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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「三角関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
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↓第２象限の角
↓第３象限の角
↓第４象限の角
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↓弧度法：三角関数の値
↓sin(θ+π)など
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↓y=a sin b(x−p)+q のグラフ
↓y=a cos b(x−p)+q のグラフ
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センター試験 三角関数(2015～)

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【三角関数の合成公式】
　a sinθ+b cosθの形の式は一つの三角関数にまとめることができます．これを三角関数の合成公式といいます．
（ただし，αはcosα=.a.√a2+b2√nnnnninnnnnn, sinα=.b.√a2+b2√nnnnninnnnnnとなる角）

a=.12n=cos60°, b=..√3√ni2nnn=sin60°

.12n sinθ+..√3√ni2nnn cosθ=sinθ cos60°+cosθ sin60°

=sin(θ+60°)

a sinθ+b cosθ

=.√a2+b2√nnnnnisinθ.a.√a2+b2√nnnnninnnnnn+.√a2+b2√nnnnnicosθ.b.√a2+b2√nnnnninnnnnn

=.√a2+b2√nnnnni (sinθ.a.√a2+b2√nnnnninnnnnn +cosθ.b.√a2+b2√nnnnninnnnnn )

.√a2+b2√nnnnni (sinθ.a.√a2+b2√nnnnninnnnnn +cosθ.b.√a2+b2√nnnnninnnnnn )
=.√a2+b2√nnnnni (sinθcosα+cosθsinα )
=.√a2+b2√nnnnni sin(θ+α)

○ a sinθ−b cosθ (a,b>0)を
.√a2+b2√nnnnni(sinθ·cosα+cosθ·sinα)
=.√a2+b2√nnnnnisin(θ+α)
cosα=.a.√a2+b2√nnnnninnnnnn
sinα=.−b.√a2+b2√nnnnninnnnnn
の式を使って合成するときは，右図のような第４象限の角αを考えていることになります．

○ a sinθ−b cosθ (a,b>0)を
.√a2+b2√nnnnni(sinθ·cosα−cosθ·sinα)
=.√a2+b2√nnnnnisin(θ−α)
cosα=.a.√a2+b2√nnnnninnnnnn
sinα=.b.√a2+b2√nnnnninnnnnn
の式を使って合成するときは，右図のような第１象限の角αを考えていることになります．

○関数が同じ，角度が違う⇒公式あり
○関数が違う，角度が同じ⇒公式あり
×関数も角度も違う⇒公式なし

sinA±sinB，cosA±cosB
⇒和積の公式

asinθ+bcosθ
⇒合成公式

sinA+cosB
⇒対応する公式はない

asinA±bsinB，acosA±bcosB
⇒対応する公式はない

【例題１】
　次の三角関数を合成してください．
sinθ+.√3√nicosθ

　理論上は，余弦の加法定理
cosθcosα+sinθsinα=cos(θ−α)
cosθcosα−sinθsinα=cos(θ+α)
を使って，次のように変形することもできますが，一つできれば十分なので，余弦を使った合成の方はあまり見かけません．
sinθ+.√3√nicosθ
=.√3√nicosθ+sinθ
=2(cosθ..√3√ni2nnn+sinθ.12n)
=2(cosθcos30°+sinθsin30°)
=2cos(θ−30°)

○ −a sinθ+b cosθ (a,b>0)を
.√a2+b2√nnnnni(sinθ·cosα+cosθ·sinα)
=.√a2+b2√nnnnnisin(θ+α)
cosα=.−a.√a2+b2√nnnnninnnnnn
sinα=.b.√a2+b2√nnnnninnnnnn
の式を使って合成するときは，右図のような第２象限の角αを考えていることになります．

○ −a sinθ+b cosθ (a,b>0)を
−.√a2+b2√nnnnni(sinθ·cosα−cosθ·sinα)
=−.√a2+b2√nnnnnisin(θ−α)
振幅を正の値にする必要があるときは
.√a2+b2√nnnnnisin(α−θ)
cosα=.a.√a2+b2√nnnnninnnnnn
sinα=.b.√a2+b2√nnnnninnnnnn
の式を使って合成するときは，右図のような第１象限の角αを考えていることになります．

【例題２】
　次の三角関数を合成してください．
3sinθ+4cosθ

※このように，角度αを具体的な数値としてでなく，cosα, sinαの値で表す方法も可能です．

【例題３】
　次の三角関数を合成してください．
2sinθ−cosθ

この問題では，.√5√nisin(θ−β)の式を使って合成しましたが，.√5√nisin(θ+β)の式を使って合成するときは，
cosβ=.2.√5√ninnn, sinβ=−.1.√5√ninnnとなる角β（第４象限の角）
を用いて，.√5√nisin(θ+β)と表してもよい．

【問題１】
　次の三角関数を合成してください．
sinθ+cosθ

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
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sinα=?解答

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
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すなわちα=?解答

とおくと，sinθ+cosθ=.√2√ni(sinθ·cos45°+cosθ·sin45°)となるから
.√2√nisin(θ+45°)

$\alpha ={45}^{\circ }$
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【問題２】
　次の三角関数を合成してください．
3sinθ+2cosθ

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}}$
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sinα=?解答

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}}$
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このとき3sinθ+2cosθ=?解答

$\sqrt{13}\sin (\theta +\alpha )$
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【問題３】
　次の三角関数を合成してください．
3sinθ−4cosθ

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$
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sinα=?解答

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}$
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このとき3sinθ−4cosθ=?解答

$5\sin (\theta -\alpha )$
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【例題４】
　 0°≦θ<360°のときy=sinθ+.√3√nicosθの最大値，最小値及びそのときのθの値を求めてください．

−1≦sin(θ+60°)≦1
−2≦2sin(θ+60°)≦2

○ヘッドホン=耳あての図がお薦め
○定義域（θ+α°の取り得る値の範囲）に注意すること
0°≦θ<360°のときα≦θ+α°<360°+α

【問題４】
0°≦θ<360°のときy=sinθ−cosθの最大値，最小値及びそのときのθの値を求めてください．

$0^{\circ }\leqq \theta <{360}^{\circ }$
の各辺から45°を引くと
$-{45}^{\circ }\leqq \theta -{45}^{\circ }<{315}^{\circ }$
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θ−45°=90°すなわちθ=135°のとき 最大値?解答

は$\theta -{45}^{\circ }={90}^{\circ }$のとき最大値$\sqrt{2}$をとる
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θ−45°=270°すなわちθ=315°のとき最小値?解答

$y=\sqrt{2}\sin (\theta -{45}^{\circ })$
は$\theta -{45}^{\circ }={270}^{\circ }$のとき最小値$-\sqrt{2}$をとる
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【問題５】
0°≦θ<360°のときy=.√3√nisinθ+cosθの最大値，最小値及びそのときのθの値を求めてください．

$0^{\circ }\leqq \theta <{360}^{\circ }$
の各辺の30°を加えると
${30}^{\circ }\leqq \theta +{30}^{\circ }<{390}^{\circ }$
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θ+30°=90°すなわちθ=60°のとき 最大値?解答

$y=2\sin (\theta +{30}^{\circ })$
は$\theta +{30}^{\circ }={90}^{\circ }$のとき最大値2をとる
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θ+30°=270°すなわちθ=240°のとき最小値?解答

$y=2\sin (\theta +{30}^{\circ })$
は$\theta +{30}^{\circ }={270}^{\circ }$のとき最小値−2をとる
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【問題６】
0°≦θ<360°のときy=4sinθ−3cosθの最大値，最小値を求めてください．

5
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θ−α=270°すなわちθ=270°+αのとき 最小値?
解答

（このような問題では角αが0°<α<90°に存在することが言えればよく，その詳細な数値まで必要とはされない．）

−5
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はじめの方の解説や問題はすごく良かったのですが、問題の解説がなくて、分からなかった時に困ってしまいました…。自力で、サイトの最初の方から読み直して解決したのですが、問題の解説はやはりあった方が良いと思われます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「最初の方から読み直して解決」するように意図したものです．読み直したときにあいまいな知識がはっきりしてくるので，それが身に付く読み方です．･･･一般に直線的に読み進むのでなく，行ったり来たりしながら読む方が身に付くと言えます．

わかりやすかったです！ 最後にテスト形式でチェックできるのは助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

角度はラジアン(π)を使って表して欲しい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．角度の単位をラジアンにしなければならないのは，三角関数の微積分を行うときです．それ以外では両方とも使います．