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積和の公式.和積の公式
微分積分など多くの計算において，積（掛け算）よりも和・差・定数倍となっている方が計算しやすく，積の形で表された式を和・差・定数倍で表された式に直したい場面がよくあります．三角関数の積については，右の積和の公式で和・差の形に直すことができます．
逆に，因数分解したいときなどにおいては和・差を積に直すことになります． 「全部，覚えなければいけないのか」と聞かれることがありますが，単語の丸暗記のようなものではなくお互いにつながった内容なので，
(1) 筆者はこれらの公式を覚えずに，必要な時に三角関数の加法定理から作っていますが，
さしあたり，積和⇒係数は(2) 何度も使っているうちに，自然に身に付いてしまうのもＯＫです．  12，和積⇒係数は2ということだけは間違わないようにしましょう．
【例題１】
（解答）次の式を和・差の形に直してください． sinθ·cos2θ sinθ·cos2θ=  12{sin(θ+2θ)+sin(θ−2θ)}
=12(sin3θ−sinθ)←sin(−θ)=−sinθを使う
【例題２】
次の値を求めてください． sin37.5°·cos7.5° 37.5°や7.5°の三角関数の値は，通常覚えませんが，37.5°+7.5°=45°，37.5°−7.5°=30°なので，積和の公式により計算可能な値に直ります．
（解答）sin37.5°·cos7.5°= 12{sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°−7.5°)}
=12(sin45°+sin30°)=12( √22+12)=√2+14
【例題３】
次の式を積の形に直してください． sin4θ+sin2θ
和を積に直す公式ではsinA±sinBやcosA±cosBのように
（解答）(1) sin, cosが同種であるとき． (2) 係数がいずれも１であるとき． に限り，積に直すことができます． 次のような式は，この公式を使った変形ができません． sinA+cosB ←sin, cosが混ざっている． 2sinA+3sinB ←係数が１ではない． なお 2sinA+3cosA のような形の式は「三角関数の合成公式」を使った変形ができます． sin4θ+sin2θ=2sin 4θ+2θ2cos4θ−2θ2=2sin3θ·cosθ
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【積和の公式】 （積を和・差に直す公式）
三角関数の積和の公式は加法定理から導かれます． sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ +)sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ sin(α+β)+sin(α−β)=2sinα·cosβ…(1) ゆえにsinα·cosβ=  12{sin(α+β)+sin(α−β)}sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ −)sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ sin(α+β)−sin(α−β)=2cosα·sinβ…(2) ゆえにcosα·sinβ= 12{sin(α+β)−sin(α−β)}cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβ +)cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ cos(α+β)+cos(α−β)=2cosα·cosβ…(3) ゆえにcosα·cosβ= 12{cos(α+β)+cos(α−β)}cos(α+β)=cosα·cosβ−sinα·sinβ −)cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinα·sinβ…(4) ゆえにsinα·sinβ=− 12{cos(α+β)−cos(α−β)}
【和積の公式】 （和・差を積に直す公式）
三角関数の和積の公式は積和の公式を書き直したものです． (1)(2)(3)(4)において α+β=A, α−β=Bとおくと α= A+B2, β=A−B2となるから(1)→sinA+sinB=2sin A+B2cosA−B2(2)→sinA−sinB=2cos A+B2sinA−B2(3)→cosA+cosB=2cos A+B2cosA−B2(4)→cosA−cosB=−2sin A+B2sinA−B2 |
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【問題１】 次の式を和・差の形に直してください． （正しいものを選択肢から選んでください．） 12(sin3θ+sinθ)
12(sin3θ−sinθ)12(sin4θ+sin2θ)
12(sin4θ−sin2θ)sinα·cosβ= 12{sin(α+β)+sin(α−β)}にα=θ, β=3θを代入すると sinθ·cos3θ= 12{sin4θ+sin(−2θ)}=12(sin4θ−sin2θ)
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12(sin7θ+sin3θ)
12(sin7θ−sin3θ)12(cos7θ+cos3θ)
12(cos7θ−cos3θ) cosα·sinβ= 12{sin(α+β)−sin(α−β)}にα=2θ, β=5θを代入すると cos2θ·sin5θ= 12{sin7θ−sin(−3θ)}=12(sin7θ+sin3θ)
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12(sin6θ+sin2θ)
12(sin6θ−sin2θ) − 12(sin6θ+sin2θ)
−12(sin6θ−sin2θ)12(cos6θ+cos2θ)
12(cos6θ−cos2θ)− 12(cos6θ+cos2θ)
−12(cos6θ−cos2θ)sinα·sinβ=− 12{cos(α+β)−cos(α−β)}にα=4θ, β=2θを代入すると sin4θ·sin2θ=− 12(cos6θ−cos2θ)
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12(sin7θ+sin5θ)
12(sin7θ−sin5θ) − 12(sin7θ+sin5θ)
−12(sin7θ−sin5θ)12(cos7θ+cos5θ)
12(cos7θ−cos5θ)− 12(cos7θ+cos5θ)
−12(cos7θ−cos5θ)cosα·cosβ= 12{cos(α+β)+cos(α−β)}にα=6θ, β=θを代入すると cos6θ·cosθ= 12(cos7θ+cos5θ)
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12(sin5θ+sinθ)
12(sin5θ−sinθ) − 12(sin5θ+sinθ)
−12(sin5θ−sinθ)12(sin5θ+cosθ)
12(sin5θ−cosθ)− 12(sin5θ+cosθ)
−12(sin5θ−cosθ)sinα·cosβ= 12{sin(α+β)+sin(α−β)}にα=2θ, β=3θを代入すると sin2θ·cos3θ= 12{sin5θ+sin(−θ)}=12(sin5θ−sinθ)
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12(sin10θ+sin2θ)
12(sin10θ−sin2θ) − 12(sin10θ+sin2θ)
−12(sin10θ−sin2θ)12(cos10θ+sin2θ)
12(cos10θ−sin2θ)− 12(cos10θ+sin2θ)
−12(cos10θ−sin2θ)cosα·sinβ= 12{sin(α+β)−sin(α−β)}にα=4θ, β=6θを代入すると cos4θ·sin6θ= 12{sin10θ−sin(−2θ)}=12(sin10θ+sin2θ)
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12(sin9θ+sinθ)
12(sin9θ−sinθ) − 12(sin9θ+sinθ)
−12(sin9θ−sinθ)12(cos9θ+cosθ)
12(cos9θ−cosθ)− 12(cos9θ+cosθ)
−12(cos9θ−cosθ)sinα·sinβ=− 12{cos(α+β)−cos(α−β)}にα=5θ, β=4θを代入すると sin5θ·sin4θ=− 12(cos9θ−cosθ)
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12(sin10θ+sin4θ)
12(sin10θ−sin4θ) − 12(sin10θ+sin4θ)
−12(sin10θ−sin4θ)12(cos10θ+cos4θ)
12(cos10θ−cos4θ)− 12(cos10θ+cos4θ)
−12(cos10θ−cos4θ)cosα·cosβ= 12{cos(α+β)+cos(α−β)}にα=3θ, β=7θを代入すると cos3θ·cos7θ= 12{cos10θ+cos(−4θ)}= 12(cos10θ+cos4θ)
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【問題２】 次の値を求めてください． （正しいものを選択肢から選んでください．） 12
32
14
34
2+ √34
2−√34cosα·cosβ= 12{cos(α+β)+cos(α−β)}にα=75°, β=15°を代入すると cos75°·cos15°= 12(cos90°+cos60°)= 12(0+12)=14
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14
−14
√2−14
1−√24
√3−√24
√2−√34 sinα·sinβ=− 12{cos(α+β)−cos(α−β)}にα=52.5°, β=7.5°を代入すると sin52.5°·sin7.5°=− 12(cos60°−cos45°)=−12(12−√22)= √2−14
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【問題３】 次の式を積の形にしてください． （正しいものを選択肢から選んでください．） 12sin3θ·cos2θ
12cos3θ·sin2θ12sin6θ·cos4θ
12cos4θ·sin6θ2sin3θ·cos2θ 2cos3θ·sin2θ 2sin6θ·cos4θ 2sin4θ·cos6θ sinA−sinB=2cos A+B2sinA−B2にA=5θ, B=θを代入すると sin5θ−sinθ=2cos 6θ2sin4θ2=2cos3θsin2θ
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12cos4θ·cosθ
−12cos4θ·cosθ12cos8θ·cos2θ
−12cos8θ·cos2θ 2cos4θ·cosθ −2cos4θ·cosθ 2cos8θ·cos2θ −2cos8θ·cos2θ cosA+cosB=2cos A+B2cosA−B2にA=3θ, B=5θを代入すると cos3θ+cos5θ=2cos 8θ2cos−2θ2=2cos4θcosθ
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2sin9θ·sin5θ
−2sin9θ·sin5θ 2cos9θ·cos5θ −2cos9θ·cos5θ 2sin 92θ·sin52θ
−2sin92θ·sin52θ2cos 92θ·cos52θ
−2cos92θ·cos52θcosA−cosB=−2sin A+B2sinA−B2にA=2θ, B=7θを代入すると cos2θ−cos7θ=−2sin 9θ2sin−5θ2=2sin9θ2sin5θ2
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2sin5θ·cosθ
−2sin5θ·cosθ 2sin 52θ·cos12θ
−2sin52θ·cos12θ2sin 52θ·sin12θ
−2sin52θ·sin12θ2cos 52θ·cos12θ
−2cos52θ·cos12θsinA+sinB=2sin A+B2cosA−B2にA=2θ, B=3θを代入すると sin2θ+sin3θ=2sin 5θ2cos−θ2=2sin5θ2cosθ2
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【問題４】 次の値を求めてください． （正しいものを選択肢から選んでください．） 12
−12
√22
−√22√32
−√32
√62
−√62sin165°+sin75°=2sin 165°+75°2cos165°−75°2=2sin120°·cos45°=2 √32√22=√62 |
12
−12
√22
−√22√32
−√32
√62
−√62 cos15°−cos75°=−2sin 15°+75°2sin15°−75°2=−2sin45°·sin(−30°)=2 √2212=√22 |
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