 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Ａの場合の数・順列・組合せについて，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓積の法則 ↓和の法則 ↓場合の数のまとめ方 ↓樹形図,辞書式配列 ↓階乗 ↓階乗・順列 ↓隣り合う.合わない並び方 ↓両端指定・整数の順列 ↓円順列・じゅず順列 ↓重複順列  ↓組合せ ↓組合せ(2) ↓組合せ（文章題） ↓組分け ↓同じものがあるときの順列 ↓順路の問題 ↓番号札のもらい方 ↓二項定理，多項定理 ↓重複組合せ ↓重複組合せ（文章題） 順列，組合せ（章末問題） |
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■重複順列 「同じものを繰り返し取ってよいという約束のもとで」できる順列を重複順列といいます。「同じものを繰り返し取ってよいという約束」は、通常「重複を許して」という言葉で表現されます。 異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる順列の総数は、次のように求めることができます。
図のように、n個の候補者をr個の箱に並べるとき
初めの箱の入れ方はn通り （ここが重要）一度使ったものを何度でも使えることにすれば、2番目の箱の入れ方はn通り 3番目の以降の箱の入れ方も、すべてn通り 
以上により次の公式が成り立ちます。なお、重複順列の総数はnΠrと書かれることがありますが、この記号を使わなければならないということではありません。（高校の教科書では使われていません）
【重複順列の総数】
異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる順列の総数は 
「重複」の読み方
検定済み教科書3冊のうち、索引の「さ行」に重複順列と書かれているもの（=「じゅうふく」と読むもの）が1冊、索引の「た行」に重複順列と書かれているもの（=「ちょうふく」と読むもの）が1冊、両方に書かれているもの（=「じゅうふく」「ちょうふく」のどちらでもよい）が１冊でした。筆者はどちらでもよいと教えながら、口では「じゅうふく」と言います。
【例1】
1から9までの数字を使ってできる2桁の正の整数は何通りありますか。ただし、同じ数字を使ってもよいものとします。
（参考）
1から99までに99個の整数があります。100は3桁の整数です。このうちで、 01,02,…,09すなわち1,2,…,9の9個は1桁の整数 10,20,30,…,90 の9個は0を使っているから問題の条件に合いません。 以上により99個のうち18個が条件に合いませんので81個が条件に合います。  （解答）十の位の決め方は1～9の9通り。 その各々について一の位の決め方も9通りだから、 |
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【例2】
異なる3個の文字a,b,cから重複を許して4個取って並べる順列の総数は何通りありますか。  （解答）先頭の文字の決め方は3通り その各々について2番目の文字は先頭の文字と無関係に決められるから3通りの決め方がある。 3番目、4番目の文字も同様に3通りの決め方がある。 |
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【重複順列において前提となっている事柄】
(1) 同じものを繰り返して使ってよい代わりに、全く使われないものもあります。
例えば、左の例1において33は条件を満たす１つの数ですが、この数には1,2,4,5,6,7,8,9は一度も使われていません。この事情は、一般の順列のときにも当てはまります。
(2) rがnよりも大きいこともあります。
一般の順列では、0≦r≦nでなければなりませんが、重複順列では同じものを何度でも使えますので、例えば異なる3個のものから、5個取ってくることができます。
【例3】
二進数は、2種類の記号0 , 1を並べて表現されます。 2種類の記号0 , 1を合計3個使って作れる記号は何通りありますか。ただし、全く使われない数字があってもよいものとします。
「3桁の二進数」といえば、001のように先頭に0が来るものを「何桁の二進数」と数えるかを決めておかなければなりませんが、ここでは「合計3個」の記号を使うとしているので、001なども3個使ったものと数えます。
 （解答）先頭の数の決め方は2通り その各々について、2つ目の数の決め方も2通り その各々について、3つ目の数の決め方も2通り
【例4】
5匹の猿に異なる6個の菓子を配る方法は何通りありますか。ただし、１個ももらえない猿がいてもよいとします。  （解答）各々の菓子を与えるときに猿の名前を呼ぶことにします。 名前を呼ばれた猿はその菓子をもらい、一度も名前を呼ばれない猿がいてもよいことにします。 各々の菓子を配るときに、前の菓子の配り方と無関係に猿の名前の呼び方は5通りあるから （異なる5匹の猿の名刺を、重複を許して6個の菓子に貼る方法と同じになります･･･猿の面目丸つぶれです。）
【重複順列の落とし穴】
 重複順列の総数はnrという簡単な公式になるため、機械的に暗記するだけでできそうに見えますが、「どちらがnでどちらがrなのか、正確に見分ける勘を養わないと解けません。 例 5匹の猿に異なる6個の菓子を配る方法は何通りありますか。ただし、１個ももらえない猿がいてもよいとします。56それとも65 、どちらが正しいか？ （筆者としては、ここで「あれ～？ん～？」と立ち往生する方がより深い理解のためになると考えています。 例4参照）
【例5】
「りんご」「かき」「みかん」各1個、合計3個の果物を、A, Bの2つの箱に分ける方法は何通りありますか。ただし、「分けた」といえるためには、1つの箱に全部入れてはいけません。  （解答）りんごの行先はA, Bの2通り かき、みかんについても同様に2通り これら2×2×2=8通りの中には、全部Aに入る場合が1通り、全部Bに入る場合が1通りあるから |
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