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■同じものがあるときの順列≪解説≫ 《要約》
○ 同じもの a が p 個,b が q 個,合計 p+q 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は ![]() ○ 同じもの a が p 個,b が q 個,c が r 個,… ,合計 n 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は ![]() ※ この公式は,全部使う場合の順列の総数を表わしており,その一部分だけを使う場合の順列の総数を求めるには,それぞれの構成に応じて場合分けして求める必要がある. (解説) 例えば,すべて異なる 5 個の文字 a1a2a3b1b2 を1列に並べる順列の総数は 5P5=5!=120 通りとなるが, それらの中には次のようなものがある. a2a1b1a3b2 a2a3b1a1b2 a3a1b1a2b2 a3a2b1a1b2 さらに, bn を異なるものとして区別し,お互いの位置だけを交換したとき,上の順列は 2! 倍多くなる.
![]() になる. これを一般化すると,同じもの a が p 個,b が q 個,合計 p+q 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は ![]() となって,上の公式が得られる. 3種類以上の文字から成るときも同様. 例1 a が4個,b が3個,合計7個の文字があるとき,これら全部を1列に並べてできる順列の総数は ![]() 例2 a が4個,b が3個,c が2個,合計9個の文字があるとき,これらを全部を1列に並べてできる順列の総数は ![]() 例3 a が3個,b が2個,c が1個,合計6個の文字があるとき,これらのうち3個を使ってできる順列の総数は (ア)a を3個使うとき aaa の並べ方 → 1 通り (イ)a を2個使うとき aab の並べ方 → ![]() aac の並べ方 → ![]() (ウ)a を1個使うとき abb の並べ方 → ![]() abc の並べ方 → 3!=6 通り (エ)a を使わないとき bbc の並べ方 → ![]() 計 19 通り ■参考:組合せを用いる解説■ 同じものがあるときの順列の総数は組合せは nCr を用いて解説されることが多いので,これらの関係を示す. aabbb のように同じものを2個と3個含む文字列を並べ替えてできる順列の総数は, ![]() であるが,それぞれにおいて a の場所さえ決めれば残りの場所は b に決まる. 例えば abbab では a の番号を1番と4番の2つに決めれば残り2,3,5番は b になる.したがって,aabbb の並べ替え方は,異なる5個の番号札から a の行き先の番号札2個をもらう方法の数 5C2 に等しく,組合せの公式 5C2= ![]() でも求められる. ![]() ![]() |
《問題》 正しいものを選んでください.
選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください.
解説 |
解説
c が1個,o が1個,f が2個,e が2個あるから
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≪3≫
解説a,a,a,b,b,c の6個の文字を並べ替えてできる順列のうち b が互いに隣り合っているものの総数を求めよ.
a が3個,c が1個,b の組が1個,計5個のものがあると考えると
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≪4≫
解説a が3個,b が2個,c が1個,合計6個の文字があるとき,これらのうち4個を使ってできる順列の総数は
(ア) a を3個使うとき
aaab の並べ方 → aaac の並べ方 → (イ) a を2個使うとき aabb の並べ方 → aabc の並べ方 → (ウ) a を1個使うとき abbc の並べ方 → (エ) a が0個ではできない. |
≪5≫
解説a,b,c,1,2,3,4 の7個の文字を並べ替えてできる順列のうち,314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでいるものは何通りあるか.
順序が決められている(並べ替えできない)ものは「同じものがある」のと同様だから同じ文字3個と異なる数字4個があるとみなせばよい.( a,a,a,1,2,3,4 など)
これらの並べ方の総数は |
≪6≫
解説a,b,c,1,2,3,4 の7個の文字を並べ替えてできる順列のうち,314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでおり,さらに,a12b34c のように a,b,c も 1,2,3,4 もこの順に並んでいるものは何通りあるか.
英字3個,数字4個が各々同じとみなせばよい.
(a,a,a,1,1,1,1 など) これらの並べ方の総数は |
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][同じものがあるときの順列について/17.2.21]
凄くわかりやすいです!調べたらすぐ出てきてすぐ解決しました!大助かりです!!
=>[作者]:連絡ありがとう. |
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