(文章題) ↓組分け ↓同じものがあるときの順列 ↓順路の問題 ↓番号札のもらい方 ↓二項定理,多項定理 ↓重複組合せ ↓重複組合せ(文章題) 順列,組合せ(章末問題) |
■場合分けのまとめ方 実際に出会う問題では、積の法則や和の法則を単独で用いることは少なく、これらを組み合わせて使います。 そのとき、場合分けした「各々の場合を積の法則で処理し」「全体を和の法則でまとめる」という流れが基本です。
【例1】
(解答)3つのさいころA、B、Cを同時に投げるとき、出た目の和が16になる場合の数は何通りありますか。
(ア)A+Bの和が12になるのは1通り
このときCの目が4になるのは1通り A+B=12となるのは1通り
(イ)A+Bの和が11になるのは2通りその各々についてCの目が5になるのは1通り A+B=11となるのは2通り
(ウ)A+Bの和が10になるのは3通りその各々についてCの目が6になるのは1通り A+B=10となるときは3通り
(*)A+Bの和が9以下のときは、該当する場合なし以上により、1+2+3=6通り
この問題のように、場合分けした結果は次のようにまとめます。
「細分したものを積の法則で」「全体のまとめを和の法則で」処理します。
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■分かれば何でもないことですが・・・■
数学に自信をなくしている人では、上記の(ア)(イ)(ウ)の結果を、さらに「積の法則でまとめる」間違いが多く見られます。 ⇒ (ア)(イ)(ウ)のような「場合分け」は重複しないように分けているので、これらは「同時には成り立ちません」。したがって、「和の法則」を使う場面になっています。 ※ (より進んだ学習をしている人への参考) 例1の問題を「異なる3つのものA、B、Cから重複を許して16個取る組合せの総数」として解くことはできません。 重複組合せで求めると、例えばA=7、B=8、C=1のように1つの目が7以上の場合も数えることになり、不適当です。
【例2】
図2のようにA+BとC+Dの表を作ると
4つのさいころA、B、C、Dを同時に投げるとき、出た目の和が22になる場合の数は何通りありますか。
(ア)A+Bが10になるのは3通り
このときC+Dが12になるのは1通り 3×1=3通り
(イ)A+Bが11になるのは2通りその各々についてC+Dが11になるのは2通り 2×2=4通り
(ウ)A+Bが12になるのは1通りその各々についてC+Dが10になるのは3通り 1×3=3通り
(*)A+Bが9以下のときはC+Dで該当する場合なし、A+Bが13以上のときはA+Bで該当する場合なし以上により、3+4+3=10通り
【例3】
(解答)
Aのテーブルには大人2人と子供3人、Bのテーブルには大人3人と子供2人が席についています。AとBの間でメンバを1人すつ入れ替えるとき、各テーブルの大人・子供の人数が変わる場合は何通りありますか。
(ア)AからBへ大人が行くのが2通り
その各々についてBからAへ子供が行くのが2通り 2×2=4通り
(イ))AからBへ子供が行くのが3通りその各々についてBからAへ大人が行くのが3通り 3×3=9通り
以上により、4+9=13通り
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選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください.
問題13つのさいころA, B, Cを同時に投げるとき,出た目の和が15になる場合の数を求めてください.
解説
A+B=10となるのは3通り,その各々についてC=6となるのが1通り→3×1=3通り A+B=11となるのは2通り,その各々についてC=6となるのが1通り→2×1=2通り A+B=12となるのは1通り,その各々についてC=6となるのが1通り→1×1=1通り ゆえに,10通り
問題24つのさいころA, B, C, Dを同時に投げるとき,出た目の和が23になる場合の数を求めてください.
解説
A+B≦10のときは,C+D≦12だから和は23にならない A+B=11となるのは2通り,その各々についてC+D=12となるのは1通り→2×1=2通り A+B=12となるのは1通り,C+D=11となるのは2通り→1×2=2通り 結局,2+2=4通り (<別解>全部6が出たら目の和は24.1つだけ5で残り3個が6のとき目の和は23.5となるさいころの選び方は4通り.) |
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問題3Aの袋にはハートのカードが2枚とスペードのカードが3枚入っており,Bの袋にはハートのカードが3枚とスペードのカードが2枚入っている.Aの袋から1枚取り出してBの袋に入れ,よくかきまわしてBの袋から1枚取り出してAの袋に戻すとき,Aの袋にハートのカードが2枚とスペードのカードが3枚入っている場合の数は何通りありますか.(カードはすべて区別します.)
![]() 解説 Aからハートが取り出されるのが2通り,その各々についてBからハートが戻されるのが4通り→2×4=8通り Aからスペードが取り出されるのが3通り,その各々についてBからスペードが戻されるのが3通り→3×3=9通り 和の法則により,8+9=17通り
問題4袋の中に赤玉が3個,黄玉が2個,青玉が4個入っている.この中から「同時に2個」取りだしたとき,同じ色が出る場合の数は何通りありますか.
![]() 解説 赤赤となるのは,赤1-赤2,赤1-赤3,赤2-赤3の3通り 黄黄となるのは,黄1-黄2の1通り 青青となるのは,青1-青2,青1-青3,青1-青4,青2-青3,青2-青4,青3-青4の6通り 和の法則により,3+1+6=10通り (ここでは単純に数えましたが,この計算は後で習う組合せを使って求めることができます.) |
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