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※高校数学Ⅱの「不定積分」について，このサイトには次の教材があります．
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↓不定積分-現在地
↓同(2)
↓同(3)
↓同 展開
↓積分変数がy,t,uなど
積分定数と初期条件

== 不定積分（数学II.多項式） ==
I【ｎ次式の積分の公式】
∫wnxndx=.xn+1n+1nnn+C (n≧0)…(1)

（ただし、∫wn1dx=∫wndx=x+C）


【記号】
.ddxnnF(x)=f(x) ⇔ ∫wnf(x)dx=F(x)+C
例１
.ddxnnx3=3x2 ⇔ ∫wnx2dx=.x33n+C
例２
.ddxnnx4=4x3 ⇔ ∫wnx3dx=.x44n+C
例３　ただし書きの部分
.ddxnnx=1 ⇔ ∫wn1dx=∫wndx=x+C

∫wn1dx を ∫wndxと略す。

∫wndxは∫wn1dxの略で、∫wn0dxの略ではない。

だから、∫wndx=x+Cになる。

【解説】
　微分の公式を思い出すと、
(x3)’=3x2または.ddxnnx3=3x2
(x3+1)’=3x2または.ddxnn(x3+1)=3x2
(x3+2)’=3x2または.ddxnn(x3+2)=3x2
のように、x3+C (Cは任意の定数)の形の関数を微分すると、いずれも3x2になる。（定数Cを微分すると0になるから）

○　［用語］
　このように「微分すると3x2になる」ような元の関数を関数3x2の原始関数または不定積分*といい
∫wn3x2dx
で表す。
この問題では、
∫wn3x2dx=x3+C
が成り立つ。
　不定積分（または原始関数）を求めることを積分するという。

○　一般に
.ddxnnF(x)=f(x)
のとき
∫wnf(x)dx=F(x)+C
と書く。

　全く初めて見る記号で違和感があるときは、
∫wn2xdx=x2+C
とは（2xを積分するとx2+Cになるとは）、
.ddxnnx2=2x
のこと（x2+Cを微分すると2xになる）だと言い換えるとよい。

【公式の証明】
微分の公式
.ddxnnxn=nxn−1
により、
.ddxnn(xn+1)=(n+1)xn
両辺をn+1で割ると
.ddxnn(.xn+1n+1nnn)=xn

したがって
∫wnxndx=.xn+1n+1nnn+C

○　ある関数を「親」に例え、その導関数（微分）を「子供」に例えるとき、「親が決まれば子供は決まる」が「子供を決めても親は決まらない」。
　例えば、微分して3x2になる元の関数はx3だけとは限らず、x3+1 , x3+2 , x3+3 , …のように定数項だけ異なる関数もすべて微分すると3x2になる。



*　F(x)の微分がf(x)になるときF(x)をf(x)の原始関数という。微分を指定しても原始関数はただ１通りには決まらず、定数項の分だけ不定になる。そこで、定数項Cの部分を不定にしたままで原始関数の集まりをF(x)+Cと表したものを不定積分という。


○　微分することを表す記号：
.ddxnn
は、分母と分子を含めた全体で１つの記号となっており、一部分だけ約分したりすることはできない。
dの部分を「約分して」 .1xnとはできない。

○　よく似た約束が積分記号にもあり、積分記号は
∫wnf(x)dx
のように前後をサンドイッチのようにはさんだ形で使い、片方だけではダメ。
　読むときは「インテグラル・エフエックス・ディーエックス」などと読む。


○　∫wnの記号はアルファベットのSを縦長に引き延ばしたもの。

○　∫wnf(x)dxにおいてf(x)のことを被積分関数という。

（積分される関数という意味）

II【定数倍、和・差の積分の変形公式】
∫wnk f(x)dx=k∫wnf(x)dx …(1)
∫wn{f(x)+g(x)}dx=∫wnf(x)dx+∫wng(x)dx …(2)
∫wn{f(x)−g(x)}dx=∫wnf(x)dx−∫wng(x)dx …(3)

※　積分定数Cはまとめて１つ付けるとよい。

(1)の例
∫wn5x2dx=5∫wnx2dx=5 · .x33n+C= .53nx3+C

のように定数k倍（この問題では5倍）は「後から」掛けてよい。

※　5∫wnx2dx=5( .x33n+C’)= .53nx3+5C’だと思う人がいる

かもしれないが、C’が実数全体のとき5C’が表すことのできる数は実数全体なので、改めて5C’=CとおけばCだけで書ける。5Cなどと書くとズッコケ答案になるので注意しよう。

※　「掛け算は何でも分けられる」訳ではなく、定数倍だけは後から掛けてよいという公式(1)の意味は間違いやすいので注意

　例えば
∫wnx5dx= .x66n+Cは正しいが、
∫wnx2·x3dx= .x33n · .x44n+C= .x712nn+Cは正しくない。

　このように「２つの関数の積」を積分するときに、各々の積分を求めて「後で掛けてもダメ」である。「後から掛ける」のが許されるのは「定数倍」（xのないもの）だけである。
　だから
∫wn(x+1)(x+2)dx
のように多項式の積になっているものを積分するときも、
∫wn(x+1)dx∫wn(x+2)dx=( .x22n+x)( .x22n+2x)+C
などとしてはいけない。

多項式の積分は「展開してから」公式(2)を利用して行う
∫wn(x+1)(x+2)dx=∫wn(x2+3x+2)dx
= .13nx3+.32nx2+2x+C
(2)の例
∫wn(x2+x)dx=∫wnx2dx+∫wnxdx= .x33n+.x22n+C

※　∫wnx2dx+∫wnxdx=( .x33n+C)+(.x22n+C)= .x33n+.x22n+2C

だと思う人がいるかもしれないが、それは違う。
　２つの不定積分
.x33n+Cと.x22n+C
の任意定数Cが等しいとは限らないので、この式を丁寧に書けば
.x33n+C1+.x22n+C2 (C1 , C2は任意定数)
になる。ところが、C1 , C2が任意定数のとき、C1+C2が表せる数は任意の実数なので、これらをまとめて単にCと書けばよい。

(3)は(2)と同様に考えるとよい。

○　(1)(2)(3)を通して、任意定数C（不定積分で登場する任意定数は、積分定数と呼ばれる）の付け方のまとめ：
　⇒　「全体をまとめて１つの積分定数Cを後ろに１つ付けるとよい。」


○　被積分関数が積や商で結ばれているとき（　　）は必要ないが、和・差・負の符号を伴うときは被積分関数を（　　）で囲む必要がある。
∫wnとf(x)とdxは、「積」として結ばれていると考えるとよい。
∫wn●f(x)●dx
× ○
∫wnx+3dx ∫wn(x+3)dx
… ∫wn3x2dx

∫wnx(x2−4)dx
∫wn.x34ndx

∫wn−3xdx
∫wn(−3x)dx

例
I(1) →

∫wnx4dx= .x55n+C
∫wnxdx= .x22n+C
∫wndx=x+C

II(1) →

∫wn3xdx= 3∫wnxdx=3 .x22n+C= .3x22nn+C
∫wn5dx=5∫wndx+C=5x+C
II(2)(3) →

多項式の積分は「展開してから」公式(2)を利用して行う

∫wn(x−3)2dx= ∫wn(x2−6x+9)dx
= .x33n−3x2+9x+C
∫wnx(x+2)dx= ∫wn(x2+2x)dx
= .x33n+x2+C




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