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現在地と前後の項目 正の角・負の角/動径の表わす一般角/三角関数の定義 /(第2象限) /(第3象限) /(第4象限) /(まとめ)/弧度法の単位：ラジアン/三角関数の値(よく使う角度)/sin(π+θ)など/三角方程式 /三角不等式/三角関数のグラフ(sinθの平行移動)/(cosθの平行移動)/sin(θ－α)のグラフ（解説）/(振幅)/(周期)/(周期と振幅)/三角関数のグラフ(総合1)/三角関数のグラフ(総合2)/加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式/加法定理の練習問題/２倍角公式.半角公式/加法定理の数値計算/積和.和積の公式/練習問題2/練習問題3/練習問題4/合成公式/三角不等式/三角関数（まとめ）/[センター]積和の公式/[センター]合成公式/三角関数公式一覧/三角関数公式プラス/三角形の証明・形状問題/センター試験.三角関数(2015年～)/ ■基本の形 y=sinθのグラフを描くには、右のような対応表（θの値とyの値を表にしたもの）を作り、求めた座標（θ , y）を結んでいく。 このy=sinθのグラフは、以下の解説を通じて何度も登場する［基本の形］なので、しっかりとイメージに刻んでおくことが重要。 特に、次の点は確実に言えなくてはならない。
（1）sin0°=0だからθ=0°のときy=0
（2）sin90°=1だからθ=90°のときy=1 （3）sin180°=0だからθ=180°のときy=0 （4）sin270°=−1だからθ=270°のときy=−1 （5）sin360°=0だからθ=360°のときy=0 |
◇対応表◇
◇グラフ◇  |
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■y=sin(θ−α）のグラフ【要点】
【 これが重要 】
○ y=sin(θ−α)のグラフは、y=sinθのグラフを 左に（x軸の負の向きに）αだけ移動したものではなく、 右に（x軸の正の向きに）αだけ移動したものになる。 ○ y=sin(θ+α)のグラフは、y=sinθのグラフを 右に（x軸の正の向きに）αだけ移動したものではなく、 左に（x軸の負の向きに）αだけ移動したものになる。
θ−30°なのになぜ右に動くのか
θ+30°なのになぜ左に動くのか ⇒ これさえ分かればよい ≪解説１≫ ○ y=sin(θ−30°)のグラフを描くために、
例えば、θ=30°のとき、θ−30°=0°だから、
sin(θ−30°)=0となって、移動する前の0°のときの値になっている。 同様に、θ=60°のとき、θ−30°=30°だから、 sin(θ−30°)=  12となって、移動する前の30°のときの値になっている。同様に、θ=90°のとき、θ−30°=60°だから、 sin(θ−30°)=  √32となって、移動する前の60°のときの値になっている。 |
y=sin(θ−30°）のグラフ
 
θの値よりも、θ−30°の値は30°だけ「遅れる」。 これをグラフで表すと、右に30°だけ移動させたものになる。 |
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○ y=sin(θ+30°)のグラフを描くために、
例えば、θ=0°のとき、θ+30°=30°だから、
sin(θ+30°)= 12となって、移動する前の30°のときの値になっている。同様に、θ=30°のとき、θ+30°=60°だから、 sin(θ+30°)= √32となって、移動する前の60°のときの値になっている。同様に、θ=60°のとき、θ+30°=90°だから、 sin(θ+30°)=1となって、移動する前の90°のときの値になっている。 |
◇y=sin(θ+30°)の対応表◇
θの値よりも、θ+30°の値は30°だけ「進む」。 これをグラフで表すと、左に30°だけ移動させたものになる。 |
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≪解説２≫ …（やや難しいが、グラフの平行移動はすべてこれで説明できる）
【グラフの平行移動の公式】
（証明）y=f(x)のグラフをx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにqだけ平行移動してできるグラフの方程式は 右図１のように元のy=f(x)上の点を(X,Y)、新しいグラフ上の点の座標を(x,y)とおくとき、xとyの関係式を求めるとよい。 元の点(X,Y)はy=f(x)のグラフ上にあるから Y=f(X) …(1) ： 元の関係式 を満たす。 新しい点(x,y)は元の点(X,Y)をx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにqだけ平行移動したものだから x=X+p …(2) ： 新旧x座標の関係 y=Y+q …(3) ： 新旧y座標の関係 が成り立つ。 (2)(3)では新座標が旧座標で表されているが、ここでは旧座標を消去して新座標の関係式を作りたいのだから、旧座標を新座標で表す式に直しておく。 X=x−p …(2’) ： 旧新x座標の関係 Y=y−q …(3’) ： 旧新y座標の関係 (2’)(3’)を(1)に代入して旧座標(X,Y)を消去すると y−q=f(x−p) …(4) 通常、関係式はy=…の形で書くことが多いので、その習慣に従ってqを移項しておくと y=f(x−p)+q …(5) ： 新しい関係式 ■証明終り■
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図１ 左の証明において、x軸の正の向きにp、y軸の正の向きにqだけ平行移動しているのに、 xだけx−pとなって、yは+qとなっているのは「ズルイ」「不公平だ」と思う人は、よく見直してほしい。 実際には、(5)式は(4)式と同じ式で、(4)を(5)に書き換えたのは「習慣に従った」だけなので、(4)が新しいグラフの方程式だといってもよい。 (4)ではxもyも正の向きに平行移動するときに、いずれもx−p、y−qとなって引き算になることが分かる。 なぜ、足し算ではなくて引き算になるのかのカラクリは、(2)(3)を(2’)(3’)に書きなおしたところにある。 よく見ると次の関係式は、単に元の関係式が書いてあるだけだということが分かる。 これは、平行移動の仕方から考えて「正しい・当然のこと」を表している。 |
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 例１直線y=xのグラフをx軸の正の向きに1、y軸の正の向きに2だけ平行移動してできるグラフの方程式は |
公式にはf(x)のfがあったのに、この例題にはfがないじゃないか？fはどこに行ったのか？と突っ込みを入れたい人へ ⇒ f(x)は式に付けた名前で、具体的な問題ではy=2x、y=3x2、y=sin xのように具体的な形の関数を扱う。以下の例はすべて具体的な関数を扱っているので、f(x)という名前は登場しない。 |
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例２ 放物線y=2x2のグラフをx軸の正の向きに3、y軸の正の向きに4だけ平行移動してできるグラフの方程式は ※ この内容は２次関数の頂点の座標を求めるときに登場する。 |
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例３ 双曲線y= 2xのグラフをx軸の正の向きに−3、y軸の正の向きに4だけ平行移動してできるグラフの方程式はy= 2x+3+4※ x軸の正の向きに−3だけ平行移動しているからx+3という式になる。y軸の正の向きに4だけ平行移動しているから、+4が付く。 |
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例４ y=sinθのグラフをθ軸の正の向きに30°、y軸の正の向きに1だけ平行移動してできるグラフの方程式は |
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例５ y=cosθのグラフをθ軸の正の向きに−60°だけ平行移動してできるグラフの方程式は |
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例６ y=sin(2θ−60°)のグラフを描くときは、θの代わりに何が代入されているかを考えるために このように変形すると、y=sin(2θ−60°)のグラフはy=sin2θのグラフをθの正の向きに30°だけ平行移動したものであることが分かる。 |
例７ y=cos(3θ+180°)は |