![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Aの場合の数・順列・組合せについて,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓積の法則 ↓和の法則 ![]() ↓場合の数のまとめ方 ↓樹形図,辞書式配列 ↓階乗 ↓階乗・順列 ↓隣り合う.合わない並び方 ↓両端指定・整数の順列 ↓円順列・じゅず順列 ↓重複順列 ↓組合せ ↓組合せ(2) ↓組合せ(文章題) ↓組分け ↓同じものがあるときの順列 ↓順路の問題 ↓番号札のもらい方 ↓二項定理,多項定理 ↓重複組合せ ↓重複組合せ(文章題) 順列,組合せ(章末問題) |
■和の法則
【例1】
大小2個のさいころを投げて、出た目の和が3の倍数になる場合の数を調べたいとします。
図1のように目の和の表を作ると
目の和が3になる場合が2通り
これらの中に「重複して数えているものはありません」。目の和が6になるのが5通り 目の和が9になるのが4通り 目の和が12になるのが1通り したがって、3の倍数になるのは ![]()
【和の法則】
2つの事柄A、Bは同時には起こらないとします. Aの起こり方がm通り、Bの起こり方がn通りあるとき,AまたはBが起こる場合の数はm+n通りになります.
■和の法則を使うかどうかの見分け方■
「同時には起こらない」とは、時間のことではなく、論理的に両立しないことを表しています。 これにより「重複がない」ことになります。重複がないときに「どれかが起こる」場合の数は和で求められるというのが和の法則です。 例1では、目の和が3であれば目の和は6ではありません。つまり、目の和が3であることは6であることと両立しません。他の場合も、重複して数える可能性はありません。
【例2】
(解答)1つのさいころを2回投げるとき、2回目に出た目が1回目に出た目の2倍以上になる場合の数は何通りありますか。
1回目が2のとき・・・2回目は、4,5,6の3通り 1回目が3のとき・・・2回目は、6の1通り 1回目が4以上のときは、該当する場合の数はありません。 以上により、5+3+1=9通り |
選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます.暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください.
問題1大小2つのさいころを投げるとき,出た目の和が10以上になる場合の数を求めてください.
解説
図1のように,目の和が10になる場合が3通り,目の和が11になるのが2通り,目の和が12になるのが1通り.
和の法則により3+2+1=6通り.
問題2大小2つのさいころを投げるとき,出た目の最小値が3となる場合の数を求めてください.
解説
右図の○印を数えると,7通り |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
問題3大小2つのさいころを投げるとき,出た目の最大値が3以上4以下となる場合の数を求めてください.
解説
最大値が4となるためには,少なくとも1つの目が4となっていて,もう一つの目が4以下となっていることが条件となります.(右図の□印) 右図の○と□を数えると,合計12通り
問題43人の人がじゃんけんを1回だけするとき,あいことなる場合の数は何通りありますか.
解説「あいこ」となるのは,(A)「全員同じ手を出した場合」(B)「全員異なる手を出した場合」の2つの場合があります. (A)全員同じ手を出す場合:ぐぐぐ,ちちち,ぱぱぱ→3通り (B)全員異なる手を出す場合:ぐちぱ,ぐぱち,ちぐぱ,ちぱぐ,ぱぐち,ぱちぐ→6通り 和の法則により,3+6=9通り |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
問題5次の関係を満たす整数解x,y,zの組は何通りありますか.
解説
(1)(2)は方程式ですが(3)は方程式ではないので,未知数3個に対して方程式が2個しかないことになり,解は1つには定まりませんが「整数解」ということなので解けます. (1)(2)を見ると5つのお菓子をx,y,zの3人に配ることをイメージすると分かりやすいでしょう.ただし,(3)により1つももらわない人がいてもよく,全部もらう人がいてもよいことになります. このような問題では(2)式で2x...=5となっていることに目を付けると(全部で5つしかないのにxが2つずつ食べるので,たちまち上限に達してしまう),x=0,1,2の場合しかないことになり,場合分けが少なくて済みます. (i) x=0のとき,(2)よりy=5,(1)よりz=0 (ii) x=1のとき,(2)よりy=3,(1)よりz=1 (iii) x=2のとき,(2)よりy=1,(1)よりz=2 (*) x≧3のとき,(2)よりy<0となって解はない 以上により,3通り
【要点】
係数が大きな文字で場合分けする
問題6次の関係を満たす整数解x,y,zの組は何通りありますか.
解説
(1)(2)は方程式ですが(3)は方程式ではないので,未知数3個に対して方程式が2個しかないことになり,解は1つには定まりませんが「整数解」ということなので解けます. (2)を見ると3個しかないお菓子をx,yが食べ尽くすのは早いのですが,zが足を引っ張っていますので,(1)(2)を使って食べ尽くし型(和だけの式)にしておくと使いやすくなります. (1)+(2):3x+2y=9 …(4) このような問題ではxの値で場合分けすると,場合分けが少なくて済みます.(9個しかないお菓子をxが3個ずつ食べるので,すぐに上限に達してしまう) (i) x=0のとき,(4)より2y=9→整数解はない (ii) x=1のとき,(4)よりy=3,(1)よりz=2 (iii) x=2のとき,(4)より2y=3→整数解はない (iv) x=3のとき,(4)よりy=0,(1)よりz=3 (*) x≧4のとき,(4)よりy<0となって解はない 以上により,2通り |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][和の法則について/18.10.3]
中学生ですこれはいちいち表を作らないといけないのですか
=>[作者]:連絡ありがとう.問題1,4,5,6に表を使わない解答例を示しているので,その質問はあり得ないでしょう. |
■このサイト内のGoogle検索■ |