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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ａの場合の数・順列・組合せについて，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓積の法則
↓和の法則
↓場合の数のまとめ方
↓樹形図,辞書式配列
↓階乗
↓階乗・順列
↓隣り合う.合わない並び方
↓両端指定・整数の順列
↓円順列・じゅず順列
↓重複順列
↓組合せ
↓組合せ(2)
↓組合せ（文章題）
↓組分け
↓同じものがあるときの順列
↓順路の問題
↓番号札のもらい方
↓二項定理，多項定理
↓重複組合せ
↓重複組合せ（文章題）
順列，組合せ（章末問題）

　異なる n 個のものから，異なる r 個を取ってできる順列の総数は
______nPr=n(n - 1)(n - 2) ··· (n−r+1)　 …(1)
______nPr=.n!(n−r)!nnnnn　 …(2)
（ただし，0≦r≦n ）
※　実際の計算は(1)でやればよい．

［用語］
○　　「異なる n 個のものから」　･･･　この公式の前提として n 個のものがすべて異なる場合を考えている．

当てはまる例 　a , b , c の３つのものから２つ取ってきて１列に並べる． 　例えば　ab , ac , ba , bc , ca , cb	当てはまらない例 　a が２個，b が１個，合計３個あるものを並べる．（同じ a が２個ある） 　例えば aab , aba , baa
⇒　左の公式が使える	⇒　左の公式は使えない（同じものがあるときは別の公式になる）

○　「異なる r 個を取って」　･･･　この公式の前提として同じものを取ってきてはいけない．

当てはまる例 　a , b , c の３つのものから２つ取ってきて１列に並べる． 　例えば　ab , ac , ba , bc , ca , cb	当てはまらない例 　a , b , c の３つのものから２つ取ってきて１列に並べる． 　例えば　aa , ab , ba , bb , bc , ca , cb , cc
⇒　左の公式が使える	⇒　左の公式は使えない（同じものを何回使ってよいときは別の公式になる）

○　「取って」　･･･　取ったものを捨てるのではなく，「取って来たものを使うとき」という意味．（日常会話では，正反対のどちらの意味にも使われるようなので注意）
　例えば，５個のもの { a , b , c , d , e } から{ a , b } の２個を取ったら，{ c , d , e } の３個になると言う意味でなく，その{ a , b } を並べると並べたものは ab , ba になる．

○　「順列」　･･･　順列が nPr なのではない．
　例えば，３個のもの { a , b , c } から２個取ってできる順列では， ab は１つの順列，　ac は１つの順列，
ba は１つの順列，　bc は１つの順列，
ca は１つの順列，　cb は１つの順列， その「順列の総数」が 3P2=6　通りあるということ．
　つまり，この公式は順列を求める公式ではなく，順列の総数だけを求める公式になっている．

○　nPr の読み方　･･･　決まっていない．
　P は英語で順列を表わす permutation の頭文字であるが，この記号 nPr について「正しい」読み方というものがある訳ではない．
　昔ある教科書会社が，各々の数学記号の読み方について全国の高校数学教員からアンケート調査して人気ランキング風にまとめたことがある．その程度の話だと考えるとよい．
　しかし，まったく何でもよいのではなく，よく使われる言い方のうちどれかにするとよい．
　この記号なら，「エヌ，ピー，アール」と素読みにするか，「ピーのエヌ，アール」という形で順列ということを初めにはっきりいう読み方が多いと思う．手元の数学事典（大阪書籍1979年版）では「パーミュテイション n ， r」と書かれている．
（英語では the permutation of r from n など n が最後に来る読み方も考えられる．）

［階乗記号］
　正の整数 n について，次のように定義する　 n!=n(n−1)(n−2) ··· 2·1 　ただし，後で登場する様々な公式を便利に使えるように，例外的に 0! も定義しておく
0!=1 （※　負の数や小数に対して階乗は定義されない．）
（※　0! は定義（約束）なので，n! のルールから推測できるものではない．つまり，0! は 0 ではない．）

［実際にある間違い］
　(5−2)! のような計算は，3! に直して行うことはできるが，5!−2! にはならない．（この括弧ははずせないので注意）
3!=6 であるが
5!−2!=120−2=118 （全然違う値になる）

例

• 7P3=.7!(7−3)!nnnnn=.7!4!n=7·6·5=210
  
  
• 5P5=.5!(5−5)!nnnnn=.5!0!n=5·4·3·2·1=120
  
  

※　最後の例で，分母に 0! が形式的登場するときにも結果が正しくなるようにするためには，0!=1 とすればよい．このように順列・組合せの公式を自由に使えるようにするために 0! を定義していると考えるとよい．

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．

(1) 5!

5!=5·4·3·2·1=120

(2) 6!

6!=6·5·4·3·2·1=720

(3) 0!

0!=1　（これは重要な約束事）

(4) .7!5!n

.7!5!n=.7·6·5·4·3·2·15·4·3·2·1nnnnnnnnnn=7·6=42

(5) 6P3

6P3=6·5·4=120

(6) 7P2

7P2=7·6=42

(7) 4P4

4P4=4·3·2·1=24

(8) 3P0

3P0=.3!(3−0)!nnnnnn=.66n=1

(9) 男女４人の生徒が１列に並ぶ方法は何通りあるか．

4P4=4·3·2·1=24

(10) 　右図の図形を赤，青，黄，緑の４色のうち３色を使って塗り分ける方法は何通りあるか．

　４色使える場合，A→B→Cの順に塗れば，
______Aの塗り方が4通り，
______それぞれについてBの塗り方が3通り，
______それぞれついてCに塗り方は2通り
積の法則により，4×3×2＝24通り

(11) 　右図の図形を赤，青，黄，緑，黒の５色のうち３色を使って塗り分ける方法は何通りあるか．

　５色使える場合，A→B→Cの順に塗れば，
______Aの塗り方が5通り，
______それぞれについてBの塗り方が4通り，
______それぞれついてCに塗り方は3通り
積の法則により，5×4×3＝60通り

(12) ４個の椅子が１列に並んでいるとき，これらの椅子にＡ，Ｂ，Ｃ３人の人が座る方法は何通りあるか．

（椅子が４個で人が３人だから，当然そのうち１個の椅子には誰も座らない）
Ａが座る椅子の選び方が4通り
それぞれについてＢが座る椅子の選び方が3通り
それぞれについてＣが座る椅子の選び方が2通り
積の法則により，4×3×2＝24通り
（「１番目の椅子に座る人の決め方が3通り」･･･と考えてはいけない．椅子の数の方が多いので，各椅子には誰も座らないことがことがある．）

数学初心者でもなんとか付いていけるくらい説明が易しく理解しやすかったです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

感想というか質問というか... 最後の問題があまりよくわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．HELPは読んだのですか？それ以上に詳しい解説はどこにもないと思いますが．

順列の式はnPr, 組合せの式はnCrで、PとCはそれぞれpermutationとcombinationの頭文字と説明されていますが、nとrはなぜ選ばれるのでしょうか？ nは natural numberではないかと推測するのですが、そう断言しているものを見たことはありません。rの方は推測さえできないのですが、もしかすると、remnantかも知れないと思い始めています。本によって、またサイトによってはnPk, nCkとなっていますが、kとなると候補がまるでおもいあたりません。ご教授頂けたら幸いです。中高で英語教師をしているものです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，式としては前後関係から必要となったアルファベット小文字は何でも使えるでしょう．単に公式を説明するような場合は，26文字のうち２文字が自由に使えるときにどの文字を使うかというのは，ほとんど習慣によると思います．
　FORTRAN77で整数を表す変数はI～Nでなければならない，他の文字はこの制限を受けないとされていたように，整数を表す変数は i～n が好まれます．ただし，特に必要がなければ，i,l,oは避けたいです．iは分野によっては虚数単位や電流と混同しやすい，lは数字の1と混同しやすい，0は0と混同しやすい．これらの事情から手書きでコーディングするときは，oにはオーバーラインを付けるなどの工夫が普通に行われていたようです．しかし，必要があれば使います．次の例は行列Ａ，Ｂの積ＡＢのi行k列成分を表す公式です．

次にrのことですが，確かに母数をnで，抽出される方をrで表すことは多いようですが，組合せの公式は次の形で書かれることもあります．この公式では整数はi～nの文字で書くという習慣に合うようです．

等差数列の一般項の(difference)や等比数列の一般項の(ratio)は英語がそのまま残っています．関数では f が好まれ，素数では p が好まれるのも同様でしょう．
※以上を要約すると，公式をどの文字で書かなければならないという決まりはないでしょう．ただし，学習者は類似の書物も読むのだから，文化的伝承となっている習慣に沿って書く方が混乱が少なく読みやすいので，特定の文字で表すことが好まれるのだと思います．質問者は英語的に解決したいようですが，管理人の考えでは読みやすさと好みの観点を重視した解釈にしています．

分かりやすい！！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．