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■重複順列 「同じものを繰り返し取ってよいという約束のもとで」できる順列を重複順列といいます。「同じものを繰り返し取ってよいという約束」は、通常「重複を許して」という言葉で表現されます。 異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる順列の総数は、次のように求めることができます。
図のように、n個の候補者をr個の箱に並べるとき
初めの箱の入れ方はn通り (ここが重要)一度使ったものを何度でも使えることにすれば、2番目の箱の入れ方はn通り 3番目の以降の箱の入れ方も、すべてn通り ![]() 以上により次の公式が成り立ちます。なお、重複順列の総数はnΠrと書かれることがありますが、この記号を使わなければならないということではありません。(高校の教科書では使われていません)
【重複順列の総数】
異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる順列の総数は ![]()
「重複」の読み方
検定済み教科書3冊のうち、索引の「さ行」に重複順列と書かれているもの(=「じゅうふく」と読むもの)が1冊、索引の「た行」に重複順列と書かれているもの(=「ちょうふく」と読むもの)が1冊、両方に書かれているもの(=「じゅうふく」「ちょうふく」のどちらでもよい)が1冊でした。筆者はどちらでもよいと教えながら、口では「じゅうふく」と言います。
【例1】
1から9までの数字を使ってできる2桁の正の整数は何通りありますか。ただし、同じ数字を使ってもよいものとします。
(参考)
1から99までに99個の整数があります。100は3桁の整数です。このうちで、 01,02,…,09すなわち1,2,…,9の9個は1桁の整数 10,20,30,…,90 の9個は0を使っているから問題の条件に合いません。 以上により99個のうち18個が条件に合いませんので81個が条件に合います。 ![]() 十の位の決め方は1~9の9通り。 その各々について一の位の決め方も9通りだから、 |
【例2】
異なる3個の文字a,b,cから重複を許して4個取って並べる順列の総数は何通りありますか。 ![]() 先頭の文字の決め方は3通り その各々について2番目の文字は先頭の文字と無関係に決められるから3通りの決め方がある。 3番目、4番目の文字も同様に3通りの決め方がある。 |
【重複順列において前提となっている事柄】
(1) 同じものを繰り返して使ってよい代わりに、全く使われないものもあります。
例えば、左の例1において33は条件を満たす1つの数ですが、この数には1,2,4,5,6,7,8,9は一度も使われていません。この事情は、一般の順列のときにも当てはまります。
(2) rがnよりも大きいこともあります。
一般の順列では、0≦r≦nでなければなりませんが、重複順列では同じものを何度でも使えますので、例えば異なる3個のものから、5個取ってくることができます。
【例3】
二進数は、2種類の記号0 , 1を並べて表現されます。 2種類の記号0 , 1を合計3個使って作れる記号は何通りありますか。ただし、全く使われない数字があってもよいものとします。
「3桁の二進数」といえば、001のように先頭に0が来るものを「何桁の二進数」と数えるかを決めておかなければなりませんが、ここでは「合計3個」の記号を使うとしているので、001なども3個使ったものと数えます。
![]() 先頭の数の決め方は2通り その各々について、2つ目の数の決め方も2通り その各々について、3つ目の数の決め方も2通り
【例4】
5匹の猿に異なる6個の菓子を配る方法は何通りありますか。ただし、1個ももらえない猿がいてもよいとします。 ![]() 各々の菓子を与えるときに猿の名前を呼ぶことにします。 名前を呼ばれた猿はその菓子をもらい、一度も名前を呼ばれない猿がいてもよいことにします。 各々の菓子を配るときに、前の菓子の配り方と無関係に猿の名前の呼び方は5通りあるから (異なる5匹の猿の名刺を、重複を許して6個の菓子に貼る方法と同じになります・・・猿の面目丸つぶれです。)
【重複順列の落とし穴】
![]() ![]() 56それとも65 、どちらが正しいか? (筆者としては、ここで「あれ~?ん~?」と立ち往生する方がより深い理解のためになると考えています。 例4参照)
【例5】
「りんご」「かき」「みかん」各1個、合計3個の果物を、A, Bの2つの箱に分ける方法は何通りありますか。ただし、「分けた」といえるためには、1つの箱に全部入れてはいけません。 ![]() りんごの行先はA, Bの2通り かき、みかんについても同様に2通り これら2×2×2=8通りの中には、全部Aに入る場合が1通り、全部Bに入る場合が1通りあるから |
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