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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「三角関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓正の角・負の角
↓一般角
↓三角関数の定義
↓第２象限の角
↓第３象限の角
↓第４象限の角
↓三角関数の性質（まとめ）
↓弧度法の単位ラジアン
↓弧度法：三角関数の値
↓sin(θ+π)など
↓y=sin(θ−α)のグラフ
↓y=a sin b(x−p)+q のグラフ
↓y=a cos b(x−p)+q のグラフ
↓振幅とグラフ
↓周期とグラフ
↓三角方程式
↓三角不等式
↓同(2)
↓加法定理,倍角(３倍角)公式,半角公式
↓加法定理（練習問題）
↓同(2)
↓同(3)数値計算
↓倍角・半角公式（練習問題）
↓積和・和積の公式
↓同(2)
↓同(3)
↓三角関数の合成公式
↓三角関数の公式一覧
↓三角関数の公式プラス
↓三角形の証明・形状問題
センター試験 三角関数(2015～)

証明問題

数学Ⅰの正弦定理で解けるもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■
$a(\sin B+\sin C)=(b+c)\sin A$…(1.1)
$(a-b)\sin C+(b-c)\sin A+(c-a)\sin B=0$…(1.2)
$c({\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B)=\sin C(a\sin A+b\sin B)$…(1.3)

三角関数を使った式，例えばsinAsin(B+C)は一般に変形しにくく，辺を使った式，例えばa(b+c)は展開しやすいので，なるべく辺だけで表すようにします．
ここでは，正弦定理${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}=2R$ を変形して$\sin A={\displaystyle \frac{a}{2R}}$として使うとよいでしょう．sinB, sinCも同様です．
このとき，一時的に外接円の半径Rが登場しますが，両辺や分母・分子に対等に表れるので，問題ありません．
※以下において，式(m.n)←という記号は，式(m.n)の証明という意味です

数学Ⅰの余弦定理で解けるもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■
$a^2+b^2+c^2=2(bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C)$…(2.1)
$a(b\cos C-c\cos B)=b^2-c^2$…(2.2)
${\displaystyle \frac{\cos A}{a}}+{\displaystyle \frac{\cos B}{b}}+{\displaystyle \frac{\cos C}{c}}={\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}}$…(2.3)
$a(\cos B-\cos C)=(c-b)(1+\cos A)$…(2.4)

三角関数を使った式，例えばcosAcos(B+C)は一般に変形しにくく，辺を使った式，例えばa(b+c)は展開しやすいので，なるべく辺だけで表すようにします．
ここでは，余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$を変形して $\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$ として使うとよいでしょう．cosB, cosCも同様です．

数学Ⅰの正弦定理・余弦定理で解けるもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■
${\displaystyle \frac{a\sin C}{b-a\cos C}}=\tan A$…(3.1)
${\displaystyle \frac{a-c\cos B}{b-c\cos A}}={\displaystyle \frac{\sin B}{\sin A}}$…(3.2)
$a\cos A\sin C=(b-a\cos C)\sin A$…(3.3)
${\displaystyle \frac{\tan B}{\tan C}}={\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2}}$…(3.4)
${\displaystyle \frac{b^2-c^2}{\tan A}}+{\displaystyle \frac{c^2-a^2}{\tan B}}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{\tan C}}=0$…(3.5)
$(-a^2+b^2+c^2)\tan A=(a^2-b^2+c^2)\tan B$
$=(a^2+b^2-c^2)\tan C$…(3.6)

$\sin A={\displaystyle \frac{a}{2R}},\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$
などを用いて角度の式を辺の式に直すのが基本です．

数学Ⅰで面積Sや内接円の半径rに関するもの

面積をS，外接円の半径をR，内接円の半径をr，$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$で表すとき

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■
$S=2R^2\sin A\sin B\sin C$…(4.1)
$S={\displaystyle \frac{1}{2}}r(a+b+c)=rs$…(4.2)
$S=Rr(\sin A+\sin B+\sin C)$…(4.3)
$S={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$…(4.4)
$abc=2(a+b+c)Rr$…(4.5)
${\displaystyle \frac{1}{bc}}+{\displaystyle \frac{1}{ca}}+{\displaystyle \frac{1}{ab}}={\displaystyle \frac{1}{2rR}}$…(4.6)
$\sin A+\sin B+\sin C={\displaystyle \frac{4sS}{abc}}$…(4.7)
$(b^2+c^2-a^2)\tan A=4S$…(4.8)
$\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{r}{s-a}}$…(4.9)
${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\geqq {\displaystyle \frac{9}{2s}}$…(4.10)
$s^2\geqq 3\sqrt{3}S$…(4.11)

数学Ⅱの加法定理，倍角，半角公式に関するもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}$…(5.1)
$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$…(5.2)
$\cos A+\cos B+\cos C=4\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}+1$…(5.3)
$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-4\cos A\cos B\cos C-1$…(5.4)
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$…(5.5)
$\tan 2A+\tan 2B+\tan 2C=\tan 2A\tan 2B\tan 2C$…(5.6)
$\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}\tan {\displaystyle \frac{B}{2}}+\tan {\displaystyle \frac{B}{2}}\tan {\displaystyle \frac{C}{2}}+\tan {\displaystyle \frac{C}{2}}\tan {\displaystyle \frac{A}{2}}=1$…(5.7)
$\cot {\displaystyle \frac{A}{2}}+\cot {\displaystyle \frac{B}{2}}+\cot {\displaystyle \frac{C}{2}}=\cot {\displaystyle \frac{A}{2}}\cot {\displaystyle \frac{B}{2}}\cot {\displaystyle \frac{C}{2}}$…(5.8)