logxの不定積分

...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 大区分 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 中区分 ***
ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計 maxima

※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓log xの不定積分-現在地
↓sin xの不定積分
↓cos xの不定積分
↓sin x,cos xの不定積分
↓tan x,cot xの不定積分

↓回転体の体積

↓広義積分

↓重積分
↓簡単な重積分の計算
↓長方形以外の領域での重積分
↓積分順序の変更
変数変換：ヤコビ行列式

== logxに関する不定積分 ==
【この頁の要約】
　この頁で解説する内容は，ほぼ次のようにまとめることができます．

≪参考≫
与えられた関数の不定積分を求めたいとき，「どんな関数でも不定積分が求められる」とは限らないことに注意しなければなりません．

以下においては，多項式，分数関数，無理関数（累乗根），三角関数，指数関数，対数関数の「有限回の」和差積商や合成によって得られる関数を初等関数と呼ぶことにします．

初等関数の微分は初等関数になりますが，初等関数の不定積分は必ずしも初等関数の範囲内にあるとは限りません．
定期試験や入学試験などでは「解ける」問題だけが出題されていますが，各自で自由に思い浮かべた関数に対していつでもその不定積分を初等的に表現できるとは限らないことに注意してください．

【logxに関する不定積分≪一覧≫】

○［∫wn(log x) n dx (n≠0)］

.∫wnlogx dx=xlogx−x+C…(*5.1)

.∫wn(logx)2dx=x(logx)2−2xlogx+2x+C…(*5.2)

.In=∫wn(logx)ndx (n=0,1,2,..)とおくと

.In=x(logx)n−n In−1 (n=1,2,3,..)…(*5.3)

○［∫wnxnlogx dx ,∫wn.

logxxnnnnndx (n≠1)］

.∫wnxnlogx dx=.

1n+1nnnxn+1(logx−.

1n+1nnn)+C…(*5.4)

○［∫wn.

(logx)nxnnnnnndx (n≠−1)］

.∫wn.

(logx)nxnnnnnndx=.

(logx)n+1n+1nnnnnnn+C…(*5.5)

○［∫wnxm(logx)ndx (m≠−1)］

Im,n=∫wnxm(logx)ndx (m≠−1)とおくと，次の漸化式が成り立つ

Im,n=.

xm+1m+1nnnn(logx)n−.

nm+1nnnnIm,n−1…(*5.6)

○［∫wn.

dx(logx)nnnnnnn(n>0) , ∫wn.

xnlogxnnnndx　(n≠−1)］など

　⇒　初等的には求められません．…(*5.7)

x∫awww.

dtlogtnnnnは初等的に表せず，これを表すために

Li(x)：対数積分（Logarithmic integral function）という特別な関数を定義する必要があります．

他の∫wn.

xm(logx)nnnnnnndxはLi(x)と漸化式の関係で

つながっていますが，「第１ボタンでつまづいている（初等的に表せない）」ので，分母にlogxがある関数の不定積分を初等的に求めようとすると，「全部つまづく（初等的に表せない）」ことになります．

　しかし，次のように分母にxが１つだけ付いているものは，例外的に求められます

.∫wn.

dxx(logx)nnnnnnnn=−.

1(n−1)(logx)n−1nnnnnnnnnnnn+C (n≠1)…(*5.8)

.∫wn.

dxxlogxnnnnn=log|logx|+C…(*5.9)

○［∫wnlog（２次式）dx］

.∫wnlog(x2+a2)dx=xlog(x2+a2)−2x+2atan−1.

xan+C

(a>0)…(*5.10)

.∫wnlog(x2−a2)dx

.=(x+a)log|x+a|+(x−a)log|x−a|−2x+C

(a>0)…(*5.11)

○［∫wnxlog(x2+a2)dx (a>0)］

.∫wnxlog(x2+a2)dx=.

12n{(x2+a2)log(x2+a2)−x2}+C

(a>0)…(*5.12)

○［∫wnlog(x+.

√x2+a2√nnnnni)dx (a>0)］

.∫wnlog(x+.

√x2+a2√nnnnni)dx

.=xlog(x+.

√x2+a2√nnnnni)−.

√x2+a2√nnnnni+C

(a>0)…(*5.13)

（解説）
(*5.1)←

∫wnlogx dxを∫wn1·logx dxに

分けて部分積分を行う．

f(x)=log x	f’(x)=.1xn
g’(x)=1	g(x)=x

∫wn1·logx dx=xlogx−∫wnx .

1xn dx=xlogx−∫wndx

=xlogx−x+C

この結果を微分すると，簡単に検算できます．

(xlogx−x)’=1·logx+x·.

1xn−1=logx

(*5.2)←

∫wn(logx)2dx=∫wn(logx)(logx)dx

部分積分を行う．

f(x)=(logx)2	f’(x)=2logx.1xn
g’(x)=1	g(x)=x

∫wn1·(logx)2dx=x(logx)2−2∫wnlogx dx

=x(logx)2−2xlogx+2x+C

※次のように行ってもできる．

f(x)=logx	f’(x)=.1xn
g’(x)=logx	g(x)=xlogx−x

∫wn(logx)(logx)dx=logx(xlogx−x)−∫wn(logx−1)dx

=x(logx)2−xlogx−(xlogx−x−x)+C
=x(logx)2−2xlogx+2x+C

(*5.3)←

In=∫wn(logx)ndx (n=0,1,2,..)とおくと

まず，I0=∫wn(logx)0dx=∫wndx=x+Cとなる

n≧1のとき

In=∫wn1·(logx)ndx

f(x)=(logx)n	f’(x)=n(logx)n−1.1xn
g’(x)=1	g(x)=x

In=x(logx)n−∫wnn(logx)n−1.

1xn x dx

=x(logx)n−n∫wn(logx)n−1dx

=x(logx)n−n In−1

これを利用して，順次求めることができます．（漸化式から一般項を求めるのは無理）
I1=xlogx−x+C
I2=x(logx)2−2I1=x(logx)2−2(xlogx−x)+C
I3=x(logx)3−3I2=x(logx)3−3(x(logx)2−2xlogx+2x)+C

(*5.4)←

∫wnxnlogx dx=Iとおいて部分積分を行う

f(x)=logx	f’(x)=.1xn
g’(x)=xn	g(x)=.1n+1nnnxn+1

I=.

1n+1nnnxn+1logx−∫wn.

1n+1nnnxndx

1n+1nnnxn+1logx−.

1n+1nnn.

1n+1nnnxn+1+C

1n+1nnnxn+1(logx−.

1n+1nnn)+C

［ｎが正の整数である場合の例］

.∫wnx2logx dx=.

13nx3(logx−.

13n)+C

［ｎが負の整数（≠−1）である場合の例］

.∫wn.

logxx2nnnn dx=∫wnx−2logx dx

1−1nnx−1(logx−.

1−1nn)+C

=−.

1xn(logx+1)+C

※同様にして

.∫wn.

logx(x+a)2nnnnndx , ∫wn.

logx(x+a)3nnnnndx (a≠0)

なども部分積分で求められるが

.∫wn.

logxx+annnndx (a≠0)は求められない

［ｎが分数である場合の例］

.∫wn.

√x√nilogx dx=∫wnx.

12nlogx dx

23nx.

32n(logx−.

23n)+C

23nx.

√x√ni(logx−.

23n)+C

(*5.5)←
log x=tとおいて置換積分を行うと

dtdxnn=.

1xn → dx=x dtだから

∫wn.

(logx)nxnnnnnndx=∫wn.

tnxnx dx =.

tn+1n+1nnn+C

(logx)n+1n+1nnnnnnn+C

［ｎが正の整数である場合の例］

.∫wn.

logxxnnnndx=.

(logx)22nnnnnn+C

［ｎが分数である場合の例］

.∫wn.

√logx√nnnnixnnnnndx=.

23nlogx.

√logx√nnnni+C

(*5.6)←

Im,n=∫wnxm(logx)ndx (m≠−1)とおくと

f(x)=(logx)n	f’(x)=n(logx)n−1.1xn
g’(x)=xm	g(x)=.1m+1nnnnxm+1

Im,n=.

1m+1nnnnxm+1(logx)n−∫wn.

1m+1nnnnxm+1n(logx)n−1.

1xndx

1m+1nnnnxm+1(logx)n−.

nm+1nnnn∫wnxm(logx)n−1dx

1m+1nnnnxm+1(logx)n−.

nm+1nnnnIm,n−1

［この公式の特別な場合として］

・［m=0, n=1のとき，(*5.1)になります］

I0,1=∫wnx0(logx)1dx=.

11nx1(logx)1−.

11nI0,0

ここで

I0,0=∫wnx0dx=x+Cだから

∫wnlogx dx=xlogx−x+C…(*5.1)

・［m=0, n=1のとき，(*5.2)になります］

I0,2=∫wnx0(logx)2dx=.

11nx1(logx)2−.

21nI0,1

ここで

I0,1=∫wnx1dx=xlogx−x+Cだから

∫wn(logx)2dx=x(logx)2−2(xlogx−x)+C

・［m=0のとき，(*5.3)の漸化式になります］

I0,n=∫wnx0(logx)ndx=.

11nx1(logx)n−.

n1nI0,n−1

⇒ In=x(logx)n−n In−1 (n=1,2,3,..)…(*5.3)

・［n=1のとき，(*5.4)になります］

Im,1=∫wnxmlogx dx=.

1m+1nnnnxm+1logx−.

1m+1nnnnIm,0

ここで

Im,0=∫wnxmdx=.

1m+1nnnnxm+1+Cだから

Im,1=.

1m+1nnnnxm+1logx−.

1m+1nnnn.

1m+1nnnnxm+1+C

1m+1nnnnxm+1(logx−.

1m+1nnnn)+C

※以上のように(*5.6)は適用範囲の広い公式になっていますが，これを丸暗記して他のものは覚えないという学習方法は疑問です．むしろ，「部分積分」や「置換積分」をいろいろ「試してみればどれかでできる」という態度を身に付けるのがよいでしょう．

(*5.8)←

∫wn.

dxx(logx)nnnnnnnn

logx=tとおいて置換積分を行うと

dtdxnn=.

1xn , dx=x dtとなるから

∫wn.

dxx(logx)nnnnnnnn=∫wn.

1x tnnnnx dt=∫wnt−ndt

1−n+1nnnnt−n+1+C=−.

1(n−1)(logx)n−1nnnnnnnnnnnn+C…(*5.8)

※xが１つあるときだけ，ちょうど消えます

(*5.9)←

∫wn.

dxxlogxnnnnn

logx=tとおいて置換積分を行うと

dtdxnn=.

1xn , dx=x dtとなるから

∫wn.

dxxlogxnnnnn=∫wn.

1x tnnx dt=∫wn.

1tndt=log|t|+C

=log|logx|+C…(*5.9)
※xが１つあるときだけ，ちょうど消えます

(*5.10)←

∫wnlog(x2+a2)dx=Iとおく(a>0)

f(x)=log(x2+a2)	f’(x)=.2xx2+a2nnnnn
g’(x)=1	g(x)=x

I=xlog(x2+a2)−∫wnx.

2xx2+a2nnnnn dx

=xlog(x2+a2)−2∫wn(1−.

a2x2+a2nnnnn)dx

=xlog(x2+a2)−2x+2a2∫wn.

1x2+a2nnnnndx

ここでJ=∫wn.

1x2+a2nnnnndxは次のように置換積分で求められます．

x=atant ←→ t=tan−1.

xanとおいて置換積分を行うと

dxdtnn=.

1cos2tnnnn , ⇒dx=.

dtcos2tnnnn=(1+tan2t)dtとなるから

J=∫wn.

1a2nn.

1+tan2t1+tan2tnnnnnnna dt=.

1ant+C=.

1antan−1.

xan+C

したがって
I=xlog(x2+a2)−2x+2atan−1.

xan+C

(*5.11)←

∫wnlog(x2−a2)dx=∫wnlog(x+a)(x−a)dx

=∫wn{log(x+a)+log(x−a)}dx

ここで

∫wnlogx dx=xlogx−x+Cだから

∫wnlog(x2−a2)dx=(x+a)log|x+a|+(x−a)log|x−a|−2x+C

(*5.12)←

∫wnxlog(x2+a2)dx=I (a>0)とおく

x2+a2=tとおく置換積分により.

dxdtnn=2x , ⇒dx=.

dt2xnnとなるから

I=∫wnxlogt .

dt2xnn=.

12n∫wnlogt dt

12n(tlogt−t)+C’=.

12n{(x2+a2)log(x2+a2)−(x2+a2)}+C’

12n{(x2+a2)log(x2+a2)−x2}+C

(*5.13)←

∫wnlog(x+.

√x2+a2√nnnnni)dx=I (a>0)とおく

f(x)=log(x+.

√x2+a2√nnnnni)=logp , p=x+.

√x2+a2√nnnnniとおくと

f’(x)=.

ddxnnf(x)=.

1pn.

dpdxnn=.

1x+.

√x2+a2√nnnnninnnnnnnn(1+.

2x2.

√x2+a2√nnnnninnnnnnn)

1x+.

√x2+a2√nnnnninnnnnnnn.

x+.

√x2+a2√nnnnni.

√x2+a2√nnnnninnnnnnnn=.

√x2+a2√nnnnninnnnnnとなるから

次のように部分積分を行う

f(x)=log(x+.√x2+a2√nnnni)	f’(x)=.1.√x2+a2√nnnnninnnnnn
g’(x)=1	g(x)=x

I=xlog(x+.

√x2+a2√nnnni)−∫wn.

√x2+a2√nnnnninnnnnndx

第２項をJ=∫wn.

√x2+a2√nnnnninnnnnndxとして求める

x2+a2=tとおくと.

dtdxnn=2x → dx=.

dt2xnn

J=∫wn.

√t√ninn.

dt2xnn=.

12n∫wn.

√t√ninndt=.

√t√ni+C=.

√x2+a2√nnnnni+C’

I=xlog(x+.

√x2+a2√nnnnni)−.

√x2+a2√nnnnni+C

○以下の問題は，この頁のどこかに書かれている内容か，または，それを少しだけ変形したものです．正しい番号をクリックしてください．
○途中経過が長いので暗算ではできません．各自計算用紙を使って計算してから答えてください．
○解答すれば，採点結果が表示され，さらに解説を選べます．

［問題１］

次の不定積分を求めてください．

.∫wnlog2x dx

1xlogx−x+C 2xlog2x−x+C

32xlogx−2x+C 42xlog2x−2x+C

解説

…(*5.1)
次のように部分積分を行うと求められます．

f(x)=log 2x	f’(x)=2.12xnn=.1xn
g’(x)=1	g(x)=x

∫wn1·log2x dx=xlog2x−∫wnx .

1xn dx=xlog2x−∫wndx

=xlog2x−x+C

→2

※f(x)=log 2xはf(x)=log 2+log xとも書けるので，その微分

は単に.

1xnとなることに注意してください．.

12xnnにはなりません．

※(*5.1)の結果を公式のようにそのまま使ってしまう場合には，次のような答案も可能です．

∫wnlog2x dx=∫wn(log2+logx)dx=xlog2+xlogx−x+C

=x(log2+logx)−x+C=xlog2x−x+C

［問題２］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn(logx)2dx

1x(logx)2−2x+C

2x(logx)2−2xlogx+C

3x(logx)2−2xlogx+2x+C

4x(logx)2−2xlogx+x2−2x+C

解説

…(*5.2)

→3

［問題３］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

logx(x+1)2nnnnndx

1−.

logxx+1nnnn+log.

xx+1nnn+C 2.

1(x+1)2nnnnn(logx−x)+C

1(x+1)3nnnnn(logx−x)+C 4初等的には表せない

解説

…(*5.4)
次のように部分積分を行うと

f(x)=log x	f’(x)=.1xn
g’(x)=.1(x+1)2nnnnn	g(x)=−.1x+1nnn

∫wn.

logx(x+1)2nnnnndx=−.

logxx+1nnnn+∫wn.

1x(x+1)nnnnnndx

=−.

logxx+1nnnn+∫wn(.

1xn−.

1x+1nnn)dx=−.

logxx+1nnnn+logx−log(x+1)+C

問題文からx>0, x+1>0だから絶対値記号は不要

=−.

logxx+1nnnn+log.

xx+1nnn+C

→1

［問題４］

次の不定積分を求めてください．

.∫wnxlogx dx

1log(logx)+C

(logx)22nnnnnn+C

12nx2(logx−.

12n)+C

4初等的には表せない

解説

…(*5.4)
次のように部分積分を行うと

f(x)=log x	f’(x)=.1xn
g’(x)=x	g(x)=.12nx2

∫wnxlogx dx=.

12nx2logx−∫wn.

12nx2.

1xndx=.

12nx2logx−.

12n∫wnx dx

12nx2logx−.

12n.

12nx2+C

→3

［問題５］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

logxxnnnndx

1log(logx)+C

(logx)22nnnnnn+C

12nx2(logx−.

12n)+C

4初等的には表せない

解説

…(*5.5)
log x=tとおいて置換積分を行うと

dtdxnn=.

1xn → dx=x dtだから

∫wn.

logxxnnnndx=∫wn.

txnx dt =∫wnt dt=.

t22n+C=.

(logx)22nnnnnn+C

→2

［問題６］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

dxxlogxnnnnn

1log(logx)+C

(logx)22nnnnnn+C

12nx2(logx−.

12n)+C

4初等的には表せない

解説

…(*5.9)
log x=tとおいて置換積分を行うと

dtdxnn=.

1xn → dx=x dtだから

∫wn.

dxxlogxnnnnn=∫wn.

1xtnnx dt =∫wn.

1tn dt=logt+C=log(logx)+C

→1

［問題７］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

xlogxnnnndx

1log(logx)+C

(logx)22nnnnnn+C

12nx2(logx−.

12n)+C

4初等的には表せない

解説

…(*5.7)

→4

［問題８］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

√logx√nnnnnixnnnnnndx

32nx.

√logx√nnnni+C

23nx.

√logx√nnnni+C

32nlogx.

√logx√nnnni+C

23nlogx.

√logx√nnnni+C

解説

…(*5.5)
log x=tとおいて置換積分を行うと

dtdxnn=.

1xn → dx=x dtだから

∫wn.

(logx)nxnnnnnndx=∫wn.

tnxnx dx =.

tn+1n+1nnn+C

(logx)n+1n+1nnnnnnn+C

においてn=.

12nとします．

→4

［問題９］
次の不定積分を求めてください．

.∫wnlog(x2+a2)dx(a>0)

1xlog(x2+a2)+2x−2atan−1.

xan+C

2xlog(x2+a2)−2x+2atan−1.

xan+C

3(x+a)log|x+a|+(x−a)log|x−a|−2x+C

4(x+a)log|x+a|−(x−a)log|x−a|−2x+C

解説

…(*5.10)

→3

［問題10］
次の不定積分を求めてください．

.∫wnlog(x2−a2)dx(a>0)

1xlog(x2+a2)+2x−2atan−1.

xan+C

2xlog(x2+a2)−2x+2atan−1.

xan+C

3(x+a)log|x+a|+(x−a)log|x−a|−2x+C

4(x+a)log|x+a|−(x−a)log|x−a|−2x+C

解説

…(*5.11)

→3

■［個別の頁からの質問に対する回答］[logxに関する不定積分について／18.9.21］

(*5.10)の解説の下の方にある、文言、したがって～の、1行上の式の右辺の1/aは1/a^2ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その箇所のaの部分は，確かにおかしいですが，あなたの計算もおかしいです．訂正しました．

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります