→ 携帯版は別頁

高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 三角関数

【重要】･･･「初心者の勘」とは反対になることに注意！
○${\displaystyle y=\sin n\theta }$のグラフは${\displaystyle y=\sin \theta }$のグラフを横方向に縮めたものになる．
○${\displaystyle y=\sin \frac{\theta }{n}}$のグラフは${\displaystyle y=\sin \theta }$のグラフを横方向に伸ばしたものになる．
※${\displaystyle \cos \theta ,\tan \theta }$についても同様

【間違いの図】

【正しい図】

【正しい図】

【よくある間違い】
○${\displaystyle y=\tan n\theta ,y=\tan \frac{\theta }{n}}$のグラフを書くときに，「リクライニングシートでトラブルが発生している図を描いてはいけない」

【間違いの図】

【1.周期関数の定義】
　関数f(x)において，pを0でない定数とするとき，任意の実数xに対して
f(x+p)=f(x)
が成り立つとき，f(x)はpを周期とする周期関数であるという．
【2.周期関数の性質】
　pが関数f(x)の周期であるとき，pの整数倍np (n=±1, ±2, ...)も周期である．
【3.基本周期】
　周期のうちで「正の値で最小のもの」を基本周期という．通常，単に周期という場合は，基本周期のことをいう．

【4.三角関数の周期(1)】
〇 y=sinx, y=cosxの周期は，2πである．
すなわち
sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
が成り立つ．
〇 y=tanxの周期は，πである．
すなわち
tan(x+π)=tanx
が成り立つ．

【5.三角関数の周期(2)】
　kを正の定数とするとき， 〇 y=sinkx, y=coskxの周期は，${\displaystyle \frac{2\pi }{k}}$である．
すなわち
${\displaystyle \sin \{k(x+\frac{2\pi }{k})\}=\sin kx}$
${\displaystyle \cos \{k(x+\frac{2\pi }{k})\}=\cos kx}$
が成り立つ．
〇 y=tankxの周期は，${\displaystyle \frac{\pi }{k}}$である．
すなわち
${\displaystyle \tan \{k(x+\frac{\pi }{k})\}=\tan kx}$
が成り立つ．

(1)　y=sin2x
π 2π 4π ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

y=sin2xの周期は，${\displaystyle \frac{2\pi }{2}=\pi }$･･･（答）
グラフは右図のようになり，0≦x≦πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

(2)　y=cos3x
π 2π 3π ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

y=sin2xの周期は，${\displaystyle \frac{2\pi }{2}=\pi }$･･･（答）
グラフは右図のようになり，0≦x≦${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$の図形を繰り返す
→解説を隠す←

(3)　y=tan${\displaystyle \frac{x}{2}}$
π 2π 4π ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

y=sin2xの周期は，${\displaystyle \frac{2\pi }{2}=\pi }$･･･（答）
グラフは右図のようになり，0≦x≦2πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

(4)　y=sin${\displaystyle \frac{x}{2}}$
π 2π 4π ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

y=sin${\displaystyle \frac{x}{2}}$の周期は，4π･･･（答）
グラフは図のようになり，0≦x≦4πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

(5)　y=cos${\displaystyle \frac{2x}{3}}$
π 2π 3π ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

y=cos${\displaystyle \frac{2x}{3}}$の周期は，3π･･･（答）
グラフは図のようになり，0≦x≦3πの図形を繰り返す
→解説を隠す←

【三角関数の振幅,周期】
y=asin(bx+c), y=acos(bx+c)について
•　|a|を振幅という．
•　周期は，${\displaystyle \mid \frac{2\pi }{b}\mid }$に等しい．

• 振幅は|−2|=2（係数が負の場合は，正の値に直す）
• 周期は${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$
• ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$と変形すると，y=−2sin(3x)のグラフを，x軸方向に${\displaystyle -\frac{\pi }{12}}$だけ平行移動したものであることが分かる．

${\displaystyle -\frac{\pi }{12}}$

• 振幅は3
• 周期は${\displaystyle \frac{2\pi }{2}=\pi }$
• ${\displaystyle y=3\cos \{2(x-\frac{\pi }{4})\}}$と変形すると，y=3cos(2x)のグラフを，x軸方向に${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ平行移動したものであることが分かる．

${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

※初歩的な注意
　x軸方向（x軸の正の向きの）平行移動は，式の見かけの符号と逆になることに注意（よく間違う）
• y=asin{b(x+α)}は，y=asinbxのグラフをx軸方向に−αだけ平行移動したもの
• y=asin{b(x−α)}は，y=asinbxのグラフをx軸方向に+αだけ平行移動したもの

a, bの値および正弦関数・余弦関数は変更せず，移動方向は向きと組み合わせて「正の最小の角で」答えてください．（角度は弧度法［ラジアン］とします．）

(1)　y=2sin(3x+π)

${\displaystyle y=2\sin \{3(x+\frac{\pi }{3})\}}$と変形する
振幅は2，周期は${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$で
y=2sin3xのグラフをx軸の負の向きに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）


→解説を隠す←

(2)　y=3cos(2x−${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$)

y=3cos{2(x−${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$)}
と変形する．
振幅は3，周期は${\displaystyle \frac{2\pi }{2}}$=πで
y=3sin2xのグラフをx軸の正の向きに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）
→解説を隠す←

(3)　${\displaystyle y=-\frac{3}{2}\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{6})}$

${\displaystyle y=-\frac{3}{2}\sin \{\frac{1}{2}(x+\frac{\pi }{3})\}}$
と変形する．
振幅は${\displaystyle \frac{3}{2}}$，周期は${\displaystyle 2\pi \times 2=4\pi }$で
${\displaystyle y=-\frac{3}{2}\sin \frac{1}{2}x}$のグラフをx軸の負の向きに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）
→解説を隠す←

(4)　${\displaystyle y=\frac{5}{2}\cos (\frac{2}{3}x-\frac{\pi }{2})}$

${\displaystyle y=\frac{5}{2}\cos \{\frac{2}{3}(x-\frac{3\pi }{4})\}}$
と変形する．
振幅は${\displaystyle \frac{5}{2}}$，周期は${\displaystyle 2\pi \times \frac{3}{2}=3\pi }$で
${\displaystyle y=\frac{5}{2}\cos \frac{2}{3}x}$のグラフをx軸の正の向きに${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$だけ平行移動したもの（桃色で示した部分）
→解説を隠す←