sinxの不定積分

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ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計 maxima

※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓log xの不定積分
↓sin xの不定積分-現在地
↓cos xの不定積分
↓sin x,cos xの不定積分
↓tan x,cot xの不定積分

↓回転体の体積

↓広義積分

↓重積分
↓簡単な重積分の計算
↓長方形以外の領域での重積分
↓積分順序の変更
変数変換：ヤコビ行列式

== sinxに関する不定積分 ==
【sinxに関する不定積分≪一覧≫】

○［基本］

∫wnsinx dx=−cosx+C…(*1.1)

○［sinnx］の形のうちnが小さいとき→２倍角公式，３倍角公式などで変形する．

∫wnsin2x dx=−.

14nsin2x+.

x2n+C…(*1.2)

∫wnsin3x dx=.

112nncos3x−.

34ncosx+C…(*1.3)

∫wnsin4x dx=.

38nx−.

14nsin2x+.

132nnsin4x+C…(*1.4)

38nx−.

38nsinxcosx−.

14nsin3xcosx+Cでもよい

∫wnsin5x dx

=−.

15nsin4xcosx−.

415nnsin2xcosx−.

815nncosx+C

=−.

15ncos5x+.

23ncos3x−cosx+C…(*1.5)

○［sinnx］の形のうちnが奇数の場合

∫wnf(cosx)sinx dx→cosx=tとおいて置換積分

の応用として

∫wnsin2n+1x dx=∫wnsin2nxsinx dx

=∫wn(1−cos2x)nsinx dx

…(*1.6)
○［sinnx］の形のうちnが偶数の場合
nが正の整数のとき（奇数のときでも使えます）

∫wnsinnx dx→漸化式を作り，逐次次数を下げる．…(*1.7)
（※一般項を求めるのではない．）

○［.

1sinnxnnnn］の形

∫wn.

dxsinxnnnn=log|tan.

x2n|+C…(*1.8)

12nlog(.

1−cosx1+cosxnnnnnn)+Cでもよい

∫wn.

dxsin2xnnnn=−.

1tanxnnnn+C…(*1.9)

∫wn.

dxsin2n−1xnnnnnn=∫wn.

sinxsin2nxnnnnn dx =∫wn.

sinx(1−cos2x)nnnnnnnnn dx

…(*1.10)

○［xnsinx］の形→部分積分

∫wnxsinx dx=sinx−xcosx+C…(*1.11)

∫wnx2sinx dx=2xsinx−(x2−2)cosx+C…(*1.12)

∫wnxnsinx dx→漸化式を作り，逐次次数を下げる．
…(*1.13)

○［eaxsinbx］の形→部分積分を２回行う

∫wnexsinx dx=.

12nex(sinx−cosx)+C…(*1.14)

∫wne2xsin3x dx=.

113nne2x(2sin3x−3cos3x)+C…(*1.15)

∫wne−xsinx dx=−.

12ne−x(sinx+cosx)+C…(*1.16)

○［.

f’(x)f(x)nnnn］の形→則答：log|f(x)|

　一般に，分子が分母の微分となっている関数の場合は，分母・分子がどんなに複雑であっても，直ちにlog|f(x)|の形で積分が求まります．

.∫wn.

1+cosxx+sinxnnnnnndx=log|x+sinx|+C…(*1.17)

.∫wn.

sin2x1+sin2xnnnnnndx=log(1+sin2x)+C…(*1.18)

.∫wn.

dxcos2xtanxnnnnnnnn=log|tanx|+C…(*1.19)

○［f(sinx, cosx, tanx)］の形→tan.

x2n=tとおけば，

.sinx=.

2t1+t2nnnn, cosx=.

1−t21+t2nnnn, tanx=.

2t1−t2nnnnとなって

.tで表されます．ただし，複雑な式になることが多いので，これは「最後の手段」と考えた方がよい．…(*1.20)

（解説）
(*1.1)←

ddxnn(cosx)=−sinxの両辺を積分して符号を変えます．

(*1.2)←
半角公式（=２倍角公式）を使って，被積分関数を書き換えるとできます．

sin2x=.

1−cos2x2nnnnnnnnにより

∫wnsin2x dx=∫wn(.

12n−.

cos2x2nnnnn)dx=.

x2n−.

14nsin2x+C

(*1.3)←
３倍角公式を使って，被積分関数を書き換えるとできます．
sin3x=3sinx−4sin3xにより

sin3x=.

34nsinx−.

14nsin3x

∫wnsin3x dx=∫wn( .

34nsinx−.

14nsin3x)dx

=−.

34ncosx+.

112nncos3x+C..(#1)

この積分は(*1.6)を使って求めることもできます．

∫wnsin3x dx=∫wnsin2xsinx dx

=∫wn(1−cos2x)sinx dx

cosx=tとおくと

dtdxnn=−sinx

∫wn(1−cos2x)sinx dx=∫wn(1−t2)sinx.

dt(−sinx)nnnnnn

=∫wn(t2−1)dt=.

t33n−t+C=.

cos3x3nnnn−cosx+C..(#2)

cos3xの３倍角公式を使って変形すると，(#1)と(#2)とは同じ式であることが分かります．

(*1.4)←
半角公式（=２倍角公式）を２回使って，被積分関数を書き換えるとできます．

sin2x=.

1−cos2x2nnnnnnnnにより

sin4x=(.

1−cos2x2nnnnnnnn)2=.

14n(1−2cos2x+cos22x)

14n(1−2cos2x+.

1+cos4x2nnnnnnnn)

38n−.

12ncos2x+.

18ncos4x

∫wnsin4x dx=.

38nx−.

14nsin2x+.

132nnsin4x+C…(#3)

この積分は(*1.7)を使って求めることもできます．

In=∫wnsinnx dxとおくと

In=−.

sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnIn−2 (n=2,3,4,..)…(*1.7)

により，I0→I2→I4→...と順に求めることができます．

I0=∫wnsin0x dx=∫wn1 dx=x+C

I2=−.

sinxcosx2nnnnnnnn+.

12nx+C

I4=−.

sin3xcosx4nnnnnnnn+.

34n(−.

sinxcosx2nnnnnnnn+.

12nx)+C

=−.

sin3xcosx4nnnnnnnn−.

38nsinxcosx+.

38nx+C…(#4)

sin3xの３倍角公式，２倍角公式を使って変形すると，(#3)と(#4)とは同じ式であることが分かります．

(*1.5)←

∫wnsin5x dx=∫wn(1−cos2x)2sinx dxから(*1.6)または

(２倍角公式を２回)使うことにより

∫wnsin5x dx=−.

15ncos5x+.

23ncos3x−cosx+C…(#5)

- - -

In=−.

sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnIn−2 (n=2,3,4,..)

により， I1→I3→I5→...の順に求めるときは，

I1=∫wnsin1x dx=−cosx+C

I3=−.

sin2xcosx3nnnnnnnn+.

23nI1

を使って

∫wnsin5x dx=−.

15nsin4xcosx−.

415nnsin2xcosx−.

815nncosx+C

…(#6)
となります．(#5)と(#6)は，sin2x=1−cos2xを使って変形すると，同じ式であることが分かります．

(*1.6)←

∫wnf(cosx)sinx dx→cosx=tとおいて置換積分すると

dtdxnn=−sinx

∫wnf(cosx)sinx dx=∫wnf(t)sinx.

dt(−sinx)nnnnnn=−∫wnf(t)dt

=−F(t)+C=−F(cosx)+Cのようにf(t)の不定積分を求める問題となります．

［例］
cosx≧0の区間で

∫wn.

√cosx√nnnnisinx dx

=−∫wn.

√t√nidt=−.

23nt.

√t√ni+C=−.

23ncosx.

√cosx√nnnni+C

∫wncos4xsinx dx=∫wnt4sinx.

dt(−sinx)nnnnnn=−∫wnt4dt

=−.

cos5x5nnnnn+C

∫wnsin2n+1x dx=∫wnsin2nxsinx dx=∫wn(1−cos2x)nsinx dx

一般に

∫wncosnxsinx dx=−.

cosn+1xn+1nnnnnn+Cとなります．

(注)←
0<k<1のとき

∫wn.

√1−k2sin2x√nnnnnnnninnnnnnnnndxや∫wn.

√1−k2sin2x√nnnnnnnnidx

の形をした不定積分は，各々第1種及び第2種楕円積分と呼ばれ，初等的には求められないことが知られています．（定積分は数値積分により近似値を求めることができます．）

(*1.7)←

In=∫wnsinnx dx=∫wnsinn−1xsinx dxとして部分積分を行う

f(x)=sinn−1x	f’(x)=(n−1)sinn−2xcosx
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

∫wnf(x)g’(x) dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x) dxにより

In=sinn−1x(−cosx)−∫wn(n−1)sinn−2xcosx(−cosx)dx

=−sinn−1xcosx+(n−1)∫wnsinn−2xcos2x dx

=−sinn−1xcosx+(n−1)∫wnsinn−2x(1−sin2x)dx

=−sinn−1xcosx+(n−1)(∫wnsinn−2x dx−∫wnsinnx dx)

In=−sinn−1xcosx+(n−1)(In−2−In )
nIn=−sinn−1xcosx+(n−1)In−2

In=−.

sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnIn−2 (n=2,3,4,..)

(*1.8)←

∫wn.

dxsinxnnnn=∫wn.

12sin.

x2ncos.

x2nnnnnnnnnnndx=∫wn.

12n.

1cos2.

x2nnnnntan.

x2nnnnnnnndx

=∫wn.

(tan.

x2n)’tan.

x2nnnnnnnndx=log|tan.

x2n|+C

(*1.6)を用ると次のように計算できます.

∫wn.

dxsinxnnnn=∫wn.

sinxsin2xnnnndx=∫wn.

sinx1−cos2xnnnnnnndx=Iとおく

cosx=tとおいて置換積分すると

dtdxnn=−sinxだから

I=∫wn.

sinx1−t2nnnn.

dt(−sinx)nnnnnn=∫wn.

1t2−1nnnndt=.

12n∫wn( .

1t−1nnn−.

1t+1nnn )dt

12n(log|t−1|−log|t+1|)+C=.

12nlog|.

t−1t+1nnn|+C

12nlog|.

cosx−1cosx+1nnnnnn|+C=.

12nlog(.

1−cosx1+cosxnnnnnn)+C

(*1.9)←

ddxnn(.

1tanxnnnn)=.

ddxnn(.

cosxsinxnnnn)=.

(−sinx)sinx−(cosx)cosxsin2xnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

=−.

1sin2xnnnnの両辺を積分して符号を変えれば示されます．

(*1.10)←
(*1.6)を使った置換積分になります．
［例］

∫wn.

dxsin3xnnnnn=∫wn.

sinxsin4xnnnnn dx

=∫wn.

sinx(1−cos2x)2nnnnnnnnndx=−∫wn.

dt(t2−1)2nnnnnn=Iとおく

（部分分数分解を行う）
$\frac{1}{(t^2-1)^2}=\frac{A}{(t-1)^2}+\frac{B}{t-1}+\frac{C}{(t+ 1)^2}+\frac{D}{t+ 1}$
とおき,展開整理して係数比較を行うことにより $A,B,C,D$ を求める．

なお， $\frac{1}{(t-1)^2}$ のように，重解型になっている式を部分分数分解するには，分母の次数が1次になるまで「子分」も並べなければならない

$A=C=D=\frac{1}{4},\hspace{5}B=-\frac{1}{4}$ となるから
$\int\frac{1}{(t^2-1)^2}dt$
$=\frac{1}{4}\int$\frac{1}{(t-1)^2}-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{(t+ 1)^2}+\frac{1}{t+ 1}$dt$
$=\frac{1}{4}$-\frac{1}{t-1}-\log|t-1|-\frac{1}{t+ 1}+\log|t+ 1|$+ C$
$=\frac{1}{4}$-\frac{1}{t-1}-\log|t-1|-\frac{1}{t+ 1}+\log|t+ 1|$+ C$
$I=\frac{1}{4}$\frac{1}{t-1}+\log|t-1|+\frac{1}{t+ 1}-\log|t+ 1|$+ C$
$=\frac{1}{4}$\frac{1}{\cos x-1}+\frac{1}{\cos x+ 1}+\log\frac{|\cos x-1|}{|\cos x+ 1|}$+ C$
$=\frac{1}{4}$\frac{1}{\cos x-1}+\frac{1}{\cos x+ 1}+\log\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$+ C$

なお， $-1\underline{\le}\cos x\underline{\le}1$ だから，つねに $1-\cos x\underline{\ge}0,\hspace{5}1+\cos x\underline{\ge}0$ となり，絶対値記号を使わずに表せる

(*1.11)←
次の部分積分を行います．

f(x)=x	f’(x)=1
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

∫wnxsinx dx=−xcosx−∫wn(−cosx)dx

=−xcosx+∫wncosx dx=−xcosx+sinx+C

(*1.12)←
部分積分を２回行います．

f(x)=x2	f’(x)=2x
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

∫wnx2sinx dx=−x2cosx−∫wn(−2xcosx)dx

=−x2cosx+2∫wnxcosx dx=Iとおく

p(x)=x	p’(x)=1
q’(x)=cosx	q(x)=sinx

I=−x2cosx+2(xsinx−∫wnsinx dx)

I=−x2cosx+2xsinx+2cosx+C

(*1.13)←
nが小さな整数の場合は，(*1.11)(*1.12)のようにxnを微分する側に選んで，それが定数になるまで部分積分を行うとできますが，nが大きい整数であるときは，次のような漸化式を作って，Inを順に求めて行くことができます．

In=∫wnxnsinx dxとおく(n≧2)

f(x)=xn	f’(x)=nxn−1
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

In=∫wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x)dx

=−xncosx−∫wnnxn−1(−cosx)dx

=−xncosx+n∫wnxn−1cosx dx

p(x)=xn−1	p’(x)=(n−1)xn−2
q’(x)=cosx	q(x)=sinx

In=−xncosx+n(xn−1sinx−∫wn(n−1)xn−2sinx dx)

=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2

これにより，

I0=−cosx+C→I2→I4→...の順に求めます．
I1=−xcosx+sinx+C→I3→I5→...の順に求めます．

(*1.14)←
部分積分を２回行い「方程式のように解きます」．

I=∫wnexsinx dxとおく

f(x)=ex	f’(x)=ex
g’(x)=sinx	g(x)=−cosx

I=∫wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x)dx

=−excosx−∫wnex(−cosx)dx=exsinx+∫wnexcosx dx

p(x)=ex	p’(x)=ex
q’(x)=cosx	q(x)=sinx

I=−excosx+exsinx−∫wnexsinx dx

I=−excosx+exsinx−I
2I=−excosx+exsinxだから

I=.

12nex(sinx−cosx)+C

(*1.15)(*1.16)←
　係数に注意すれば(*1.14)と同様の方法で求められます．

a, b≠0のとき，I=∫wneaxsinbx dxを求めてみると

f(x)=eax	f’(x)=aeax
g’(x)=sinbx	g(x)=−.cosbxbnnnnn

I=∫wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x)dx

=−.

1bneaxcosbx+.

abn∫wneaxcosbx dx

p(x)=eax	p’(x)=aeax
q’(x)=cosbx	q(x)=.sinbxbnnnn

I=−.

1bneaxcosbx+.

abn(.

1bneaxsinbx−.

abn∫wneaxsinbx dx)

=−.

1bneaxcosbx+.

ab2nneaxsinbx−.

a2b2nnI

b2I=−beaxcosbx+aeaxsinbx−a2I
(a2+b2)I=−beaxcosbx+aeaxsinbx

I=.

1a2+b2nnnnneax(asinbx−bcosbx)

したがって

∫wneaxsinbx dx=.

1a2+b2nnnnneax(asinbx−bcosbx) (a, b≠0)

この式でa=2, b=3とおけば(*1.15)，a=−1, b=1とおけば(*1.16)になります．

(*1.17)←
(x+sinx)’=1+cosxだから

∫wn.

1+cosxx+sinxnnnnnndx=∫wn.

(x+sinx)’x+sinxnnnnnnnndx=log|x+sinx|+C

(*1.18)←
(1+sin2x)’=2sinxcosx=sin2xだから

∫wn.

sin2x1+sin2xnnnnnndx=∫wn.

(1+sin2x)’1+sin2xnnnnnnnndx=log(1+sin2x)+C

(*1.19)←

(tanx)’=.

1cos2xnnnnだから

∫wn.

dxcos2xtanxnnnnnnnn=∫wn.

(tanx)’tanxnnnnnndx=log|tanx|+C

(*1.20)←

tanαの２倍角公式：tan2α=.

2tanα1−tan2αnnnnnnnにより

tan.

x2n=tとおけば，

.tanx=.

2t1−t2nnnn

また，cosαの２倍角公式：cos2α=2cos2α−1と三角関数の相互関係： sin2α+cos2α=1 → 1+tan2α=.

1cos2αnnnnを使うと

.cos2α=2.

11+tan2αnnnnnn−1=.

1−tan2α1+tan2αnnnnnn

となるから

.cosx=.

1−t21+t2nnnn

sinx=tanxcosxだから

.sinx=.

2t1−t2nnnn.

1−t21+t2nnnn=.

2t1+t2nnnn

　このように，sinx, cosx, tanxは，すべてtan.

x2n=tで表される

ので，sinx, cosx, tanxを含んだ式tan.

x2n=tおとけば，tの積分

となります．（他の方法では不定積分が求められないときでも，この方法で求められます．ただし，他の方法でも求められるような問題にこの方法を使うと，途中経過が煩雑となって，かえって困ってしまうことがありますので，何でもこれでやればよいという訳ではないことに注意）
［例］

∫wn.

dx1−sinxnnnnnn=Iとおくと

tan.

x2n=tとおけば，

sinx=.

2t1+t2nnnn

dtdxnn=.

12n.

1cos2.

x2nnnnnn=.

1+t22nnnn

dx=.

21+t2nnnndt

I=∫wn.

11−.

2t1+t2nnnnnnnnnn.

21+t2nnnndt=∫wn.

2(t−1)2nnnnndt=−.

2t−1nnn+C

21−tan.

x2nnnnnnn+C…(#7)

［よくない例］
「これを使えば三角関数の不定積分はほとんどできる」というのを真に受けると，次のような簡単な問題でもできるはずですが･･･気の遠くなるような長い答案になります．

∫wnsinx dx

tan.

x2n=tとおけば，sinx=.

2t1+t2nnnndx=.

21+t2nnnndt

∫wnsinx dx=∫wn.

2t1+t2nnnn.

21+t2nnnndt=∫wn.

4t(1+t2)2nnnnnndt

t2+1=sとおけば，.

dsdtnn=2t

∫wn.

4ts2nn.

ds2tnn=∫wn.

2s2nds=−.

2sn+C=−.

21+t2nnnn+C

=−.

21+tan2.

x2nnnnnnn+C=−2cos2.

x2n+C

=−2(.

1+cosx2nnnnnnn)+C=−1−cosx+C

ここで，−1+C=C’とおくと

∫wnsinx dx=−cosx+C’

となります．（準備も後始末も大変で，もうこりごり＃）

なお，この種の問題に広く使える訳ではないが，この問題についてだけ使える変形として，次の答案が考えられる．

∫wn.

dx1−sinxnnnnnn=∫wn.

1+sinx1−sin2xnnnnnndx=∫wn.

1+sinxcos2xnnnnnndx

=∫wn.

1cos2xnnnndx+∫wn.

sinxcos2xnnnndx=tanx+.

1cosxnnnn+C’…(#8)

第2項はcosx=tとおいて置換積分する．

∫wn.

sinxcos2xnnnndx=∫wn.

sinxt2nnnn.

dt−sinxnnnnn=−∫wnt−2dt

=t−1+C=.

1cosxnnnn+C

(#7)と(#8)の関数の部分はそのままでは一致しない．

tanx+.

1cosxnnnn+C’=.

2t1−t2nnnn+.

1+t21−t2nnnn+C’=.

(1+t)21−t2nnnnn+C’

1+t1−tnnn+C’=−.

t+1t−1nnn+C’=−(1+.

2t−1nnn)+C’=.

21−tan.

x2nnnnnnn−1+C’

任意定数をC=C’−1とすると，等しくなります．

　以下の問題は，この頁のどこかに書かれている内容か，または，それを少しだけ変形したものです．正しい番号を選択してください．

［問題１］

次の不定積分を求めてください．

.∫wnsin2x dx

12sinxcosx+C 2.

sin3x3nnnn+C

3−.

14nsin2x+.

x2n+C 4.

14nsin2x−.

x2n+C

解説

…(*1.2)

→3

［問題２］

次の不定積分を求めてください．

.∫wncos3xsinx dx

sin4x4nnnn+C 2−.

cos4x4nnnn+C

112nnsin3x−.

34nsinx+C

112nncos3x−.

34ncosx+C

解説

…(*1.6)

→2

［問題３］

次の不定積分を求めてください．

.∫wnxsinx dx

1xcosx+sinx+C 2xcosx−sinx+C

3cosx−xsinx+C 4sinx−xcosx+C

解説

…(*1.11)

→4

［問題４］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

1+cosxx+sinxnnnnnndx

1log|x+sinx|+C 2log|1+cosx|+C

3log|.

1x+sinxnnnnnn|+C 4log|.

11+cosxnnnnnn|+C

解説

…(*1.17)

→1

［問題５］

次の不定積分を求めてください．

.∫wnsin3x dx

sin4x4nnnn+C 2.

cos4x4nnnn+C

sin3x3nnnn−sinx+C 4.

cos3x3nnnn−cosx+C

解説

…(*1.3)の解説にある別表記参照

→4

［問題６］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

dxsinxnnnn

1−.

1tanxnnnn+C 2.

2sin2xnnnn+C

12nlog(.

1−cosx1+cosxnnnnnn )+C 4log|tanx|+C

解説

…(*1.8)の解説にある別表記参照

→3

［問題７］

In=∫wnxnsinx dx (n≧2)とおくとき，次のどの漸化式が

成り立ちますか．

1In=−.

sinn−1xcosxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnIn−2

2In=.

sinxcosn−1xnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnIn−2

3In=−xncosx+nxn−1sinx−n(n−1)In−2

4In=.

1n−1nnntann−1−In−2

解説

…(*1.13)の解説参照

→3

［問題８］

次の不定積分を求めてください．

.∫wne−xsinx dx

12ne−x(sinx+cosx)+C

2−.

12ne−x(sinx+cosx)+C

12ne−x(sinx−cosx)+C

4−.

12ne−x(sinx−cosx)+C

解説

…(*1.16)の解説参照

→2

［問題９］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

dxsin2xnnnn

1−.

1tanxnnnn+C 2−tanx+C

1cos2xnnnn+C 41+.

1tan2xnnnn+C

解説

…(*1.9)の解説参照

→1

［問題10］

次の不定積分を求めてください．

.∫wn.

dx1+sinxnnnnnn

1tan.

x2n+C 2.

21−cos.

x2nnnnnnn+C

3tanx−.

1cosxnnnn+C 4tanx+.

1cosxnnnn+C

解説

…(*1.20)の解説(#8)参照

∫wn.

dx1+sinxnnnnnn=∫wn.

1−sinx1−sin2xnnnnnndx=∫wn.

1−sinxcos2xnnnnnndx

=∫wn.

1cos2xnnnndx−∫wn.

sinxcos2xnnnndx=tanx−.

1cosxnnnn+C

第2項はcosx=tとおいて置換積分する．

∫wn.

sinxcos2xnnnndx=∫wn.

sinxt2nnnn.

dt−sinxnnnnn=−∫wnt−2dt

=t−1+C=.

1cosxnnnn+C

→3

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