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センター試験 三角関数(2015～)

== y=sin(θ−α）のグラフ ==
■基本の形
　y=sinθのグラフを描くには、次のような対応表（θの値とyの値を表にしたもの）を作り、求めた座標（θ , y）を結んでいく。
◇対応表◇
θ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° …
y=sinθ 0 .12n .1.√2√ninn ..√3√ni2nn 1 ..√3√ni2nn .1.√2√ninn .12n …

　このy=sinθのグラフは、以下の解説を通じて何度も登場する［基本の形］なので、しっかりとイメージに刻んでおくことが重要。
　特に、次の点は確実に言えなくてはならない。
（1）sin0°=0　だから　θ=0°のときy=0
（2）sin90°=1　だから　θ=90°のときy=1
（3）sin180°=0　だから　θ=180°のときy=0
（4）sin270°=−1　だから　θ=270°のときy=−1
（5）sin360°=0　だから　θ=360°のときy=0
◇グラフ◇

■y=sin(θ−α）のグラフ【要点】
【　これが重要　】
○　y=sin(θ−α)のグラフは、y=sinθのグラフを
　左に（x軸の負の向きに）αだけ移動したものではなく、
　右に（x軸の正の向きに）αだけ移動したものになる。

○　y=sin(θ+α)のグラフは、y=sinθのグラフを
　右に（x軸の正の向きに）αだけ移動したものではなく、
　左に（x軸の負の向きに）αだけ移動したものになる。

θ−30°なのになぜ右に動くのか
θ+30°なのになぜ左に動くのか

⇒　これさえ分かればよい

≪解説１≫
○　y=sin(θ−30°)のグラフを描くために、
θ　→　θ−30°　→　y=sin(θ−30°)
の値を順に求めると、次の表のようになる。
◇y=sin(θ−30°)の対応表◇
θ 0° 30° 60° 90° 120° 150° …
θ−30° −30° 0° 30° 60° 90° 120° …
y=sin(θ−30°) − .12n 0 .12n ..√3√ni2nn 1 ..√3√ni2nn …

　θの値よりも、θ−30°の値は30°だけ「遅れる」。
　これをグラフで表すと、右に30°だけ移動させたものになる。
　例えば、θ=30°のとき、θ−30°=0°だから、
sin(θ−30°)=0となって、移動する前の0°のときの値になっている。
　同様に、θ=60°のとき、θ−30°=30°だから、
sin(θ−30°)=.12nとなって、移動する前の30°のときの値になっている。
　同様に、θ=90°のとき、θ−30°=60°だから、
sin(θ−30°)=..√3√ni2nnとなって、移動する前の60°のときの値になっている。
y=sin(θ−30°）のグラフ
○　y=sin(θ+30°)のグラフを描くために、
θ　→　θ+30°　→　y=sin(θ+30°)
の値を順に求めると、次の表のようになる。

◇y=sin(θ+30°)の対応表◇
θ 0° 30° 60° 90° 120° 150° …
θ+30° 30° 60° 90° 120° 150° 180° …
y=sin(θ+30°) .12n ..√3√ni2nn 1 ..√3√ni2nn .12n 0 …

　θの値よりも、θ+30°の値は30°だけ「進む」。
　これをグラフで表すと、左に30°だけ移動させたものになる。
　例えば、θ=0°のとき、θ+30°=30°だから、
sin(θ+30°)=.12nとなって、移動する前の30°のときの値になっている。
　同様に、θ=30°のとき、θ+30°=60°だから、
sin(θ+30°)=..√3√ni2nnとなって、移動する前の60°のときの値になっている。
　同様に、θ=60°のとき、θ+30°=90°だから、
sin(θ+30°)=1となって、移動する前の90°のときの値になっている。
y=sin(θ+30°）のグラフ

≪解説２≫ …（やや難しいが、グラフの平行移動はすべてこれで説明できる）
【グラフの平行移動の公式】
　y=f(x)のグラフをx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにqだけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=f(x−p)+q
（証明）
　次図１のように元のy=f(x)上の点を(X,Y)、新しいグラフ上の点の座標を(x,y)とおくとき、xとyの関係式を求めるとよい。
　元の点(X,Y)はy=f(x)のグラフ上にあるから
Y=f(X) …(1)　：　元の関係式
を満たす。
　新しい点(x,y)は元の点(X,Y)をx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにqだけ平行移動したものだから
x=X+p …(2)　：　新旧x座標の関係
y=Y+q …(3)　：　新旧y座標の関係
が成り立つ。
　(2)(3)では新座標が旧座標で表されているが、ここでは旧座標を消去して新座標の関係式を作りたいのだから、旧座標を新座標で表す式に直しておく。
X=x−p …(2’)　：　旧新x座標の関係
Y=y−q …(3’)　：　旧新y座標の関係
(2’)(3’)を(1)に代入して旧座標(X,Y)を消去すると
y−q=f(x−p) …(4)
通常、関係式はy=…の形で書くことが多いので、その習慣に従ってqを移項しておくと
y=f(x−p)+q …(5)　：　新しい関係式
■証明終り■
図１

　上の証明において、x軸の正の向きにp、y軸の正の向きにqだけ平行移動しているのに、 xだけx−pとなって、yは+qとなっているのは「ズルイ」「不公平だ」と思う人は、よく見直してほしい。

　実際には、(5)式は(4)式と同じ式で、(4)を(5)に書き換えたのは「習慣に従った」だけなので、(4)が新しいグラフの方程式だといってもよい。
(4)ではxもyも正の向きに平行移動するときに、いずれもx−p、y−qとなって引き算になることが分かる。
　なぜ、足し算ではなくて引き算になるのかのカラクリは、(2)(3)を(2’)(3’)に書きなおしたところにある。

　よく見ると次の関係式は、単に元の関係式が書いてあるだけだということが分かる。

Y y−q=f(X x−p)

　このように新しい関係式は、新座標からx軸の負の向きにp、y軸の負の向きにqだけ戻った点が、元のグラフ上にあるということを表している。
　これは、平行移動の仕方から考えて「正しい・当然のこと」を表している。

【例１】
　直線y=xのグラフをx軸の正の向きに1、y軸の正の向きに2だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=(x−1)+2 ⇔ y=x+1
　公式にはf(x)のfがあったのに、この例題にはfがないじゃないか？fはどこに行ったのか？と突っ込みを入れたい人へ
　⇒　f(x)は式に付けた名前で、具体的な問題ではy=2x、y=3x2、y=sin xのように具体的な形の関数を扱う。以下の例はすべて具体的な関数を扱っているので、f(x)という名前は登場しない。
【例２】
　放物線y=2x2のグラフをx軸の正の向きに3、y軸の正の向きに4だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y−4=2(x−3)2 ⇔ y=2(x−3)2+4

※　この内容は２次関数の頂点の座標を求めるときに登場する。
【例３】
　双曲線y=.2xnのグラフをx軸の正の向きに−3、y軸の正の向きに4だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=.2x+3nnn+4

※　x軸の正の向きに−3だけ平行移動しているからx+3という式になる。y軸の正の向きに4だけ平行移動しているから、+4が付く。
【例４】
　y=sinθのグラフをθ軸の正の向きに30°、y軸の正の向きに1だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=sin(θ−30°)+1

【例５】
　y=cosθのグラフをθ軸の正の向きに−60°だけ平行移動してできるグラフの方程式は
y=cos(θ+60°)
※　θ軸の正の向きに−60°だけ平行移動するからθの代わりにθ+60°を代入した式になる。この問題ではy軸方向には移動していないから、yは変えない。
【例６】
y=sin(2θ−60°)のグラフを描くときは、θの代わりに何が代入されているかを考えるために
y=sin2(θ−30°)
と変形する。
　このように変形すると、y=sin(2θ−60°)のグラフはy=sin2θのグラフをθの正の向きに30°だけ平行移動したものであることが分かる。
【例７】
y=cos(3θ+180°)は
y=cos3(θ+60°)と変形できるから
y=cos3θのグラフをθの正の向きに−60°だけ平行移動したものである。

【例題１】
　y=sin(2θ+90°)のグラフはy=sin2θのグラフをどのように平行移動したものか．
（解答）
　y=sin2(θ+45°)と変形する．
θ軸の正の向きに−45°だけ平行移動したもの…（答）
（左に45°平行移動したもの）
※+90°となっているからと言って90°と答えてはいけない．
※変形して+45°となるからと言って+45°と答えてはいけない．
【例題２】
　y=cos(3θ−90°)のグラフはy=cos3θのグラフをどのように平行移動したものか．
（解答）
　y=cos3(θ−30°)と変形する．
θ軸の正の向きに30°だけ平行移動したもの…（答）
（右に30°平行移動したもの）
※−90°となっているからと言って−90°と答えてはいけない．
※変形して−30°となるからと言って−30°と答えてはいけない．
【例題３】
　y=tan(3θ+60°)−2のグラフはy=tan3θのグラフをどのように平行移動したものか．
（解答）
　y=cos3(θ+20°)−2と変形する．
θ軸の正の向きに−20°，y軸の正の向きに−2平行移動したもの…（答）
（左に20°，下に2だけ平行移動したもの）
※y軸方向の移動量はy=f(x−p)+qのqをそのまま読めばよい．

yは何もズルくない!!
→ y−q=f(x−p)の形で考えると
θ軸方向にp，y軸方向にqになりお互い様なのだ


　次の各問題に答えてください．（解答は下の選択肢から正しいものをクリック）
【問題１】
　y=sin(2θ+120°)のグラフはy=sin2θのグラフをどのように平行移動したものか．
【問題２】
　y=sin(3θ−120°)のグラフはy=sin3θのグラフをどのように平行移動したものか．
【問題３】

　y=cos⁡(12θ+60∘)のグラフはy=cos⁡12θのグラフをどのように平行移動したものか．
【問題４】

　y=cos⁡(13θ−60∘)のグラフはy=cos⁡13θのグラフをどのように平行移動したものか．
【問題５】
　y=sin(3θ−90°)−1のグラフはy=sin3θのグラフをどのように平行移動したものか．

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