三角関数の公式プラス

大きな区分

現在地と前後の項目

正の角・負の角/動径の表わす一般角/三角関数の定義 /(第2象限) /(第3象限) /(第4象限) /(まとめ)/弧度法の単位：ラジアン/三角関数の値(よく使う角度)/sin(π+θ)など/三角方程式　/三角不等式/三角関数のグラフ(sinθの平行移動)/(cosθの平行移動)/sin(θ－α)のグラフ（解説）/(振幅)/(周期)/(周期と振幅)/三角関数のグラフ(総合1)/三角関数のグラフ(総合2)/加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式/加法定理の練習問題/２倍角公式.半角公式/加法定理の数値計算/積和.和積の公式/練習問題2/練習問題3/練習問題4/合成公式/三角不等式/三角関数（まとめ）/[センター]積和の公式/[センター]合成公式/三角関数公式一覧/三角関数公式プラス/三角形の証明・形状問題/センター試験.三角関数(2015年～)/

== 三角関数の公式（プラス） == 【このページの目標】

　三角関数の加法定理，２倍角公式，半角公式，積和の公式，和積の公式などの教科書レベルの基本公式は，前のページにあります．
　このページでは，その基本公式を使って，あと一歩応用的な式を作る練習をします．
　このページの内容を覚える必要はありませんが，「そういう式もありだな」という事実を押さえておくことと，「必要になったらいつでも作れる」という能力を身に着けてもらうことがこのページの目標です．

※以下，一般の角度について成り立つ関係式は

α, β, γ

で表し，特に△ABCの内角の場合，すなわちA+B+C=πの場合に成り立つ関係式はA, B, Cで表すことにする．

加法定理

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β

…(基本)

\sin (α + β + γ)

= \sin α \cos β \cos γ + \sin β \cos γ \cos α

+ \sin γ \cos α \cos β - \sin α \sin β \sin γ

…(1.1)

\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β

…(基本)

\cos (α + β + γ)

= \cos α \cos β \cos γ - \cos α \sin β \sin γ

- \cos β \sin γ \sin α - \cos γ \sin α \sin β

…(1.2)

\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}

…(基本)

\tan (α + β + γ)

= \frac{\tan α + \tan β + \tan γ - \tan α \tan β \tan γ}{1 - \tan α \tan β - \tan β \tan γ - \tan γ \tan α}

…(1.3)

（解説）
(1.1)←

\sin (α + β + γ) = \sin {(α + β) + γ}

= \sin (α + β) \cos γ + \cos (α + β) \sin γ

= (\sin α \cos β + \cos α \sin β) \cos γ

+ (\cos α \cos β - \sin α \sin β) \sin γ

= \sin α \cos β \cos γ + \sin β \cos γ \cos α

+ \sin γ \cos α \cos β - \sin α \sin β \sin γ

（終）

(1.2)←

\cos (α + β + γ) = \cos {(α + β) + γ}

= \cos (α + β) \cos γ - \sin (α + β) \sin γ

= (\cos α \cos β - \sin α \sin β) \cos γ

- (\sin α \cos β + \cos α \sin β) \sin γ

= \cos α \cos β \cos γ - \sin α \sin β \cos γ

- \sin α \cos β \sin γ - \cos α \sin β \sin γ

= \cos α \cos β \cos γ - \cos α \sin β \sin γ

- \cos β \sin γ \sin α - \cos γ \sin α \sin β

（終）

(1.3)←

\tan (α + β + γ) = \tan {(α + β) + γ}

= \frac{\tan (α + β) + \tan γ}{1 - \tan (α + β) \tan γ}

= \frac{\frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} + \tan γ}{1 - \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \tan γ}

= \frac{\tan α + \tan β + (1 - \tan α \tan β) \tan γ}{(1 - \tan α \tan β) - (\tan α + \tan β) \tan γ}

= \frac{\tan α + \tan β + \tan γ - \tan α \tan β \tan γ}{1 - \tan α \tan β - \tan β \tan γ - \tan γ \tan α}

（終）

倍角公式

※sin2α, sin4α, sin6α, ..はsinαだけでは表せない（cosαと混ざる）
それ以外は同じ種類のsinα, cosα, tanαのｎ次式で表せる．（ただし，tannαはtanαの分数式）

\sin 2 α = 2 \sin α \cos α

…(基本)

\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α

…(基本)

\sin 4 α = 4 \sin α \cos α - 8 \sin^{3} α \cos α

…(2.1)

\sin 5 α = 5 \sin α - 20 \sin^{3} α + 16 \sin^{5} α

…(2.2)

\sin 6 α = 6 \sin α \cos α - 32 \cos^{3} α \sin α + 32 \cos^{5} α \sin α

…(2.3)

※sinnαは，
nが偶数の場合は，sinαとcosαを使って表せる．←（例外）
nが奇数の場合は，sinαのn次式で表せる．

sin(n+1)α=2sinnαcosα−sin(n−1)α…(*)
(n≧1)と書ける．
（右辺を積和の公式で変形すると左辺に等しいことが分かる）

\sin n α \cos α = \frac{1}{2} (\sin (n + 1) α + \sin (n - 1) α)

だから

2 \sin n α \cos α - \sin (n - 1) α

= \sin (n + 1) α + \sin (n - 1) α - \sin (n - 1) α

= \sin (n + 1) α

（解説）
(2.1)←(*)

\sin 4 α = 2 \sin 3 α \cos α - \sin 2 α

= 2 (3 \sin α - 4 \sin^{3} α) \cos α - 2 \sin α \cos α

= 4 \sin α \cos α - 8 \sin^{3} α \cos α

（終）
最終形としては，見かけの異なる様々な形があり得る．

\sin 4 α = 8 \sin α \cos^{3} α - 4 \sin α \cos α

…(2.1’)

(2.2)←(*)

\sin 5 α = 2 \sin 4 α \cos α - \sin 3 α

= 2 (4 \sin α \cos α - 8 \sin^{3} α \cos α) \cos α

- (3 \sin α - 4 \sin^{3} α)

= 8 \sin α \cos^{2} α - 16 \sin^{3} α \cos^{2} α - 3 \sin α + 4 \sin^{3} α

= 8 \sin α (1 - \sin^{2} α) - 16 \sin^{3} α (1 - \sin^{2} α)

- 3 \sin α + 4 \sin^{3} α

= 5 \sin α - 20 \sin^{3} α + 16 \sin^{5} α

…(終)

(2.3)←(*)
最終形としては，見かけの異なる様々な形があり得る．

6 \sin α \cos α - 32 \cos^{3} α \sin α + 32 \cos^{5} α \sin α

…(2.3)

6 \cos α \sin^{5} α - 20 \cos^{3} α \sin^{3} α + 6 \cos^{5} α \sin α

…(2.3’)

6 \sin α \cos α - 32 \cos α \sin^{3} α + 32 \cos α \sin^{5} α

…(2.3”)

\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α

= 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α

…(基本)

\cos 3 α = 4 \cos^{3} α - 3 \cos α

…(基本)

\cos 4 α = 8 \cos^{4} α - 8 \cos^{2} α + 1

…(2.4)

\cos 5 α

= 16 \cos^{5} α - 20 \cos^{3} α + 5 \cos α

…(2.5)

\cos 6 α

= 32 \cos^{6} α - 48 \cos^{4} α + 18 \cos^{2} α - 1

…(2.6)

α=0のとき，cosα=1, cos nα=1だから，係数の和は１になる

※cosnαはcosαのn次の多項式で表せる．

cos(n+1)α=2cosnαcosα−cos(n−1)α…(**)
(n≧1)と書ける．
（右辺を積和の公式で変形すると左辺に等しいことが分かる）
Ⅰ cos2αはcosαの2次式
Ⅱ coskαがcosαのk次式で，cos(k−1)αがcosαのk−1次式ならば，この式の右辺はcosαのk+1次式になる．
　数学的帰納法により，すべての自然数nについて，cosnαがcosαのn次式であると言える．

（解説）
(2.4)←(**)
cos4α=2cos3αcosα−cos2α
=2(4cos3α−3cosα)cosα−(2cos2α−1)
=8cos4α−8cos2α+1…(終)
(2.5)←(**)
cos5α=2cos4αcosα−cos3α
=2(8cos4α−8cos2α+1)cosα−(4cos3α−3cosα)
=16cos5α−20cos3α+5cosα…(終)
(2.6)←(**)
cos6α=2cos5αcosα−cos4α
=2(16cos5α−20cos3α+5cosα)cosα
−(8cos4α−8cos2α+1)
=32cos6α−48cos4α+18cos2α−1…(終)

\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}

…(基本)

\tan 3 α = \frac{3 \tan α - \tan^{3} α}{1 - 3 \tan^{2} α}

…(2.7)

\tan 4 α = \frac{4 \tan α - 4 \tan^{3} α}{1 - 6 \tan^{2} α + \tan^{4} α}

…(2.8)

tannαはtanαのn次の分数式で表せる．

\tan (n + 1) α = \frac{\tan n α + \tan α}{1 - \tan n α \tan α}

(n≧1)と書ける．（加法定理）
この式を使って，次々にtan(n+1)αを求めていくと
ア）

\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}

のように，tannαの分母がtanαのn次式になっている場合は，tan(n+1)αは分子がtanαのn+1次式になる．（やって見れば分かる）
イ）tannαの分子がtanαのn次式になっている場合は，tan(n+1)αは分母がtanαのn+1次式になる．（やって見れば分かる）
ア）イ）より，ｎが偶数のときは，分母がtanαのn次式になり，ｎが奇数のときは，分子がtanαのn次式になる．

（解説）
(2.7)←

\tan 3 α = \frac{\tan 2 α + \tan α}{1 - \tan 2 α \tan α} = \frac{\frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α} + \tan α}{1 - \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α} \tan α}

= \frac{2 \tan α + (1 - \tan^{2} α) \tan α}{1 - \tan^{2} α - 2 \tan α \tan α} = \frac{3 \tan α - \tan^{3} α}{1 - 3 \tan^{2} α}

…(終)
(2.8)←

\tan 4 α = \frac{\tan 3 α + \tan α}{1 - \tan 3 α \tan α} = \frac{\frac{3 \tan α - \tan^{3} α}{1 - 3 \tan^{2} α} + \tan α}{1 - \frac{3 \tan α - \tan^{3} α}{1 - 3 \tan^{2} α \tan α}}

= \frac{(3 \tan α - \tan^{3} α) + (1 - 3 \tan^{2} α) \tan α}{(1 - 3 \tan^{2} α) - (3 \tan α - \tan^{3} α) \tan α}

= \frac{4 \tan α - 4 \tan^{3} α}{1 - 6 \tan^{2} α + \tan^{4} α}

…(終)

三角関数の累乗→倍角

※累乗の形を避けたい積分計算などでは，次のように倍角を用いて，被積分関数を線形な関数に直す方法も利用できる

\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}

…(3.1)

\sin^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4}

…(3.2)

\sin^{4} α = \frac{3 - 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}

…(3.3)

\sin^{5} α = \frac{10 \sin α - 5 \sin 3 α + \sin 5 α}{16}

…(3.4)

\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}

…(3.5)

\cos^{3} α = \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4}

…(3.6)

\cos^{4} α = \frac{3 + 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}

…(3.7)

\cos^{5} α = \frac{10 \cos α + 5 \cos 3 α + \cos 5 α}{16}

…(3.8)

\tan^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{1 + \cos 2 α}

…(3.9)

\tan^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{3 \cos α + \cos 3 α}

…(3.10)

\tan^{4} α = \frac{3 - 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{3 + 4 \cos 2 α + \cos 4 α}

…(3.11)

\tan^{5} α = \frac{10 \sin α - 5 \sin 3 α + \sin 5 α}{10 \cos α + 5 \cos 3 α + \cos 5 α}

…(3.12)

（解説）
(3.1)←

\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α

を

\sin^{2} α

について解くと

\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}

…(終)
(3.2)←

\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α

を

\sin^{3} α

について解くと

\sin^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4}

…(終)
さらに，この式を変形すると
(3.3)←

\sin^{4} α = \sin^{3} α \sin α = (\frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4}) \sin α

= \frac{1}{4} (3 \sin^{2} α - \sin 3 α \sin α)

= \frac{1}{4} {3 \frac{1 - \cos 2 α}{2} + \frac{1}{2} (\cos 4 α - \cos 2 α)}

= \frac{3 - 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}

…(終)

同様にして
(3.4)←

\sin^{5} α = \sin^{4} α \sin α = (\frac{3 - 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}) \sin α

= \frac{1}{8} (3 \sin α - 4 \cos 2 α \sin α + \cos 4 α \sin α)

= \frac{1}{8} {3 \sin α - 2 (\sin 3 α - \sin α) + \frac{1}{2} (\sin 5 α - \sin 3 α)}

= \frac{10 \sin α - 5 \sin 3 α + \sin 5 α}{16}

…(終) (3.5)←

\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1

を

\cos^{2} α

について解くと

\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}

…(終)
(3.6)←

\cos 3 α = 4 \cos^{3} α - 3 \cos α

を

\cos^{3} α

について解くと

\cos^{3} α = \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4}

…(終)
(3.7)←

\cos 4 α = 8 \cos^{4} α - 8 \cos^{2} α + 1

を

\cos^{4} α

について解くと

\cos^{4} α = \frac{\cos 4 α + 8 \cos^{2} α - 1}{8}

= \frac{1}{8} {\cos 4 α + 8 \frac{1 + \cos 2 α}{2} - 1}

= \frac{1}{8} (\cos 4 α + 4 + 4 \cos 2 α - 1)

= \frac{1}{8} (3 + 4 \cos 2 α + \cos 4 α)

…(終)
(3.8)←

\cos 5 α = 16 \cos^{5} α - 20 \cos^{3} α + 5 \cos α

を

\cos^{5} α

について解くと

\cos^{5} α = \frac{1}{16} (\cos 5 α + 20 \cos^{3} α - 5 \cos α)

= \frac{1}{16} (\cos 5 α + 20 \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4} - 5 \cos α)

= \frac{1}{16} (\cos 5 α + 15 \cos α + 5 \cos 3 α - 5 \cos α)

= \frac{1}{16} (10 \cos α + 5 \cos 3 α + \cos 5 α)

…(終)
(3.9)～(3.12)←
それぞれ正弦の式を余弦の式で割れば得られる

積和の公式

\sin α \cos β = \frac{1}{2} {\sin (α + β) + \sin (α - β)}

…(基本)

\cos α \sin β = \frac{1}{2} {\sin (α + β) - \sin (α - β)}

…(基本)

\cos α \cos β = \frac{1}{2} {\cos (α + β) + \cos (α - β)}

…(基本)

\sin α \sin β = - \frac{1}{2} {\cos (α + β) - \cos (α - β)}

…(基本)

\sin α \sin β \sin γ

= \frac{1}{4} {- \sin (α + β + γ) + \sin (- α + β + γ)

+ \sin (α - β + γ) + \sin (α + β - γ)}

…(4.1)

\sin α \sin β \cos γ

= \frac{1}{4} {- \cos (α + β + γ) + \cos (- α + β + γ)

+ \cos (α - β + γ) - \cos (α + β - γ)}

…(4.2)

\sin α \cos β \cos γ

= \frac{1}{4} {\sin (α + β + γ) - \sin (- α + β + γ)

+ \sin (α - β + γ) + \sin (α + β - γ)}

…(4.3)

\cos α \cos β \cos γ

= \frac{1}{4} {\cos (α + β + γ) + \cos (- α + β + γ)

+ \cos (α - β + γ) + \cos (α + β - γ)}

…(4.4)

（解説）
(4.1)←

\sin α \sin β \sin γ

= - \frac{1}{2} {\cos (α + β) - \cos (α - β)} \sin γ

= - \frac{1}{2} {\cos (α + β) \sin γ - \cos (α - β) \sin γ}

= - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} {\sin (α + β + γ) - \sin (α + β - γ)}

- \frac{1}{2} {\sin (α - β + γ) - \sin (α - β - γ)}]

= - \frac{1}{4} {\sin (α + β + γ) - \sin (α + β - γ)

- \sin (α - β + γ) + \sin (α - β - γ)}

= \frac{1}{4} {- \sin (α + β + γ) + \sin (α + β - γ)

+ \sin (α - β + γ) + \sin (- α + β + γ)}

…(終)
(4.2)以下も同様にして，積和の公式を繰り返し適用すれば得られる．
結果的には，sinが奇数個→sinの式，sinが偶数個→cosの式になる

≪

A + B + C = π

のとき≫

\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}

…(5.1)

\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{4} (\sin A + \sin B + \sin C)

- \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}

…(5.2)

この式は(5.1)のAの代わりに−Aを代入しても得られない．それは，A+B+C=πのとき，−A+B+C=πとはならないからである．以下においても同様

\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C = 4 \sin A \sin B \sin C

…(5.3)

\sin A \sin B \sin C = \frac{1}{4} (\sin 2 A + \sin 2 B + \cos 2 C)

- \sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C = 4 \sin A \cos B \cos C

…(5.4)

\cos A + \cos B + \cos C = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} + 1

…(5.5)

\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4} (\cos A + \cos B + \cos C - 1)

- \cos A + \cos B + \cos C = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} - 1

…(5.6)

\cos 2 A + \cos 2 B + \cos 2 C = - 4 \cos A \cos B \cos C - 1

…(5.7)

\cos A \cos B \cos C = - \frac{1}{4} (\cos 2 A + \cos 2 B + \cos 2 C + 1)

- \cos 2 A + \cos 2 B + \cos 2 C = - 4 \cos A \sin B \sin C + 1

…(5.8)

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C

…(5.9)

\tan 2 A + \tan 2 B + \tan 2 C = \tan 2 A \tan 2 B \tan 2 C

…(5.10)

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1

…(5.11)

\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}

…(5.12)

（解説）
(5.1)←

\sin A + \sin B + \sin C = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} + \sin C

= 2 \sin (\frac{π - C}{2}) \cos \frac{A - B}{2} + \sin C

= 2 \sin (\frac{π}{2} - \frac{C}{2}) \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}

= 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \sin \frac{C}{2})

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \sin \frac{π - A - B}{2})

= 2 \cos \frac{C}{2} {\cos \frac{A - B}{2} + \sin (\frac{π}{2} - \frac{A + B}{2})}

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \cos \frac{A + B}{2})

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}

+ \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})

= 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}

…(終)
(5.2)も同様にして示される

(5.3)←

\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C

= 2 \sin (A + B) \cos (A - B) + \sin 2 C

= 2 \sin (π - C) \cos (A - B) + 2 \sin C \cos C

= 2 \sin C \cos (A - B) + 2 \sin C \cos C

= 2 \sin C {\cos (A - B) + \cos C}

= 2 \sin C {\cos (A - B) + \cos (π - A - B)}

= 2 \sin C {\cos (A - B) - \cos (A + B)}

= 4 \sin C \sin A \sin B

…(終)
(5.4)～(5.8)も同様にして示される
(5.9)←

\tan A = \tan (π - B - C) = - \tan (B + C)

= - \frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B \tan C}

分母を払うと

\tan A (1 - \tan B \tan C) = - \tan B - \tan C

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C

…(終)
(5.10)←

\tan 2 A = \tan (2 π - 2 B - 2 C) = - \tan (2 B + 2 C)

= - \frac{\tan 2 B + \tan 2 C}{1 - \tan 2 B \tan 2 C}

分母を払うと

\tan 2 A (1 - \tan 2 B \tan 2 C) = - \tan 2 B - \tan 2 C

\tan 2 A + \tan 2 B + \tan 2 C = \tan 2 A \tan 2 B \tan 2 C

…(終)
(5.11)←

\tan (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}}

\tan (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan (\frac{π}{2} - \frac{C}{2}) = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}

したがって

\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}

分母を払うと

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1

(5.12)←
(5.11)の両辺を

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}

で割ると得られる

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