 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「不定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓多項式・有理関数・無理関数の不定積分 ↓分数関数(有理関数)の不定積分 ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓同(まとめ) ↓不定積分の置換積分 ↓同(2) ↓不定積分の部分積分 ↓同(2) ↓指数関数・対数関数の不定積分 ↓同(2) ↓三角関数の不定積分 ↓同(2)-現在地 ↓不定積分（まとめ1） ↓同(2) 不定積分の漸化式 |
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≪要点≫
(I)三角関数の積は和に直してから積分する ２乗は半角公式で逃げる (II)f(sinx)cosx , f(cosx)sinx→置換積分 sin3x=(1−cos2x)sinxはその応用 f’/fは即答可能の特急券→log|f| (III)（多項式、指数関数）×三角関数→部分積分 ≪解説≫ (I)三角関数の積は和に直してから積分する
【例1】
右の積→和の公式(3)においてα=2x, β=3xとおくと∫sin2x cos3x dx sin2x cos3x=  12 { sin(2x+3x)+sin(2x−3x) }= 12 { sin5x−sinx }∫sin2x cos3x dx= 12 ∫(sin5x−sinx)dx= 12 (− 15 cos5x+cosx)+C= − 110 cos5x+ 12 cosx+C
【例2】
右の積→和の公式(5)においてα=4x, β=3xとおくと∫cos4x cos3x dx cos4x cos3x= 12 { cos(4x+3x)+cos(4x−3x) }= 12 { cos7x+cosx }∫cos4x cos3x dx= 12 ∫(cos7x+cosx)dx= 12 ( 17 sin7x+sinx)+C= 114 sin7x+ 12 sinx+C○２乗は半角公式で逃げる
∫sin2x dxのように被積分関数が三角関数の２乗になって
いるときは、上記の積→和の公式においてα=βとおけば解決できるが、右の(9)’(10)’のように２倍角公式を逆に読んだもの（半角公式）で考える人が多い。
【例3】
∫sin2x dx=∫∫sin2x dx 1−cos2x2 dx= 12 x− sin2x4 +C |
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※ 三角関数の積分は１つの公式を覚えただけでは解決できず、総合的な力が試される。すなわち、三角関数の積分を行うには、積を和に直す公式、部分分数分解、置換積分、部分積分など幅広い力を要する。 ［将来との関連］ 三角関数の積分（主に定積分）は高校卒業後に習うフーリエ級数において重要な働きをなしており、このフーリエ級数は様々な分野に使われている。例えば画像圧縮技術にも応用されている。 積→和の公式
加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ …(1) sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ …(2) (1)+(2) sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ これにより、次の積→和の公式が得られる
sinαcosβ=
12 { sin(α+β)+sin(α−β) } …(3)積→和の公式
加法定理
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ …(4) cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ …(5) (4)+(5) cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ これにより、次の積→和の公式が得られる
cosαcosβ=
12 { cos(α+β)+cos(α−β) } …(6)積→和の公式には、以上2つの他(4)-(5)によって得られる次の公式がある。
sinαsinβ= −
12 { cos(α+β)−cos(α−β) } …(7)
cosαsinβ=
12 { sin(α+β)−sin(α−β) } …(8)半角公式
加法定理 cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ …(4) において、α=βとおくと余弦（cosθ）に関する２倍角公式が得られる。 cos2α=cosαcosα−sinαsinα =cos2α−sin2α =1−2sin2α …(9) =2cos2α−1 …(10) (9)より
sin2α=
(10)より1−cos2α2 …(9)’
cos2α=
(9)’(10)’より
1+cos2α2 …(10)’
tan2α=
1−cos2α1+cos2α …(11)’ |
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≪問題１≫ 次の不定積分を求めよ。 （正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。） cos3x6 + cosx2 +C
cos3x6 − cosx2 +C− cos3x6 + cosx2 +C
− cos3x6 − cosx2 +C
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sin4x8 − sin2x4 +C
− sin4x8 + sin2x4 +Ccos4x8 − cos2x4 +C
− cos4x8 + cos2x4 +C
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x2 + sin6x12 +C
x2 − sin6x12 +Cx2 + cos6x12 +C
x2 − cos6x12 +C
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(II)f(sinx)cosx , f(cosx)sinx→置換積分
【例4】
∫sin2x cosx dx 置換積分を行う sinx=tとおくと dtdx =cosx→dx= dtcosx∫sin2x cosx dx=∫t2 cosx dtcosx = t33 +C= sin3x3 +C
【例6】
∫ dxsinx
1sinx = sinxsin2x = sinx1−cos2x置換積分を行う cosx=tとおくと dtdx = −sinx→dx= − dtsinx∫ dxsinx =∫sinxsin2x dx=∫sinx1−cos2x dx=∫ sinx1−t2 dt(−sinx) = ∫1t2−1 dt= 12 ∫( 1t−1 − 1t+1 )dt= 12 (log|t−1|−log|t+1|)+C=12 log|t−1t+1| +C= 12 log|1−cosx1+cosx| +C= 12 log( 1−cosx1+cosx ) +C※1−cosx≧0 , 1+cosx≧0で、等号のとき | | があってもなくても定義されない事情は同じ |
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○ sin3x=(1−cos2x)sinxはその応用
【例5】
∫sin3x dx sin3x=sin2x sinx=(1−cos2x)sinx 置換積分を行う cosx=tとおくと dtdx = −sinx→dx= − dtsinx∫sin3x dx=∫(1−cos2x)sinx dx =∫(1−t2)sinx dt−sinx = ∫(t2−1)dt= t33 −t+C= cos3x3 −cosx+C
【例7】
(1)∫ cosx1+sinx dx
(2)∫tanx dx
○ ∫ f’(x)f(x) dx=log|f(x)|+Cは即答可能の特急券f(x)=tとおくと dtdx =f’(x)→dx= dtf’(x)∫ f’(x)f(x)dx = ∫f’(x)tdtf’(x) =log|t|+C=log|f(x)|+C そこで
「分子が分母の微分」→（即答可能の特急券）→log|分母|が答
(1) ∫ cosx1+sinx dx= ∫(1+sinx)’1+sinx dx=log|1+sinx|+Cこの| |は( )に換えてもよい
(2) ∫tanx dx= − ∫(cosx)’cosx dx= −log|cosx|+C
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≪問題２≫ 次の不定積分を求めよ。 （正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。） sin4x4 +C
− sin4x4 +Ccos4x4 +C
− cos4x4 +C
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sinx+ sin3x3 +C
sinx − sin3x3 +C cosx+ cos3x3 +C
cosx − cos3x3 +C
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12 log( 1−sinx1+sinx )+C
− 12 log( 1−sinx1+sinx )+C12 log( 1−cosx1+cosx )+C
− 12 log( 1−cosx1+cosx )+C
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(4)
log|sinx+cosx|+C
log|sinx−cosx|+C
∫
cosx−sinxsinx+cosx dx
解説
| 1sinx+cosx |+C
| 1sinx−cosx |+C
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(III)（多項式、指数関数）×三角関数→部分積分
【例8】
∫x sinx dx ∫x sinx dx=−xcosx−∫1·(−cosx)dx =−xcosx+∫cosx dx =−xcosx+sinx+C |
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部分積分
∫f’(x)g(x) dx=f(x)g(x)−∫f(x)g’(x)dx
多（単）項式は微分する側（次数を下げる側）に選ぶ
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【例9】
∫exsinx dx ∫exsinx dx=Iとおく I=exsinx−∫excosx dx =exsinx−(excosx−∫exsinx dx)=exsinx−excosx−I 2I=ex(sinx−cosx) I= 12 ex (sinx−cosx)+C（積分定数は最後に１つ付ければよい） |
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未知関数Iの”方程式”を作って解く ”同じ向き”に２回部分積分を行う I=···−Iになれば解ける。→2I=··· I=···+Iになれば解けない。→消えてしまう １回目の部分積分
２回目の部分積分
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≪問題３≫ 次の不定積分を求めよ。 （正しいものを選べ。暗算ではできないので計算用紙が必要。） x cosx+sinx+C x cosx−sinx+C x sinx+cosx+C x sinx−cosx+C |
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e−2x(sinx+cosx)+C
15 e−2x(sinx−2cosx)+C45 e−2x(sinx+cosx)+C
18 e−2x(sinx−2cosx)+C
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［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.8.28］
∮xsinx/(cosx)^3はどうやって解くのでしょうか。
また、置換でも解けるのでしょうか。よろしくお願いします。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.11.29］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問を正確に書いてください．∮は複素積分で留数定理やストークスの定理のときに出てくる周回積分の記号です．また積分変数は？ 文句を言っても始まらないので，適当に解釈して勝手に答えてしまいます．はじめに，このページを見てください． そこで次の公式をメモします． 次に 部分積分の公式に当てはめる 単なるミスプリでしょうが、例８の解答のｘが+に見えます。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.6.15］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．+は１つですので訂正しました 例5は(cos3x/12)-(3sinx/4)+Cでもあってますか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．三倍角公式を逆に解いて，被積分関数を三角関数の１次式に直すのは「あり」です．ただ，結果は少し違うようです． |
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不定積分