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高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 三角関数

【例1】
$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$ の値を$\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$ の値を使って表すには

※♥∅～次の図は，大航海時代のスペイン船のマークではない（まさか！冗談はやめましょう＃）
　第1象限～第４象限のそれぞれで縦線横線（xy座標）の符号を赤青で示したものです～♣∀

正確に言えば，θはどんな角度でもよいが，ここでは図と対応させて理解するために，0<θ<90°の図を使う．･･･θは30°ぐらいに見えている･･･以下の問題でも同様

①まず初めに，角度${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$ の場所を単位円上で探します．左図の●になります．
②次に，求めるものが$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )={\displaystyle \frac{x}{r}}$であるから，①で求めた場所について
横(符号あり)／半径 を考えます．
$\stackrel{{}^{″}}{--}/\stackrel{{}_{\circ }}{--}$になります．

【例2】
$\sin ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\theta )$の値を$\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$の値を使って表すには

①まず初めに，角度${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\theta$の場所を単位円上で探します．左図の●になります．
②次に，求めるものが$\sin ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\theta )={\displaystyle \frac{y}{r}}$であるから，①で求めた場所について
縦(符号あり)／半径 を考えます．
$-(\stackrel{\cdot \cdot }{--}/\stackrel{{}_{\circ }}{--})$になります．

【例3】
$\tan (\theta -{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})$ の値を$\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta$ の値を使って表すには

①次に，角度${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-\theta$の場所を単位円上で探します．左図の●になります．
②次に，求めるものが$-\tan ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-\theta )=-{\displaystyle \frac{y}{x}}$であるから，①で求めた場所について
－縦(符号あり)／横(符号あり) を考えます．
$-(\stackrel{\cdot \cdot }{--}/\stackrel{{}^{″}}{--})$になります．

①まず初めに，角度$\theta -{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ の場所を単位円上で探します．θから右回りに${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$進むと左図の●になります．
②次に，求めるものが$\tan (\theta -{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})={\displaystyle \frac{y}{x}}$であるから，①で求めた場所について
縦(符号あり)／横(符号あり) を考えます．
$-(\stackrel{\cdot \cdot }{--}/\stackrel{{}^{″}}{--})$になります．

【問題】
　次の値に等しいものを下の選択肢から選びなさい．

≪結果の表示≫
正答誤答
ＯＸ

π−θの場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の縦／半径に等しい．
したがって，$\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$ π+θの場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－横／半径に等しい．
したがって，$\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$ −θの場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は負)／横(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－縦／横に等しい．
したがって，$\tan (-\theta )=-\tan \theta$ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の横／半径に等しい．
したがって，$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )=\cos \theta$ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－縦／半径に等しい．
したがって，$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\theta )=-\sin \theta$ ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－横／半径に等しい．
したがって，$\sin ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\theta )=-\cos \theta$ ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は負)／横(符号は負)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の横／縦に等しい．
したがって，$\tan ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-\theta )={\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$ 2π+θの場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の縦／半径に等しい．
したがって，$\sin (2\pi +\theta )=\sin \theta$ ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の縦／半径に等しい．
したがって，$\cos ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+\theta )=\sin \theta$ θ−πの場所は左図の●(θから右にπ回る)
この場所に対して，縦(符号は負)／横(符号は負)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の縦／横に等しい．
したがって，$\tan (\theta -\pi )=\tan \theta$ $4\pi +\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は正)／横(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の縦／横に等しい．
したがって，$\tan (4\pi +\theta )=\tan \theta$ $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$の場所は左図の● ($-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$から右にθ回る)
この場所に対して，縦(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－横／半径に等しい．
したがって，$\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )=-\cos \theta$ ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}-\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の縦／半径に等しい．
したがって，$\cos ({\displaystyle \frac{5\pi }{2}}-\theta )=\sin \theta$ ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}+\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は正)／横(符号は負)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－横／縦に等しい．
したがって，$\tan ({\displaystyle \frac{5\pi }{2}}+\theta )=-{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$ $-\theta -2\pi$の場所は左図の● (−θから右に2π回る)
この場所に対して，縦(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－縦／半径に等しい．
したがって，$\sin (-\theta -2\pi )=-\sin \theta$ −θの場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の横／半径に等しい．
したがって，$\cos (-\theta )=\cos \theta$ π+θの場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は負)／横(符号は負)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の縦／横に等しい．
したがって，$\tan (\pi +\theta )=\tan \theta$ 3π+θの場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－横／半径に等しい．
したがって，$\cos (3\pi -\theta )=-\cos \theta$ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は正)／横(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の横／縦に等しい．
したがって，$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )={\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$ π+θの場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－縦／半径に等しい．
したがって，$\sin (\pi +\theta )=-\sin \theta$ $\cos (-\theta )=\cos \theta$，したがって$\cos (\theta -{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})=\cos ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-\theta )$．
次に，${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は負)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－縦／半径に等しい．したがって，$\cos (\theta -{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})=-\sin \theta$ 2π+θの場所は左図の●
この場所に対して，横(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の横／半径に等しい．
したがって，$\cos (2\pi +\theta )=\cos \theta$ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，縦(符号は正)／半径(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の横／半径に等しい．
したがって，$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\theta )=\cos \theta$ $\tan (-\theta )=-\tan \theta$，したがって$\tan (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$．
次に，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$の場所は左図の●
この場所に対して，－縦(符号は正)／横(符号は正)を考えると，第1象限の色の濃い三角形の－横／縦に等しい．したがって，$\tan (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$

cos(θ-3π/2)は-cos(3π/2+θ)よりsinθになると思うのですが・・
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三角関数の性質にありますように，は偶関数，すなわちが成り立ちます．（とは異なり，になっても，符号は変化しません．間違いやすいものです）．
したがって，です．の図で示しています．
この場所で，だから，第1象限の図に直すとです．

http://www.geisya.or.jp/ ~mwm48961/ kou3/sin004.htm のＴａｎ（θーπ）のヒントで、赤い点の位置が違うと思ったのですが、どうですか？あのヒントだと答えは－Ｔａｎになると思います。　もしヒントがあっていれば、解説をお願いします。　　 また、わからないところで、sin（－θ－２π）のヒントがなぜ０にならないのですか？ 最後に要望で、９０－θや９０＋θの公式を具体的に、細かく解説して載せていただければ幸いです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．赤い点の位置は確かにおかしいので訂正しました．
「sin（－θ－２π）のヒントがなぜ０にならないのですか？」は質問の意味が通じません．そのヒントでは，－θ－２πの位置が赤丸で示されているはずです．０になることはないでしょう．
「９０－θや９０＋θの公式」の公式はこのページにあります．

sin(π+θ)など"の項で、tan(θ-π/2)の問題について、図が3π/2の外接円との交点にマークを 示しているので間違いと思いますが如何でしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．sin(π+θ)の話をしておられるのか，tan(θ-π/2)の話をしておられるのか通じません．3π/2の外接円とは何のことなのか，Firefoxで表示がおかしいということでもないようで，全く話が通じません．