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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「三角関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓正の角・負の角
↓一般角
↓三角関数の定義
↓第２象限の角
↓第３象限の角
↓第４象限の角
↓三角関数の性質（まとめ）
↓弧度法の単位ラジアン
↓弧度法：三角関数の値
↓sin(θ+π)など
↓y=sin(θ−α)のグラフ
↓y=a sin b(x−p)+q のグラフ
↓y=a cos b(x−p)+q のグラフ
↓振幅とグラフ
↓周期とグラフ
↓三角方程式
↓三角不等式
↓同(2)
↓加法定理,倍角(３倍角)公式,半角公式
↓加法定理（練習問題）
↓同(2)
↓同(3)数値計算
↓倍角・半角公式（練習問題）
↓積和・和積の公式
↓同(2)
↓同(3)
↓三角関数の合成公式
↓三角関数の公式一覧
↓三角関数の公式プラス
↓三角形の証明・形状問題
センター試験 三角関数(2015～)

【三角方程式とは】
• $\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$や$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$のように角度が未知数になっている方程式を三角方程式という．
• 三角方程式は，次の例題のように単位円を利用して解くと分かりやすい．

【例題1】
　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすθの値を求めてください．

サインはｙ

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{y}{r}}$だから，単位円（半径rが1の円）を描くと，$\sin \theta =y$になる
⇒「サインはｙ」と覚えておく

＃超初心者のビックリ答案＃
　何十年も高校で教えていると，ビックリ答案に出会うことがある．馬鹿にしているのでなく，危険な落とし穴として注意しておこう！
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$から$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2\sin }}$と答えた生徒がいた．
$\sin \theta$は$\sin$と$\theta$のかけ算ではないのだ！$\sin$などというものはないのだ．

＃この問題はなぜ解けるのか＃
　本当のことを言えば，この問題が解けるのは， $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$と$\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$という答えを覚えているから解けるのです．もっとはっきり言えば，「筆算で解ける」のは，次の表に出てくる$\theta ,y$の組み合わせだけです．

θ	0	${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$	${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$	${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$	${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$	${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$	π
y	0	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	1	${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0

　この表にない値，例えば$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{3}{4}},\cdots$のどれも「筆算では」解けません．解けるのは，この表にある$\sin \theta =0,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},1$の場合だけです．
　中学校で習う1次方程式の解き方$3x=2\to x={\displaystyle \frac{2}{3}}$など違って，$\sin \theta =a(0\leqq a\leqq 1)$を「数式変形で」解く方法はありません．$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のような問題は「教科書の巻末に付いている三角関数表を見て」解くのです．

θ	…	19°	20°	21°	…
正弦	…	0.3256	0.3420	0.3584	…

θ=約19°
　これに対して，定期試験や入学試験などで三角関数表が付いていない場合には，上に述べた表に出てくる問題しか出ないことになります（符号が逆のものは出ます）．

【例題2】
　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$を満たすθの値を求めてください．

コサインはｘ

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{x}{r}}$だから，単位円（半径rが1の円）を描くと，$\cos \theta =x$になる
⇒「コサインはｘ」と覚えておく

【例題3】
　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\tan \theta =1$を満たすθの値を求めてください．

タンジェントはｙ/ｘ

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{y}{x}}$だから，単位円（半径rが1の円）を描くと，$\tan \theta$=(縦)÷(横)の比率になる
⇒「タンジェントはｙ/ｘの比率」

(A)　$\sin \theta =a$の１つの解をαとするとき，
θ=α+2nπ…(1)
θ=(π−α)+2nπ…(2)
［nは整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

　この形で一般解として覚えてもよいが，次のようにまとめる方法も使われる．
(1)はnが偶数のときはnπにαを加えることを表しており，
(2)はθ=(2n+ 1)π−αと書けるから，nが奇数のときはnπからαを引くものと解釈することができる．
　そこで，これら２つの式を
$\theta =(-1{)}^n\times \alpha +n\pi$［nは整数］
とまとめることができる．

(B)　$\sin \theta =\sin \alpha$のとき，
θ=α+2nπ…(1)
θ=(π−α)+2nπ…(2)
［nは整数］
が成り立つ．

【例題4】
　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たすθの値を求めてください．

【例題5】…たぶん，高校生の正答率は1割以下．難しい
　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\sin 2\theta$を満たすθの値を求めてください．

気長に，nの値の範囲を求めているだけだが，生徒には難しいらしい

【例題6】…もう高校生2年生ではほとんど解けないかも
　0≦θ≦πのとき，$\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\cos 2\theta$を満たすθの値を求めてください．

なぜ，そのような変形をするのか？それは，加法定理などの変形方法をまだ習っていない段階では，$\sin \theta =\cos \alpha$の形からでは解き方の手がかりがなく，$\sin \theta =\sin \alpha$の形からなら解き方が分かるから，$\sin$にそろえたということ．
　特に，$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$を使わなければならない訳ではなく，$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\theta ),-\sin ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-\theta ),-\sin (3{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\theta )$でもよいが，一番簡単なものを使ったということ

(A)　$\cos \theta =a$の１つの解をαとするとき，
θ=±α+2nπ［nは整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

(B)　$\cos \theta =\cos \alpha$のとき，
θ=±α+2nπ［nは整数］
が成り立つ．

【例題7】
　$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすθの値を求めてください．

【例題8】
　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\cos 2\theta$を満たすθの値を求めてください．

【例題9】
　0≦θ≦πのとき，$\cos (3\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\sin \theta$を満たすθの値を求めてください．

正弦にそろえてもできる

(A)　$\tan \theta =a$の１つの解をαとするとき，
$\theta =\alpha +n\pi$［nは整数］
の形に書ける角度はすべて解になる．

(B)　$\tan \theta =\tan \alpha$のとき，
$\theta =\alpha +n\pi$［nは整数］
が成り立つ．

【例題10】
　$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$を満たすθの値を求めてください．

【例題11】
　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\tan 2\theta =\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$を満たすθの値を求めてください．

【例題12】
　0≦θ≦πのとき，$\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})={\displaystyle \frac{1}{\tan 2\theta }}$を満たすθの値を求めてください．

$\tan$にそろえる方法はいろいろあるが，一番簡単なものを使ったということ