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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Bの「数学的帰納法と漸化式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓帰納法とは（読み物）-現在地
↓数学的帰納法（等式）
↓整数の累乗(入試問題)
↓数学的帰納法（不等式）
↓数学的帰納法（問題一覧）
↓漸化式と一般項（階差形）
↓同（等比形）
三項間漸化式の一般項

［要点］
　帰納法とは広く用いられている推論方法の一種で，特別な場合から一般の場合について推理するもので「その結果は，正しいことも間違っていることもある．」
　これとは異なり，数学的帰納法による証明方法は常に正しい．

(1)　「○○県を旅行したとき，どの店でも親切にしてもらえた」ことから「○○県の人は親切だ」という結論を出す場合

(2)　「今日まで見たカラスは全部黒かった」ことから「すべてのカラスは黒い」という結論を出す場合

(3)　「晴れの日が3日続いた」ことから「これからも毎日晴れの日が続くだろう」と言う結論を出す場合

(4)　日本国憲法では「すべて国民は，個人として尊重される」と定められていることから「あなたも個人として尊重される」という結論を出す場合

(5)　「すべての正の整数は0よりも大きい」ことから「3は0よりも大きい」という結論を出す場合

［要点］
　数学的帰納法が分かるには，重要なポイントが２つある．
　数学的帰納法のイメージをつかむには「将棋倒しの論理」が分かりやすい．
　実際の証明を行うには「仮定と結論 」の推論の仕方に慣れる必要がある．

すべての自然数 n について
　1+3+5+ … +(2n - 1)=n2 …(1)
が成り立つことを証明したい．

　n=1 のとき 1=n2 が成り立つ
　n=2 のとき 1+3=22 が成り立つ
　n=3 のとき 1+3+5=32 が成り立つ
よって，どんな n についても 1+3+5+ … +(2n - 1)=n2 が成り立つ
　この証明では 3 までしか調べていない．n=4 , 5 , 6 , … の場合について何も証明されていないことが分かる．
　そこで，まじめな生徒なら 100 まで調べるかもしれないが，それでも 101 以上は根拠のない作り話になってしまう．仮に，10000まで，100000まで調べても「整数は無限にあり，全部を調べることはできない」ので，この方法では結局証明はできない．広く用いられている帰納法，あるいはここで失敗した方法は「単純な数え上げ」の方法をとっていることに特徴があり，整数が無限にあるのに１つずつ調べていく方法にそもそも無理がある．

ドミノ倒し（将棋倒し）

(II)　どの駒も「前の駒が倒れたら，自分も倒れる」ようにしておく．
(I)　１番の駒は実際に手で倒す．

以上の方法により「すべての駒が倒れる」．
（１つずつ手で倒しているのではないことに注意）

列車の行き先

(II)　鉄道の列車は車両と次の車両とがしっかりつながれているので「ある車両が大阪に着けば，次の車両も大阪に着く」と言える．
(I)　先頭の車両を実際に大阪駅まで到着させる．

この場合「すべての車両は大阪駅に到着する」と言える．

すべての自然数 n について
　1+3+5+ … +(2n - 1)=n2 …(1)
が成り立つことを証明したい．

---

■正しい答案■
(I)　n=1 のとき，左辺=1，右辺=12=1
だから，(1)は成り立つ．

(II)　n=k のとき，(1)が成り立つと仮定すると
1+3+5+ … +(2k - 1)=k2 …(2)
(2)の両辺に 2k+1 を足すと
1+3+5+ … +(2k - 1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2 …(3)
(3)はn=k+1 のときも成立することを示している．

(I)(II)より，すべての自然数 n について(1)が成り立つ．

イラストによる解説　･･･　（II）「前の電球が点灯すると，台車が動いて次の電球も点灯するようになっている」イルミネーションがあるとする．このとき，（I）「先頭の電球を点灯する」と全部の電球がつく

　図において
（Ｉ）で初めの電球だけは実際に点灯させなければならない． （II）で k の値は「変数」になっていて，
____k=1 のときは k+1=2
____k=2 のときは k+1=3
____k=3 のときは k+1=4
･･･のように順に変化してすべての正の整数を表わせることが重要

n が4以上の正の整数のとき，凸 n 角形の対角線の総数は

　.n(n−3)2nnnnnn …(1)

に等しいことを数学的帰納法で証明したい．

---

(I)　n=4のとき，４角形の対角線は2本で，.4(4−3)2nnnnnn=2 だから(1)は成り立つ．

(II)　n=k (k≧4) のとき，(1)が成り立つと仮定すると n=k+1 のとき，図のように対角線が 1+(k−2)=k−1 本増えるから

.k(k−3)2nnnnnn+k−1=.k(k−3)+2(k−1)2nnnnnnnnnnnnn

=.k2−k−22nnnnnn=.(k+1)(k−2)2nnnnnnnnnn=.(k+1){(k+1)−3}2nnnnnnnnnnnnnn

これは n=k+1 のときも成立することを示している．
(I)(II)より，4以上のすべての自然数 n について(1)が成り立つ．

【ⅠとⅡの関係】
　通常の場合，数学の答案を分けて書くときは，「もれなく」「重複なく」分類します．
　例えば ア）x<0のとき，… イ）x≧0のとき，…
　例えば (1) nが奇数のとき，… (2) nが偶数のとき，…
などと書き，これらの分類に「重複がある」ような答案は稚拙であって，めったに使いません．
　しかし，数学的帰納法の答案の（Ⅰ）（Ⅱ）の関係は，このような通常の数学の答案とは違います．
　ある関係式が「すべての自然数について成立する」ことを証明する場合 　この分類において(Ⅱ)のkの値は(Ⅰ)のn=1も含んでいなければなりません．
　たとえで言えば，(Ⅱ)でつながっている爆竹の端の値となっている(Ⅰ)に火をつけたら，次々と爆竹が発火していく仕組みなので，(Ⅱ)の値の中に(Ⅰ)の値が含まれていなければ，連鎖反応は起こりません．
　凸ｎ角形の対角線について証明した例で，「４以上のすべての自然数について成立する」ことを証明する場合 のように，(Ⅱ)の端の値が(Ⅰ)になっているからこそ，「将棋倒しの仕組み」としての「数学的帰納法」の証明において端のスイッチが押せることになります．
　このように，数学的帰納法の証明では(Ⅰ)(Ⅱ)は重複のない分類ではなくて，(Ⅰ)は(Ⅱ)の端の値になっています．

非常に詳しく書かれていてすごいテキストだと感じました。 質問ですが、例1において 【※ n=1 のとき，左辺は 1+3+5+ … +1 にはならない．この式は 1 から順に 2n - 1 まで足すことを分かりやすく初めの２，３項を例として示したものなので， n=1 のときは +3+5 は付かない．（当然!!）】 とあり、言いたいことはわかりますが、もやもやします。 列挙の形で記述するときは右側の項2n-1＝f(n)のnが左側の項5＝f(3)の3以上である、という「列挙の基本」(列挙の原理？)があると習いました。 例えば、階差数列の一般項を求めるとき∑(k:1～n-1)b(k)でシグマ部分に列挙の原理が成り立つからn＝1のときは分けて考えるという習い方をしたので 列挙やシグマをみるとこの原理には注意するようにしています。 例題では、実際解くときは揚げ足とりっぽいので自分でもそんなことはしないと思いますが、 i)でn＝1,2,3まで示して ii)でn＝k(k≧3)のとき としないと気持ち悪いです。 入試問題でも同じような書き方を見たことがありますが、(「a1a2+a2a3+……ana(n+1)＝」のような問題) 厳密な書き方とかにあまりこだわらないほうが精神衛生上良いでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どこの教科書でも，このような場合は書いている人も読んでいる人も，表されている内容が分かっているものとして記述しています．だから，「ii)でn＝k(k≧4)のとき」などと分ける必要はありません．私の教材で（当然!!）という注意書きを書いたのは，式や図が表している「内容」を思い浮かべることができずに，式や図「そのもの」の外形的特徴にこだわっていく傾向の生徒が実際にいるからそのように書いたまでです．
普通の答案に対して，重箱の隅をつつくような大学なら，こちらからお断りした方が無難かも

数学的帰納法の証明２で、私なりに解釈した次のような解答した場合、数学的帰納法の証明方法として妥当でしょうか？　ご教示ください。 【解答】 1)4角形の場合において、対角線の数は２であり、与式(１)の性質をみたす。 　2=4(4-3)/2 2)一般的にK角形においても与式(１)が成り立つと仮定した上で、 　すなわち　k角形の対角線の数＝k(k-3)/2とした上で、 　k+1角形に対角線の増加規則＝「(k-2)+1」（初項のk-2は頂点に隣り合う頂点間では対角線が引けいないことを、第2項の+1は頂点が一つ増えることによってそれまで辺であったものが新たに対角線へと変わることを表す）を適用すると、 　k+1角形の対角線の数＝仮定＋増加規則 　　　　　　　　　　 ＝(k(k-3)/2)+(k-2)+1 　これを整理すると ＝(k(k-3))+2(k-1)/2 　　　　　　　　　　 ＝(K^2-k-2)/2 ＝(k+1)(k-2)/2 　　　　　　　　　　 ＝(k+1)((K+1)-3)/2 となり、n=k+1の場合においても与式(1)の性質をみたす。 よって、1)2)により、n=4以上の全てのn角形において対角線の数は与式(1)の性質を常にみたす。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．それでよいのですが，教材に書いてある解答とほぼ同じに見えますが･･･

［数学的帰納法による証明の例2］の解説で 図のように対角線が 1+(k－2)=k－1 本増えるからの、 「1+(k－2)」の部分がよくわかりません。 例えば、四角形　五角形、六角形、七角形の対角線の数を、2,5,9,14の数列とみなしてその等差が3,4,5と一ずつ増えているので、これをK角形のkとの関係から「k-1」という上記解説の右辺は、凸n角形の対角線の数で保存される規則というのはわかるのですが、左辺の1+(k－2)という式は、どのような性質を言い表したものなのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．図に青線で示していますように，第k+1番の頂点から2,3,4,...,k−1までのk−2本の対角線が新たに増える他に，k角形のときは対角線でなく辺であった1番-k番の線が新たに対角線に入るから1+(k−2)です．

数学的帰納法による証明の例2で⑴でn＝4が成り立つことを証明したのに⑵でn＝k（k≧4）と4を含む仮定をしたのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．注意深く読んでおられるのは伝わってきますが，数学的帰納法の原理について完全には理解してもらえなかったようです．
２段階の証明：（Ⅰ）n=4のとき･･･　（Ⅱ）n≧4のとき･･･
の記述において，（Ⅱ）が（Ⅰ）の範囲を含んでいなければ，将棋倒しの論理が働かないのです．
（Ⅰ）n=4のとき･･･　（Ⅱ）n≧5のとき･･･となっていれば，（Ⅰ）によりn=4のとき成立することはいえますが，（Ⅱ）でn≧5のとき･･･の証明にしてしまうと，n=5のとき成り立つことは示されず仮定されただけになります．だからn=5,6,7,...のときはすべて砂上の楼閣になります．
実は，例１でも（Ⅱ）はn≧1のときですが，すべての自然数について述べているのだから，n≧1は当然のことだから省略されています．
【この頁】の例題はすべて（Ⅱ）の段階で上記の点に注意して書かなければなりません．

私が高校生のときは、 数学的帰納法は、例1のほうですが、 『⑵の両辺に』は、習った覚えがないので 絶対的に、必要ではないと思うのですが、 私の思い込みかもしれません。すみません。 年老ると、忘れてしまいますよね。 よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．どういう話なのかよく分かりません．

内容としては非常にわかりやすく、テスト前はいつも参考にさせていただいているのですが、左から右に読むレイアウトがみづらいので改善していただけるとありがたいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．各々の頁で「携帯版」を選んでいただくと縦１列のレイアウトになった教材を見られます．