三角方程式

大きな区分

現在地と前後の項目

正の角・負の角/動径の表わす一般角/三角関数の定義 /(第2象限) /(第3象限) /(第4象限) /(まとめ)/弧度法の単位：ラジアン/三角関数の値(よく使う角度)/sin(π+θ)など/三角方程式　/三角不等式/三角関数のグラフ(sinθの平行移動)/(cosθの平行移動)/sin(θ－α)のグラフ（解説）/(振幅)/(周期)/(周期と振幅)/三角関数のグラフ(総合1)/三角関数のグラフ(総合2)/加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式/加法定理の練習問題/２倍角公式.半角公式/加法定理の数値計算/積和.和積の公式/練習問題2/練習問題3/練習問題4/合成公式/三角不等式/三角関数（まとめ）/[センター]積和の公式/[センター]合成公式/三角関数公式一覧/三角関数公式プラス/三角形の証明・形状問題/センター試験.三角関数(2015年～)/

== 三角方程式 ==

【三角方程式とは】

•

\sin θ = \frac{1}{2}

や

\cos θ = - \frac{\sqrt{2}}{2}

のように角度が未知数になっている方程式を三角方程式という．
• 三角方程式は，次の例題のように単位円を利用して解くと分かりやすい．

【例題1】

0 ≦ θ ≦ π

のとき，

\sin θ = \frac{1}{2}

を満たすθの値を求めてください．

サインはｙ

\sin θ = \frac{y}{r}

だから，単位円（半径rが1の円）を描くと，

\sin θ = y

になる
⇒「サインはｙ」と覚えておく

(解答）
　右図の単位円で，ｙ座標が

\frac{1}{2}

となる角度は，

θ = \frac{π}{6}

と

θ = \frac{5 π}{6}

…(答)

＃超初心者のビックリ答案＃
　何十年も高校で教えていると，ビックリ答案に出会うことがある．馬鹿にしているのでなく，危険な落とし穴として注意しておこう！

\sin θ = \frac{1}{2}

から

θ = \frac{1}{2 \sin}

と答えた生徒がいた．

\sin θ

は

\sin

と

θ

のかけ算ではないのだ！

\sin

などというものはないのだ．

＃この問題はなぜ解けるのか＃
　本当のことを言えば，この問題が解けるのは，

\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

と

\sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

という答えを覚えているから解けるのです．もっとはっきり言えば，「筆算で解ける」のは，次の表に出てくる

θ, y

の組み合わせだけです．

θ	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π
y	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0

　この表にない値，例えば

\sin θ = \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots

のどれも「筆算では」解けません．解けるのは，この表にある

\sin θ = 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1

の場合だけです．
　中学校で習う1次方程式の解き方

3 x = 2 \to x = \frac{2}{3}

など違って，

\sin θ = a (0 ≦ a ≦ 1)

を「数式変形で」解く方法はありません．

\sin θ = \frac{1}{3}

のような問題は「教科書の巻末に付いている三角関数表を見て」解くのです．

θ	…	19°	20°	21°	…
正弦	…	0.3256	0.3420	0.3584	…

θ=約19°
　これに対して，定期試験や入学試験などで三角関数表が付いていない場合には，上に述べた表に出てくる問題しか出ないことになります（符号が逆のものは出ます）．

【例題2】

0 ≦ θ ≦ π

のとき，

\cos θ = - \frac{1}{\sqrt{2}}

を満たすθの値を求めてください．

コサインはｘ

\cos θ = \frac{x}{r}

だから，単位円（半径rが1の円）を描くと，

\cos θ = x

になる
⇒「コサインはｘ」と覚えておく

(解答）
　右図の単位円で，ｘ座標が

- \frac{1}{\sqrt{2}}

となる角度は，

θ = \frac{3}{4} π

…(答)

【例題3】

0 ≦ θ < 2 π

のとき，

\tan θ = 1

を満たすθの値を求めてください．

タンジェントはｙ/ｘ

\tan θ = \frac{y}{x}

だから，単位円（半径rが1の円）を描くと，

\tan θ

=(縦)÷(横)の比率になる
⇒「タンジェントはｙ/ｘの比率」

(解答）
　右図の単位円で，(縦)÷(横)の比率が正で1となる角度は，

θ = \frac{π}{4}, \frac{5}{4} π

…(答)

≪水色の表だけは確実に言えるようにしよう！≫
残りは矢印の方向に同じ値にして，符号を付ける

θ	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π
$\sin θ$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0

θ	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{11 π}{6}$
$\sin θ$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{\sqrt{2}}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	−1	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{1}{\sqrt{2}}$	$- \frac{1}{2}$

θ	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π
$\cos θ$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{\sqrt{2}}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	−1

θ	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{11 π}{6}$
$\cos θ$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{1}{\sqrt{2}}$	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

θ	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	π
$\tan θ$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	×	$- \sqrt{3}$	−1	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	0

θ	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{7 π}{4}$	$\frac{11 π}{6}$
$\tan θ$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	×	$- \sqrt{3}$	−1	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$

【解説】
○　次のような問題では，2θの問題に直して解く。

○　次の問題では，に直して解く。

■　問題
0≦θ＜πのとき，次の方程式を解きなさい。(初めに問題を１つ選択し，続いて解答を１つクリックしなさい。正しければ消えます。)

問題	解答
ヒントヒントヒントヒントヒント

【三角方程式の一般解】

(A)　

\sin θ = a

の１つの解をαとするとき，

θ=α+2nπ…(1)
θ=(π−α)+2nπ…(2)
［nは整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

　この形で一般解として覚えてもよいが，次のようにまとめる方法も使われる．
(1)はnが偶数のときはnπにαを加えることを表しており，
(2)はθ=(2n+ 1)π−αと書けるから，nが奇数のときはnπからαを引くものと解釈することができる．
　そこで，これら２つの式を

θ = (- 1)^{n} \times α + n π

［nは整数］
とまとめることができる．

　上記の茶色で書いたまとめ方は，式が複雑で迷う可能性がある．自分が答案を書くときは，(1)(2)で安全・確実に書けばよい．
　上記の(A)の公式は，次の(B)の形に書くこともできる．

(B)　

\sin θ = \sin α

のとき，

θ=α+2nπ…(1)
θ=(π−α)+2nπ…(2)
［nは整数］
が成り立つ．

【例題4】

\sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

だから，

α = \frac{π}{3}

は１つの解となる．

θ = \frac{π}{3} + 2 n π

…(1)［nは整数］

θ = \frac{2}{3} π + 2 n π

…(2)…（答）

【例題5】…たぶん，高校生の正答率は1割以下．難しい

0 ≦ θ ≦ π

のとき，

\sin (θ - \frac{π}{4}) = \sin 2 θ

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

nは整数として
(1)

θ - \frac{π}{4} = 2 θ + 2 n π

より

気長に，nの値の範囲を求めているだけだが，生徒には難しいらしい

0 ≦ θ = - \frac{π}{4} - 2 n π ≦ π

\frac{π}{4} ≦ - 2 n π ≦ \frac{5}{4} π

\frac{1}{4} ≦ - 2 n ≦ \frac{5}{4}

- \frac{1}{8} ≧ n ≧ - \frac{5}{8}

これに該当する整数値nはない
(2)

θ - \frac{π}{4} = - 2 θ + (2 n + 1) π

より

3 θ = \frac{π}{4} + (2 n + 1) π

0 ≦ θ = \frac{π}{12} + \frac{2 n + 1}{3} π ≦ π

- \frac{π}{12} ≦ \frac{2 n + 1}{3} π ≦ \frac{11}{12} π

- \frac{1}{12} ≦ \frac{2 n + 1}{3} ≦ \frac{11}{12}

- \frac{1}{4} ≦ 2 n + 1 ≦ \frac{11}{4}

- \frac{5}{4} ≦ 2 n ≦ \frac{7}{4}

- \frac{5}{8} ≦ n ≦ \frac{7}{8}

これに該当する整数値はn=0
したがって，

θ = \frac{π}{12} + \frac{1}{3} π = \frac{5}{12} π

…（答）

【例題6】…もう高校生2年生ではほとんど解けないかも

　0≦θ≦πのとき，

\sin (θ - \frac{π}{4}) = \cos 2 θ

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

\sin (θ - \frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2} - 2 θ)

と変形する．

なぜ，そのような変形をするのか？それは，加法定理などの変形方法をまだ習っていない段階では，

\sin θ = \cos α

の形からでは解き方の手がかりがなく，

\sin θ = \sin α

の形からなら解き方が分かるから，

\sin

にそろえたということ．
　特に，

\sin (\frac{π}{2} - θ)

を使わなければならない訳ではなく，

\sin (\frac{π}{2} + θ), - \sin (\frac{3 π}{2} - θ), - \sin (3 \frac{π}{2} + θ)

でもよいが，一番簡単なものを使ったということ

nは整数として
(1)

θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} - 2 θ + 2 n π

より

3 θ = \frac{3}{4} π + 2 n π

0 ≦ θ = \frac{π}{4} + \frac{2}{3} n π ≦ π

- \frac{π}{4} ≦ \frac{2}{3} n π ≦ \frac{3}{4} π

- \frac{1}{4} ≦ \frac{2}{3} n ≦ \frac{3}{4}

- \frac{3}{8} ≦ n ≦ \frac{9}{8}

これに該当する整数値はn=0, 1
n=0のとき，

θ = \frac{π}{4}

n=1のとき，

θ = \frac{π}{4} + \frac{2}{3} π = \frac{11}{12} π

(2)

θ - \frac{π}{4} = - (\frac{π}{2} - 2 θ) + (2 n + 1) π

より

0 ≦ θ = \frac{π}{4} - (2 n + 1) π ≦ π

- \frac{π}{4} ≦ - (2 n + 1) π ≦ \frac{3}{4} π

- \frac{1}{4} ≦ - (2 n + 1) ≦ \frac{3}{4}

\frac{1}{4} ≧ 2 n + 1 ≧ - \frac{3}{4}

- \frac{3}{4} ≧ 2 n ≧ - \frac{7}{4}

- \frac{3}{8} ≧ n ≧ - \frac{7}{8}

これに該当する整数値はない
(1)(2)から，

θ = \frac{π}{4}, \frac{11}{12} π

…（答）

【三角方程式の一般解】

(A)　

\cos θ = a

の１つの解をαとするとき，
θ=±α+2nπ［nは整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

　上記の(A)の公式は，次の(B)の形に書くこともできる．

(B)　

\cos θ = \cos α

のとき，

θ=±α+2nπ［nは整数］
が成り立つ．

【例題7】

\cos θ = - \frac{1}{2}

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

\cos \frac{2}{3} π = - \frac{1}{2}

だから，

α = \frac{2}{3} π

は１つの解となる．

θ = \pm \frac{2}{3} π + 2 n π

［nは整数］…（答）

【例題8】

0 ≦ θ ≦ π

のとき，

\cos (θ + \frac{π}{4}) = \cos 2 θ

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

nは整数として
(1)

θ + \frac{π}{4} = 2 θ + 2 n π

より

0 ≦ θ = \frac{π}{4} - 2 n π ≦ π

- \frac{π}{4} ≦ - 2 n π ≦ \frac{3}{4} π

- \frac{1}{4} ≦ - 2 n ≦ \frac{3}{4}

\frac{1}{8} ≧ n ≧ - \frac{3}{8}

これに該当する整数値はn=0
n=0のとき，

θ = \frac{π}{4}

(2)

θ + \frac{π}{4} = - 2 θ + 2 n π

より

3 θ = - \frac{π}{4} + 2 n π

0 ≦ θ = - \frac{π}{12} + \frac{2}{3} n π ≦ π

\frac{π}{12} ≦ \frac{2}{3} n π ≦ \frac{13}{12} π

\frac{1}{12} ≦ \frac{2}{3} n ≦ \frac{13}{12}

\frac{1}{8} ≦ n ≦ \frac{13}{8}

これに該当する整数値はn=1
したがって，

- \frac{π}{12} + \frac{2}{3} π = \frac{7}{12} π

以上から，

θ = \frac{π}{4}, \frac{7}{12} π

…（答）

【例題9】

　0≦θ≦πのとき，

\cos (3 θ - \frac{π}{4}) = \sin θ

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

\cos (3 θ - \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{2} - θ)

と変形する．

正弦にそろえてもできる

nは整数として
(1)

3 θ - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} - θ + 2 n π

より

4 θ = \frac{3}{4} π + 2 n π

0 ≦ θ = \frac{3}{16} π + \frac{n}{2} π ≦ π

- \frac{3}{16} π ≦ \frac{n}{2} π ≦ \frac{13}{16} π

- \frac{3}{8} ≦ \frac{n}{2} ≦ \frac{13}{16}

- \frac{3}{8} ≦ n ≦ \frac{13}{8}

これに該当する整数値はn=0, 1
n=0のとき，

θ = \frac{3}{16} π

n=1のとき，

θ = \frac{3}{16} π + \frac{π}{2} = \frac{11}{16} π

(2)

3 θ - \frac{π}{4} = - (\frac{π}{2} - θ) + 2 n π

より

2 θ = - \frac{π}{4} + 2 n π

0 ≦ θ = - \frac{π}{8} + n π ≦ π

\frac{π}{8} ≦ n π ≦ \frac{9}{8} π

\frac{1}{8} ≦ n ≦ \frac{9}{8}

これに該当する整数値はn=1
n=1のとき，

θ = \frac{7}{8} π

(1)(2)から，

θ = \frac{3}{16} π, \frac{11}{16} π, \frac{7}{8} π

…（答）

【三角方程式の一般解】

(A)　

\tan θ = a

の１つの解をαとするとき，

θ = α + n π

［nは整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

　上記の(A)の公式は，次の(B)の形に書くこともできる．

(B)　

\tan θ = \tan α

のとき，

θ = α + n π

［nは整数］
が成り立つ．

【例題10】

\tan θ = - \frac{1}{\sqrt{3}}

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

\tan \frac{5}{6} π = - \frac{1}{\sqrt{3}}

だから，

α = \frac{5}{6} π

は１つの解となる．

θ = \frac{5}{6} π + n π

［nは整数］…（答）

【例題11】

0 ≦ θ ≦ π

のとき，

\tan 2 θ = \tan (θ + \frac{π}{6})

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

nは整数として

2 θ = θ + \frac{π}{6} + n π

より

0 ≦ θ = \frac{π}{6} + n π ≦ π

- \frac{π}{6} ≦ n π ≦ \frac{5}{6} π

- \frac{1}{6} ≦ n ≦ \frac{5}{6}

これに該当する整数値はn=0
n=0のとき，

θ = \frac{π}{6}

…（答）

【例題12】

　0≦θ≦πのとき，

\tan (θ + \frac{π}{6}) = \frac{1}{\tan 2 θ}

を満たすθの値を求めてください．

(解答）

\tan (θ + \frac{π}{6}) = \tan (\frac{π}{2} - 2 θ)

と変形する．

\tan

にそろえる方法はいろいろあるが，一番簡単なものを使ったということ

nは整数として

θ + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} - 2 θ + n π

より

3 θ = \frac{π}{3} + n π

0 ≦ θ = \frac{π}{9} + \frac{n}{3} π ≦ π

- \frac{π}{9} ≦ \frac{n}{3} π ≦ \frac{8}{9} π

- \frac{1}{9} ≦ \frac{n}{3} ≦ \frac{8}{9}

- \frac{1}{3} ≦ n ≦ \frac{8}{3}

これに該当する整数値はn=0, 1, 2
n=0のとき，

θ = \frac{π}{9}

n=1のとき，

θ = \frac{4 π}{9}

n=2のとき，

θ = \frac{7 π}{9}

θ = \frac{π}{9}, \frac{4}{9} π, \frac{7}{9} π

…（答）

○==メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります