 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数 指数関数対数関数微分不定積分定積分 高次方程式数列漸化式と数学的帰納法 平面ベクトル空間ベクトル確率分布 ※高校数学Bの「空間ベクトル・空間図形」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓空間座標と空間ベクトル(1) ↓空間座標と空間ベクトル(2) ↓空間における直線の方程式-現在地 ↓空間における平面の方程式 空間における平面と直線の方程式 |
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○ 三次元空間において１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル→u=(a, b, c)に平行な直線の方程式は
 x−x0a=y−y0b=z−z0c …(1)
○ ただし，方向ベクトル→u=(a, b, c)のうち，いずれか１つの成分が0であるとき，例えば，b=0のときは
x−x0a=z−z0c, y=y0 …(1’)
○ 方向ベクトル→u=(a, b, c)のうち，いずれか２つの成分が0であるとき，例えば，b=0, c=0のときはy=y0, z=z0 …(1”)
(1)式において，分子のx,y,zの係数は1として使うようになっています．だから
 2x−13=y2=−z+15
のような方程式は，
x−1232=y2=z−1−5と変形することにより，
点(12, 0, 1)を通り，方向ベクトル→u=(32, 2, −5)に平行
な直線と解釈することになります．方向ベクトルの大きさは自由に指定できるので，→u’=(3, 4, −10)に平行とすることもできます．
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【例１】 点P0(1, −2, 3)を通り，方向ベクトル→u=(4, 5, −6)に平行な直線の方程式は  x−14=y+25=z−3−6
【例２】点P0(2, 4, −3)を通り，方向ベクトル→u=(1, 0, −2)に平行な直線の方程式は x−2= z+3−2 , y=4
【例３】点P0(1, 2, 3)を通り，方向ベクトル→u=(0, 0, 5)に平行な直線の方程式は x=1, y=2 |
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≪解説≫ ○ 点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル→u=(a, b, c)に平行な直線上にある１点をP(x, y, z)とおくとき，その位置ベクトル→p=→OP=(x, y, z)は
→p=→OP0+t→u （tは実数）
で表されます．例えば，t=0のときは，→p=→OP0となって，点P0を表します． 例えば，
t=1のときは，→p=→OP0+→u
となって，各々図に示した点を表します．t=2のときは，→p=→OP0+2→u t=3のときは，→p=→OP0+3→u このようにして，tがすべての実数値をとるとき，→p=→OP0+t→uはこの直線上のすべての点を指します．  を成分に分けると
x−x0a=y−y0b=z−z0c(=t)
となりますが，実数t（媒介変数）は必要なときだけ明示的に書くことにして，普段は書かずにx, y, z座標だけの方程式にすると
x−x0a=y−y0b=z−z0c…(1)
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○ 方向ベクトル→u=(a, b, c)のうち，いずれか１つの成分が0であるとき，例えば，b=0のときは，(1)式で分母が0となって，そのままでは使えません．
x−x0a=z−z0c, y=y0 …(1’)
※ 一般に，三次元空間（自由度３）において，１つの制限（方程式による縛り）を入れると，自由度が1つ減って２次元（平面や曲面）になります．方程式２つなら，自由度が２つ減って１次元（直線や曲線）になります．
(1’)のグラフはy軸に垂直な（y軸を串刺しにしたような）平面y=y0（＝一定）上にあって，x,zの関係が
(1)式は x−x0a=y−y0b, y−y0b=z−z0c
という連立方程式を省略的に表したもので，方程式２つになっています．このように，三次元空間における直線の方程式は，１つの方程式では表せず，「連立方程式」で書くことになります．(1’)は，その連立方程式を分けて書いたものです． x−x0a=z−z0cで表される直線ということになります．
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○ 方向ベクトル→u=(a, b, c)のうち，２つの成分が0であるとき，例えば，b=0, c=0のときも，(1)式で分母が２つ0となって，そのままでは使えません．
このとき，y, zは定数となって，グラフはy軸に垂直な平面とz軸に垂直な平面の両方を満たします（それらの交線上にあります）．x座標は，x=x0+at (a≠0)から，tが実数全体を変化するとき，xは実数全体を変化します．すなわち「xは任意の値をとります」．すなわち，制限がありません．
このような，任意の値をとる変数（制限のないもの）は，方程式（制限の式）としては，何も書きません．例えば，x-y平面上でy軸に垂直な右図の直線の方程式は，単にy=3と書き，xについては何も書きませんが，それはxは任意の値をとる（制限がない）ということです．y=3でありさえすれば，(0,3), (1,3), (2,3), ..などはすべてこの直線上にあります． 同様にして，x-y平面上でx軸に垂直な直線の方程式は，単にx=3と書き，yについては何も書きませんが，それはyは任意の値をとる（制限がない）ということです．x=2でありさえすれば，(2,0), (2,1), (2,2), ..などはすべてこの直線上にあります． |
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※
x−x0a=y−y0b=z−z0cの形の方程式を変形するときの注意点
(1) １つの分数（第1辺，第2辺，第3辺だけ）を約分などで変形するときは，他の分数には影響しません 2x−46=y−y0b=z−z0c→x−23=y−y0b=z−z0c
x−1−2=y−y0b=z−z0c→1−x2=y−y0b=z−z0c
(2) 各辺に同じ数を掛けたり，同じ数で割ったりすることはできます
x−13=y−24=z−35→x−16=y−28=z−310
(3) 方程式の見かけが違っていても，同じ直線を表している場合があります
x−13=y−24=z−35→x−43=y−64=z−85
(1,2,3)を通り，方向ベクトル(3,4,5)に平行な直線は，(1+3,2+4,3+5)を通り，方向ベクトル(3,4,5)に平行な直線と考えることもできます．
(4) ３つの辺から成り立っている方程式では，「移項」という考え方はしない方がよいでしょう．（第3の辺の取り扱いが分かりにくくなります）これは x−13−1=y−24−1=z−35−1→x−43=y−64=z−85
のように，各辺から1だけ引く変形と対応しています．x+a=y+b=z+c → x+a−b=y=z+c ?? 【要約】 ⇒ 「１つの分数の分母と分子で約分する」「３つの辺に同じ数を足す，引く，掛ける，同じ数で割る」などが安全な変形です |
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以下，正しい番号を選択してください．
［問題１］
点(2, 1, −3)を通り，方向ベクトル→u=(3, −2, 1)に平行な直線の方程式を求めてください． 1 x+23=y+12=z−3
2x−23=1−y2=z+333(x+2)=2(y+1)=z+3 43(x−2)=2(y−1)=z−3 解説
通る点の座標が(2, 1, −3)で，方向ベクトルが(3, −2, 1)だから
x−23=y−1−2=z+31
すなわち
x−23=1−y2=z+3
になります．
→2
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［問題２］
点(3, 0, −1)を通り，方向ベクトル→u=(−2, 3, 0)に平行な直線の方程式を求めてください． 1 x−3−2=y3 , z=−1
2x−3−2=z+1 , y=33 x−3−2=y3=z+1
4x+23=y−3=−z
解説
通る点の座標が(3, 0, −1)で，方向ベクトルが(−2, 3, 0)だから
x−3−2=y−03 , z=−1
すなわち
x−3−2=y3 , z=−1
になります．
→1
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［問題３］
点(0, 4, −5)を通り，方向ベクトル(3, 0, 0)に平行な直線の方程式を求めてください． 1 x3=y−4=z+5
2x−3=y4=z−53y=4 , z=−5 4y−4=z+5 解説
(x, y, z)=(0, 4, −5)+t(3, 0, 0) （tは実数）
を成分に分けると
→3
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［問題４］
媒介変数表示
に対応する直線の方程式（x, y, zの関係式）を求めてください． 1 x+pu=y−qv=z+r−w
2x−pu=y+qv=r−zw3 x+up=y+v−q=z−wr
4x−up=y−v−q=z+wr
解説
通る点の座標が(p, −q, r)で，方向ベクトルが(u, v, −w)だから
x−pu=y+qv=z−r−w
すなわち
x−pu=y+qv=r−zw
になります．
→2
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【例題１】
点(4, −2, 0)を通り，直線 x−12=z+33 , y=1に平行な直線の方程式を求めてください．
 （解答）
≪ポイント≫
点(4, −2, 0)を通り，方向ベクトル(2, 0, 3)に平行な直線の方程式を求めればよいから
直線の方程式 x−12=z+33 , y=1
は，方向ベクトルを取り出すためだけに使う！点(1, 1, −3)は関係ない！
x−42=z3 , y=−2
【例題２】
２直線 x−12=y=1−z2
とy=x+2, z=−1
のなす角を求めてください．  （解答）
≪ポイント≫
方向ベクトルは各々→u=(2, 1, −2), ２直線が交わらない場合（空間的に「ねじれの位置」にあるときや「平行」な場合）でも，２つの方向ベクトルのなす角を２直線のなす角という →v=(1, 1, 0)だから
|→u|=
→u·→v=|→u|·|→v|cosθ√22+12+(−2)2=3|→v|= √12+12+02=√2→u·→v=2+1+0=3 から cosθ= 33√2=1√2θ= π4
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以下，正しい番号を選択してください．
［問題５］
直線 x+12=y−23=z−1に平行で，点(0, −1, 3)を通る直線の方程式を求めてください． 1 x−2−1=y−32=z+10
2x2=y+13=z−3−13y+1= z3 , x=0
4y+1=z−3−1 , x=−1
解説
点(0, −1, 3)を通り，方向ベクトル(2, 3, −1)に平行な直線の方程式を求めればよいから
x2=y+13=z−3−1
→2
(1)は
x+1√2√2=y−123=z+131
と変形すると，方向ベクトル→u=(√2, 3, 1)(2)は方向ベクトル→v=(0, −4, −3) だから
|→u|=
cosθ=√12=2√3|→v|=5 →u·→v=−15 −1510√3=−√32θ= 5π6
→4
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○ 三次元空間において２点P0(x0 , y0 , z0 ) , P1(x1 , y1 , z1 )を通る直線の方程式は
≪解説≫x−x0x1−x0=y−y0y1−y0=z−z0z1−z0
「x,y,zがいろいろあって，混乱する～」などと，初歩的な弱音を吐いていてはだめです．実際には，変数は赤で示した３個だけで，他のものは単なる係数です．
２点P0(x0 , y0 , z0 ) , P1(x1 , y1 , z1 )を通るということから，１点P0(x0 , y0 , z0 )を通り，方向ベクトル→u=(x0−x1 , y0−y1 , z0−z1 )に平行な直線と読み替えると,この公式になります．なお，方向ベクトルのうち１つまたは２つの成分が0になるときの取り扱いは，上で述べたことと同様です． |
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【例題３】
（解答）２点P0(3, 4, −2) , P1(3, 6, 1)を通る直線の方程式を求めてください． 方向ベクトルは→P0P1=(3−3 , 6−4, 1−(−2) )=(0, 2, 3)だから y−42=z+23 , x=3（別解） 点P1(3, 6, 1)を通り，方向ベクトル→P0P1=(0, 2, 3)に平行な直線と考えて y−62=z−13 , x=3と答えてもよく，方向ベクトルを→P1P0=(0, −2, −3)として y−4−2=z+2−3 , x=3などと答えてもよい． |
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［問題７］
２点P0(−1, 2, 3) , P1(4, −5, 6)を通る直線の方程式を求めてください． 1 x+14=y−2−5=z−36
2x−4−1=y+52=z−633 x+15=y−2−7=z−33
4x+1x=y−2y=z−3z
解説
点P0(−1, 2, 3)を通り，方向ベクトル→P0P1=(5, −7, 3)に平行な直線だから
→3
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［問題８］
２点P0(1, 4, 3) , P1(−2, 4, 5)を通る直線の方程式を求めてください． 1 x−1−3=y−40 , z=3
21−x3=z−32 , y=43 x−1−2=y−44=z−35
4x−1−3=y−40=z−32
解説
点P0(1, 4, 3)を通り，方向ベクトル→P0P1=(−3, 0, 2)に平行な直線だから
→2
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≪媒介変数表示を使いこなそう！≫
【例題４】
１点P0(1, 0, 2)から直線 x−84=y+13=z−42までの最短距離を求めてください．  （解答）直線 x−84=y+13=z−42上の点Pの座標(x,y,z)は，媒介変数tを用いて次のように表すことができます．
|P0P|2=(4t+7)2+(3t−1)2+(2t+2)2 と，tの２次関数で表すことができますので，その最小値を求めればよいことになります． |P0P|2=...=29(t+1)2+25 となるので，t=−1のとき，|P0P|2=25，すなわち|P0P|=5となります．
→P0P⊥→uのとき，P0Pは最小となるので，内積→P0P·→u=0から求めると，もう少し簡単に計算できます．
4(4t+7)+3(3t−1)+2(2t+2)=0より 29t=−29 t=−1 このとき，P(4, −4, 2)，P0P= √32+(−4)2+02=√25=5
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直線 x+1−2=y2=z−53上の点Pの座標(x,y,z)は，媒介変数tを用いて次のように表すことができます．
−2(−2t−1)+2(2t)+3(3t+5)=0より 17t+17=0 t=−1 このとき，P(1,−2,2)，OP= √12+(−2)2+22=√9=3
→3
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【例題５】
２直線 x3=y−9−1=z−2 , x+3−3=y+72=z−64の両方に垂直に交わる直線の方程式を求めてください．  （解答）直線 x3=y−9−1=z−2上の点P1(x1 ,y1 ,z1 ) は，媒介変数sを用いて次のように表すことができます．
x+3−3=y+72=z−64上の点P2(x2 ,y2 ,z2 ) は，媒介変数tを用いて次のように表すことができます．
※ 単に垂直であるだけでなく，実際に交わっていることから，P1(x1 ,y1 ,z1 )，P2(x2 ,y2 ,z2 )が各々の直線の方程式を満たすといえます．
このとき，２直線の方向ベクトル→u=(3, −1, 1) , →v=(−3, 2,4)に対して，→P1P2=(−3t−3s−3, 2t+s−16, 4t−s+4)が垂直となればよいから →u·→P1P2=0 ⇔3(−3t−3s−3)−(2t+s−16)+(4t−s+4)=0…(1) →v·→P1P2=0 ⇔−3(−3t−3s−3)+2(2t+s−16)+4(4t−s+4)=0…(2) (1)→−7t−11s+11=0 (2)→29t+7s−7=0 これを解くと，s=1, t=0 P1(3,8,3), P2(−3,−7,6)となるから，これら２点を通る直線の方程式は x−3−6=y−8−15=z−33
方向ベクトルの大きさ（≠0）は自由に定めることができるから
x−32=y−85=3−z
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［問題10］
２直線 x−52=y−4=z−2 , x+1−5=y−32=z−3−4の両方に垂直に交わる直線の方程式を求めてください． 1 x+1−2=y−2=z3
2x+1−2=y+2=z33 x−1−2=y+2=z3
4x−1−2=y−2=z3
解説 直線 x−52=y−4=z−2上の点P
は，媒介変数sを用いて次のように表すことができます．
x+1−5=y−32=z−3−4上の点Qは，媒介変数tを用いて次のように表すことができます．
このとき，２直線の方向ベクトル→u=(2,1,1) , →v=(−5, 2, −4)に対して，→PQ=(−5t−2s−6, 2t−s−1, −4t−s+1)が垂直となればよいから →u·→PQ=0 ⇔2(−5t−2s−6)+(2t−s−1)+(−4t−s+1)=0…(1) →v·→PQ=0 ⇔−5(−5t−2s−6)+2(2t−s−1)−4(−4t−s+1)=0…(2) (1)→−12t−6s−12=0 (2)→45t+12s+24=0 これを解くと，s=−2, t=0 P(1,2,0), Q(−1,3,3)となるから，これら２点を通る直線の方程式は x−1−2=y−2=z3
→4
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【例題６】
点(2,0,4)を通り，２直線x−1= y3=2−z , 3−x=y−12=z3
の両方に垂直な直線の方程式を求めてください．
 （解答）直線x−1= y3=2−zの方向ベクトルは→u=(1,3,−1)，直線3−x= y−12=z3の方向ベクトルは→v=(−1,2,3)とおける． 求める直線の方向ベクトルを→w=(a,b,c)とおくと →u·→w=0 ⇔a+3b−c=0…(1) →v·→w=0 ⇔−a+2b+3c=0…(2) ※ この問題では，単に垂直であればよく，実際に交わっているとは限りません．
この方程式を解く（未知数が３個で，方程式が２個だから，不定解となる．そこで例えば１文字cについては「解かない」と決めて，分かりやすくするために「かっこ」に入れておく）a+3b=(c)…(1’) −a+2b=(−3c)…(2’) 解をcで表すと a=( 115c) , b=(−25c)
したがって
→w=(115c , −25c , c)
方向ベクトルの大きさ（≠0）は自由に定めることができるから
→w’=(11,−2,5)とすると，求める直線の方程式は
x−211=−y2=z−45
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［問題11］
点(1, 2, 3)を通り，２直線 x−2= y+13 , z=4x+22=z−1−1 , y=2
の両方に垂直な直線の方程式を求めてください．1x−1= y−23=z−32
2x−1=y−2−3=z−323 x−13=y−2−1=z−36
4x−16=y−2−1=z−3−3
解説 直線x−2= y+13 , z=4の方向ベクトルは→u=(1,3,0)，直線 x+22=z−1−1 , y=2の方向ベクトルは→v=(2, 0, −1)とおける． 求める直線の方向ベクトルを→w=(a,b,c)とおくと →u·→w=0 ⇔a+3b+0c=0…(1) →v·→w=0 ⇔2a+0b−c=0…(2) a+3b=0…(1’) 2a−c=0…(2’) 不定方程式(1’)(2’)の解をaで表すと b=(− 13a) , c=(2a)
したがって
→w=(a, −13a , 2a)
方向ベクトルの大きさは自由に定めることができるから，
→w’=(3,−1,6)とすると，求める直線の方程式は
x−13=y−2−1=z−36
→3
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【例題７】
直線3−x= y+22=z−23に関して点P0(3,4,5)と対称な点
の座標を求めてください．
 （解答）求める点をP1(p,q,r)とおくと，線分P0P1の（１つの）垂直二等分線が 直線3−x= y+22=z−23になればよい．
そのためには，ベクトル→P0P1=(p−3,q−4,r−5)が 直線3−x= y+22=z−23の方向ベクトル→u=(−1,2,3)に垂直…(*)かつ 線分P0P1の中点( p+32,q+42,r+52)が直線3−x= y+22=z−23上にあればよい．…(#) (*)→−(p−3)+2(q−4)+3(r−5)=0 −p+2q+3r=20…(1) (#)→3− p+32=q+42+22=r+52−23p+3−6−2=q+4+44=r+5−46p−3−2=q+84=r+16p−3−1=q+82=r+13これより，2(p−3)=−(q+8) → 2p+q=−2…(2) 3(q+8)=2(r+1) → 3q−2r=−22…(3) (1)(2)(3)よりp=0, q=−2, r=8 P1(0, −2, 8) |
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［問題12］
直線x−3= y−22=z−5に関して原点O(0, 0, 0)と対称
な点の座標を求めてください．1(2, −4, 6) 2(1, −2, 3) 3(−3, −2, −5) 4(6, 4, 10) 解説
求める点をP(p,q,r)とおくと，線分OPの（１つの）垂直二等分線が
直線x−3= y−22=z−5になればよい．
そのためには，ベクトル→OP=(p, q, r)が直線x−3= y−22=z−5の方向ベクトル→u=(1, 2, 1)に垂直…(*)かつ 線分OPの中点( p2,q2,r2)が直線x−3=y−22=z−5上にあればよい．…(#) (*)→p+2q+r=0…(1) (#)→ p2−3=q2−22=r2−5p−62=q−44=r−102これより，2p−12=q−4 → 2p−q=8…(2) q−4=2r−20 → q−2r=−16…(3) (1)(2)(3)よりp=2, q=−4, r=6 P(2, −4, 6) →1
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【例題８】
点P0(3,4,5)に関して直線3−x= y+22=z−23と対称な直線
の方程式を求めてください．
 （解答）直線3−x= y+22=z−23上の動点をP(p,q,r)，求める直線上の動点をQ(x,y,z)とするとき，PQの中点がP0になればよい．
PQはこれらの直線とは垂直になるとは限らない点に注意
P(p,q,r)とQ(x,y,z)の中点の座標は
(x+p2,y+q2,z+r2)これが，P0(3,4,5)に一致すればよいから x+p2=3, y+q2=4, z+r2=5P(p,q,r)は 3−p= q+22=r−23
を満たすから
3−(6−x)=(8−y)+22=(10−z)−23
x−3=10−y2=8−z3
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［問題13］
点P0(−1, 2, 3)に関して直線 x−13=y+22=z−4と対称な直線の方程式を求めてください． 1 x+13=y−22=z−3
2x+33=y−62=z−23 x+1−1=y−22=z−13
4x+3−1=y−62=z−23
解説
直線
x−13=y+22=z−4上の動点をP(p,q,r)，求める直線上の動点をQ(x,y,z)とするとき，PQの中点がP0になればよい． P(p,q,r)とQ(x,y,z)の中点の座標は ( x+p2,y+q2,z+r2)これが，P0(−1,2,3)に一致すればよいから x+p2=−1, y+q2=2, z+r2=3P(p,q,r)は p−13=q+22=r−4
を満たすから
(−2−x)−13=(4−y)+22=(6−z)−4
−x−33=−y+62=2−z
x+33=y−62=z−2
→2
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における直線の方程式について／16.11.9］
（１’）のグラフはy軸に垂直な(y軸を串刺しにしたような）～の説明でＹ－Ｙ０/aはZ-Z0/ｂではないでしょうか？６７歳です。放射線被曝の影響評価を理解するために、高校数学を学び直しています。丁寧な解説と直近の問題があるので、とても理解しやすく役立っています。ありがとうございます。なんとか微積・統計確率まで行きたいと思いますので、よろしくお願いいたします。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[空間における直線の方程式について／16.11.5］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました． 例題４の解答欄図のP0の座標数値が（１，２，０）になっています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました． |
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