PC用は別頁
窶サ鬮俶�。謨ー蟄ヲ�。縺ョ蝣エ蜷医�謨ー繝サ鬆��繝サ邨�粋縺帙↓縺、縺�※�後%縺ョ繧オ繧、繝医↓縺ッ谺。縺ョ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻シ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ェ縺ゥ縺ョ讀懃エ「縺九i逶エ謗・譚・縺ヲ縺励∪縺」縺溘�縺ァ縲悟燕謠舌→縺ェ縺」縺ヲ縺�k蜀�ョケ縺悟�縺九i縺ェ縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医d縲後%縺ョ鬆√�蛻�°縺」縺溘′繧ゅ▲縺ィ蠢懃畑蝠城。後r隕九◆縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医��御サ悶�鬆√r隕九※縺上□縺輔>��縲€ 縺檎樟蝨ィ蝨ー縺ァ縺呻シ�
竊�遨阪�豕募援
竊�蜥後�豕募援
竊�蝣エ蜷医�謨ー縺ョ縺セ縺ィ繧∵婿
竊�讓ケ蠖「蝗ウ,霎樊嶌蠑城�蛻�
竊�髫惹ケ�
竊�髫惹ケ励�鬆��
竊�髫」繧雁粋縺�.蜷医o縺ェ縺�クヲ縺ウ譁ケ
竊�荳。遶ッ謖�ョ壹�謨エ謨ー縺ョ鬆��
竊�蜀����繝サ縺倥e縺夐���
竊�驥崎、����
竊�邨�粋縺�
竊�邨�粋縺�(2)
竊�邨�粋縺幢シ域枚遶�鬘鯉シ�
竊�邨��縺�
竊�蜷後§繧ゅ�縺後≠繧九→縺阪�鬆��
竊�鬆�キッ縺ョ蝠城。�
竊�逡ェ蜿キ譛ュ縺ョ繧ゅi縺�婿
竊�莠碁��ョ夂炊�悟、夐��ョ夂炊
竊�驥崎、�オ�粋縺�
竊�驥崎、�オ�粋縺幢シ域枚遶�鬘鯉シ�
鬆���檎オ�粋縺幢シ育ォ�譛ォ蝠城。鯉シ�

■同じものがあるときの順列≪解説≫

《要約》
○ 同じもの ap 個,bq 個,合計 p+q 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
.(p+q)!p!q!nnnnnn 通り

○ 同じもの ap 個,bq 個,cr 個,… ,合計 n 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
.n!p!q!r!···nnnnnn 通り


※ この公式は,全部使う場合の順列の総数を表わしており,その一部分だけを使う場合の順列の総数を求めるには,それぞれの構成に応じて場合分けして求める必要がある.

(解説)
 例えば,すべて異なる 5 個の文字 a1a2a3b1b2 を1列に並べる順列の総数は 5P5=5!=120 通りとなるが,
 それらの中には次のようなものがある.
a1a2b1a3b2  a1a3b1a2b2
a2a1b1a3b2  a2a3b1a1b2
a3a1b1a2b2  a3a2b1a1b2
 これらは,an が異なるものとして区別し,お互いの位置だけを交換して得られたもので,もし a が同じものなら,これらは1つの順列となる.したがって,a を区別したときは,a が同じものであるときと比較して,それらの内部交換だけで 3! 倍多くなっている.

 さらに, bn を異なるものとして区別し,お互いの位置だけを交換したとき,上の順列は 2! 倍多くなる.
a1a2b1a3b2  a1a3b1a2b2
a2a1b1a3b2  a2a3b1a1b2
a3a1b1a2b2  a3a2b1a1b2
a1a2b2a3b1  a1a3b2a2b1
a2a1b2a3b1  a2a3b2a1b1
a3a1b2a2b1  a3a2b2a1b1
 したがって,同じもの a3 個,b2 個,合計 5 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
.5!3!2!nnnn 通り
になる.
 これを一般化すると,同じもの ap 個,bq 個,合計 p+q 個あるとき,これらを全部使って1列に並べる順列の総数は
.(p+q)!p!q!nnnnnn 通り

となって,上の公式が得られる.
 3種類以上の文字から成るときも同様.

例1
 a が4個,b が3個,合計7個の文字があるとき,これら全部を1列に並べてできる順列の総数は
.7!4!3!nnnn=35

例2
 a が4個,b が3個,c が2個,合計9個の文字があるとき,これらを全部を1列に並べてできる順列の総数は
.9!4!3!2!nnnnn=1260

例3
 a が3個,b が2個,c が1個,合計6個の文字があるとき,これらのうち3個を使ってできる順列の総数は
(ア)a を3個使うとき
__________aaa の並べ方 → 1 通り
(イ)a を2個使うとき
__________aab の並べ方 → .3!2!1!nnn=3 通り

__________aac の並べ方 → .3!2!1!nnn=3 通り
(ウ)a を1個使うとき
__________abb の並べ方 → .3!1!2!nnn=3 通り

__________abc の並べ方 → 3!=6 通り
(エ)a を使わないとき
__________bbc の並べ方 → .3!2!1!nnn=3 通り
19 通り


■参考:組合せを用いる解説■
 同じものがあるときの順列の総数は組合せは nCr を用いて解説されることが多いので,これらの関係を示す.
 aabbb のように同じものを2個と3個含む文字列を並べ替えてできる順列の総数は,
.5!3!2!nnn 通り

であるが,それぞれにおいて a の場所さえ決めれば残りの場所は b に決まる.
 例えば abbab では a の番号を1番と4番の2つに決めれば残り2,3,5番は b になる.したがって,aabbb の並べ替え方は,異なる5個の番号札から a の行き先の番号札2個をもらう方法の数 5C2 に等しく,組合せの公式
5C2=.5!2!3!nnn=10

でも求められる.
※ もちろん,b の行き先の番号札3個をもらう方法の数 5C3 で計算しても同じになる.
5C3=.5!3!2!nnn=10

《問題》 正しいものを選んでください.
選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください.
≪1≫
 1,1,1,1,2,2,3 の7個の数字を使ってできる7桁の整数の個数を求めよ.


≪2≫
 coffee の6個の文字を全部使ってできる順列の総数を求めよ.


≪3≫
 a,a,a,b,b,c の6個の文字を並べ替えてできる順列のうち b が互いに隣り合っているものの総数を求めよ.


≪4≫
 a が3個,b が2個,c が1個,合計6個の文字があるとき,これらのうち4個を使ってできる順列の総数は


≪5≫
 a,b,c,1,2,3,4 の7個の文字を並べ替えてできる順列のうち,314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでいるものは何通りあるか.


≪6≫
 a,b,c,1,2,3,4 の7個の文字を並べ替えてできる順列のうち,314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでおり,さらに,a12b34c のように a,b,c1,2,3,4 もこの順に並んでいるものは何通りあるか.



(携帯版)...メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る


■[個別の頁からの質問に対する回答][同じものがあるときの順列について/17.2.21]
凄くわかりやすいです!調べたらすぐ出てきてすぐ解決しました!大助かりです!!
=>[作者]:連絡ありがとう.

笆�縺薙�繧オ繧、繝亥�縺ョGoogle讀懃エ「笆�

笆ウ縺薙�繝壹�繧ク縺ョ蜈磯�ュ縺ォ謌サ繧銀無
縲� 繧「繝ウ繧ア繝シ繝磯€∽ソ。 縲�
… 縺薙�繧「繝ウ繧ア繝シ繝医�謨呎攝謾ケ蝟��蜿り€�↓縺輔○縺ヲ縺�◆縺�縺阪∪縺�

笆�縺薙�鬆√↓縺、縺�※�瑚憶縺�園�梧が縺�園�碁俣驕輔>縺ョ謖�遭�後◎縺ョ莉悶�諢滓Φ縺後≠繧後�騾∽ソ。縺励※縺上□縺輔>��
笳区枚遶�縺ョ蠖「繧偵@縺ヲ縺�k諢滓Φ縺ッ蜈ィ驛ィ隱ュ縺セ縺帙※繧ゅi縺」縺ヲ縺�∪縺呻シ�
笳区─諠ウ縺ョ蜀�〒�後←縺ョ蝠城。後′縺ゥ縺�〒縺ゅ▲縺溘°繧呈ュ」遒コ縺ェ譁�ォ�縺ァ莨昴∴縺ヲ縺�◆縺�縺�◆謾ケ蝟�ヲ∵悍縺ォ蟇セ縺励※縺ッ�悟庄閭ス縺ェ髯舌j蟇セ蠢懊☆繧九h縺�↓縺励※縺�∪縺呻シ趣シ遺€サ縺ェ縺奇シ梧判謦�噪縺ェ譁�ォ�縺ォ縺ェ縺」縺ヲ縺�k蝣エ蜷医��後◎繧後r蜈ャ髢九☆繧九→遲�€�□縺代〒縺ェ縺剰ェュ閠�b隱ュ繧€縺薙→縺ォ縺ェ繧翫∪縺吶�縺ァ�梧治逕ィ縺励∪縺帙s�趣シ�


雉ェ蝠上↓蟇セ縺吶k蝗樒ュ斐�荳ュ蟄ヲ迚医�縺薙�鬆��碁ォ俶�。迚医�縺薙�鬆�縺ォ縺ゅj縺セ縺�