 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 大区分 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 中区分 *** ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima ※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
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【sinx,cosxに関する不定積分≪いくつか≫】
○［積は和に直してから積分する］
（解説）∫sinaxcosbx dx=  12∫{sin(a+b)x+sin(a−b)x}dx
…(*3.1)
∫cosaxcosbx dx=12∫{cos(a+b)x+cos(a−b)x}dx
…(*3.2)
∫sinaxsinbx dx=−12∫{cos(a+b)x−cos(a−b)x}dx
…(*3.3)
※∫cosaxsinbx dxの公式も作ってもよいが，(*3.1)を前後
入れ替えて読めばできます．○［sinxcosxは 12sin2xに直してから積分する］∫xsinxcosx dx=− 14xcos2x+18sin2x+C…(*3.4)
∫exsinxcosx dx=110ex(sin2x−2cos2x)+C…(*3.5)
∫dxsinxcosx=log|tanx|+C…(*3.6)
○［∫f(g(x))g’(x)dx→∫f(t)dtに置換積分］∫esin xcosx dx=esin x+C…(*3.7) ∫ecos xsinx dx=−ecos x+C…(*3.8) ∫cosxlog(sinx) dx=sinxlog(sinx)−sinx+C…(*3.9) ○［sin（奇数）x cos（整数）x→奇数の側を１枚外して置換積分］ ［例］∫sin3x cos6x dx= 19cos9x−17cos7x+C…(*3.10)
○［sin（整数）x cos（奇数）x→奇数の側を１枚外して置換積分］［例］∫ cos3xsin4xdx=1sinx−13sin3x+C…(*3.11)
※sinx, cosxの両方とも奇数乗の場合は，上記のどちらでもできます．
［例］∫cos3x sin3x dx=16cos6x−14cos4x+C=− 16sin6x+14sin4x+C’…(*3.12)○［sin（偶数）x cos（偶数）x→漸化式により次数を下げる］ Im, n=∫sinmx cosnx dx (m,n≠0, m+n≠0)とおくとき Im, n= sinm+1x cosn−1xm+n+n−1m+nIm, n−2…(*3.13)により
Im,0→Im,2→Im,4→または
Im, n=−Im,1→Im,3→Im,5→の順に求める． sinm−1x cosn+1xm+n+m−1m+nIm−2, n…(*3.14)により
I0,n→I2,n→I4,n→または
I1,n→I3,n→I5,n→の順に求める． なお，この公式は次のようなm, n<0の整数の場合（分数関数になる場合）にも成り立つ．ただし，途中経過や結果で係数の分母が０となる組合せには適用できない． ∫ 1sinpx cosqx dx （m=−p, n=−q）この場合には，順次次数を上げることによって簡単な式に帰着させるために，上記２つの式を逆に解いた形を使えばよい． Im, n−2=− sinm+1x cosn−1xn−1+m+nn−1Im, n…(*3.15)により
Im,0→Im,−2→Im,−4→または
Im−2, n=Im,−1→Im,−3→Im,−5→の順に求める． sinm−1x cosn+1xm−1+m+nm−1Im, n…(*3.16)により
I0,n→I−2,n→I−4,n→または
I−1,n→I−3,n→I−5,n→の順に求める． (*3.1)← ２つの関数の積になっている被積分関数を積分するときに， ∫f(x)g(x)dx そのままの形では不定積分が求めにくい場合には，部分積分や置換積分を使って関数形を変えて試みるのが１つの方法ですが，三角関数の積では「積を和に直す公式」を利用することにより，より簡単に不定積分を求めることができます． 一般に，被積分関数が和になっているとき，その不定積分は分けて求めることができます． ∫{ f(x)+g(x) }dx=F(x)+G(x)+C 三角関数の加法定理を利用すれば，次のように変形できます． sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…(A) sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ…(B) (A)+(B) sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ だから sinαcosβ= 12{sin(α+β)+sin(α−β)}これにより ∫sinaxcosbx dx= 12∫{sin(a+b)x+sin(a−b)x}dx［例］ ∫sin4xcos2x dx= 12∫{sin6x+sin2x}dx= 12{−16cos6x−12cos2x}+C=−112cos6x−14cos2x+C(*3.2)(*3.3)← cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ…(C) cos(α−β)=cosαcosβ−sinαsinβ…(D) (C)+(D) cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ だから cosαcosβ= 12{cos(α+β)+cos(α−β)}これにより ∫cosaxcosbx dx= 12∫{cos(a+b)x+cos(a−b)x}dx［例］ ∫cos3xcosx dx= 12∫{cos4x+cos2x}dx= 12{14sin4x+12sin2x}+C=18sin4x+14sin2x+Cまた (C)−(D) cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ だから sinαsinβ=− 12{cos(α+β)−cos(α−β)}これにより ∫sinaxsinbx dx=− 12∫{cos(a+b)x−cos(a−b)x}dx［例］ ∫sin3xsin7x dx=− 12∫{cos10x−cos4x}dx※cos(−θ)=cosθだからcos(−4x)=cos4x
=−12{110sin10x−14sin4x}+C=− 120sin10x+18sin4x+C(*3.4)← ２倍角公式によりsin2x=2sinxcosxだから sinxcosx= 12sin2xこれにより，被積分関数を２つの関数の積に直します． ∫xsinxcosx dx= 12∫xsin2x dx=I
多項式（ここではx）を微分する側に選んで，部分積分を行います．
12(−12xcos2x+12∫cos2x dx)= 12(−12xcos2x+14sin2x)+C=− 14xcos2x+18sin2x+C |
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(*3.5)← ∫exsinxcosx dx= 12∫exsin2x dx=12Iとおく部分積分を２回行って，Iの方程式を作って解きます．
12excos2x+12∫excos2x dx
12excos2x+12(12exsin2x−12∫exsin2x dx)
=−12excos2x+14exsin2x−14∫exsin2x dx
=−12excos2x+14exsin2x−14I
54I=−12excos2x+14exsin2x
I=−25excos2x+15exsin2x+C’
したがって∫exsinxcosx dx= 12I=−15excos2x+110exsin2x+C(*3.6)← ∫ dxsinxcosx=∫2sin2xdx=Iとおくここで，［→この頁］の結果から ∫ 1sinxdx=log|tanx2|+Cが成り立つ．したがって2x=tとおくと I=∫ 2sintdt2=log|tant2|+C=log|tanx|+C(*3.7)← ∫esin xcosx dxについて t=sinxにより置換積分を行うと， dtdx=cosxだから
∫esin xcosx dx=∫etcosx dtcosx=∫et dt=et+C=esin x+C (*3.8)← ∫ecos xsinx dxについて t=cosxにより置換積分を行うと， dtdx=−sinxだから
∫ecos xsinx dx=∫etsinx dt−sinx=−∫et dt=−et+C=−ecos x+C (*3.9)← ∫cosxlog(sinx) dxについて t=sinxにより置換積分を行うと， dtdx=cosxだから
∫cosxlog(sinx) dx=∫cosxlogt dtcosx
=∫logt dt=tlogt−t+C=sinxlog(sinx)−sinx+C
(*3.10)←∫sin3x cos6x dx=∫sin2x cos6xsinx dx =∫(1−cos2x)cos6xsinx dx=Iとおく
ここで，cosx=tとおく置換積分を行います．
cosx=tとおくと，（→f(cosx)sinx形として覚える方法もあります．） dtdx=−sinx→sinx dx=−dtだから
I=∫(1−t2)t6(−dt)=∫(t8−t6)dt=t99−t77+C= 19cos9x−17cos7x+C(*3.11)← ∫ cos3xsin4xdx=∫cos2xsin4xcosx dx=∫1−sin2xsin4xcosx dx=I
ここで，sinx=tとおく置換積分を行います．
sinx=tとおくと，（→f(sinx)cosx形として覚える方法もあります．） dtdx=cosx→cosx dx=dtだから
I=∫1−t2t4dt=∫(1t4−1t2)dt=∫(t−4−t−2)dt
=1−3t−3−1−1t−1+C=−13t3+1t+C=1sinx−13sin3x+C
(*3.12)←∫cos3x sin3x dx=Iとおく I=∫cos3x sin2xsinx dx=∫cos3x(1−cos2x)sinx dx =−∫t3(1−t2)dt=∫(t5−t3)dt= 16t6−14t4+C= 16cos6x−14cos4x+C…(#1)また I=∫cos2x sin3xcosx dx=∫(1−sin2x)sin3xcosx dx =∫t3(1−t2)dt=∫(t3−t5)dt= 14t4−16t6+C= 14sin6x−16sin6x+C’…(#2)sin2=1−cos2の関係を使えば，(#1)と(#2)は等しいことがわかり ます．ただし， C’とCとは定数項 112だけの差があります．(*3.13)← まず，次の積分を覚えておきます． ∫sinmxcosx dx= sinm+1xm+1+C
（証明）
Im, n=∫sinmx cosnx dx (m,n≠0, m+n≠0)とおくときsinx=tとおく置換積分により dtdx=cosx→cosx dx=dtとなるから∫sinmxcosx dx=∫tmdt= tm+1m+1+C=sinm+1xm+1+Ccosnxをcosn−1xcosxに分けて，次の形で部分積分を行います．
Im, n=cosn−1x sinm+1xm+1+∫(n−1)cosn−2xsinx sinm+1xm+1dx= sinm+1x cosn−1xm+1+n−1m+1∫sinm+2x cosn−2x dxここで，sin2x=1−cos2xにより，sinm+2x=sinmx(1−cos2x) と変形すると Im, n= sinm+1x cosn−1xm+1+n−1m+1∫
sinmx(1−cos2x)cosn−2x dx= sinm+1x cosn−1xm+1+n−1m+1∫
(sinmx cosn−2x−sinmx cosnx)dx= sinm+1x cosn−1xm+1+n−1m+1(Im, n−2−Im, n )したがって (1+ n−1m+1)Im, n=sinm+1x cosn−1xm+1+n−1m+1Im, n−2m+nm+1Im, n=sinm+1x cosn−1xm+1+n−1m+1Im, n−2Im, n= sinm+1x cosn−1xm+n+n−1m+nIm, n−2※途中経過から考えて，m≠−1, m+n≠0でなければなりません． ［例］ この頁の記述により， Im,0=∫sinmx dxとおくと， Im,0=− sinm−1xcosxm+m−1mIm−2,0 (n=2,3,4,..)
I0,0=∫sin0x dx=∫dx=x+C
そこで，上記の(*3.13)を用いてI2,0=− sinxcosx2+12S0=−sinxcosx2+12x+C
I4,0=−sin3xcosx4+34I2,0=− sin3xcosx4+34(−sinxcosx2+12x)+C
=−sin3xcosx4−38sinxcosx+38x+C
I4,2=
(*3.14)も同様にして示される．sin5x cosx6+16I4,0= sin5x cosx6−sin3xcosx24−116sinxcosx+116x+C
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以下の問題は，この頁のどこかに書かれている内容か，または，それを少しだけ変形したものです．正しい番号を選択してください．
［問題１］
次の不定積分を求めてください． ∫sin2xsin3x dx 1 12cosx+110cos5x+C2 12sinx−110sin5x+C3− 12(cos5x−cosx)+C4− 12(sin52x−sin12x)+C
解説
…(*3.3)により
∫sin2xsin3x dx=− 12∫{cos5x−cosx}dx※cos(−θ)=cosθだからcos(−x)=cosx
=−12{15sin5x−sinx}+C=− 110sin5x+12sinx+C→2
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［問題２］
次の不定積分を求めてください． ∫cos3xsin5x dx 1 116sin8x+14sin2x+C2− 116sin8x−14sin2x+C3 116cos8x+14cos2x+C4− 116cos8x−14cos2x+C
解説
…(*3.1)
sin5xcos3x= 12{sin8x+sin2x}だから，その積分は 12{−18cos8x−12cos2x}+C=−116cos8x−14cos2x+C→4
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［問題３］
次の不定積分を求めてください． ∫cos2xcos5x dx 1 17sin72x+13sin32x+C2 17cos72x+13cos32x+C3 114sin7x+16sin3x+C4 114cos7x+16cos3x+C
解説
…(*3.2)
cos2xcos5x= 12{cos7x+cos3x}cos(−θ)=cosθ → cos(−3x)=cos3x
だから，その積分は12{17sin7x+13sin3x}+C=114sin7x+16sin3x+C→3
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…(*3.6)
→1
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［問題５］
次の不定積分を求めてください． ∫xsinxcosx dx 1 14xcos2x+18sin2x+C2 14xcos2x−18sin2x+C3− 14xcos2x+18sin2x+C4− 14xcos2x−18sin2x+C
解説
…(*3.4)
→3
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［問題６］
次の不定積分を求めてください． ∫exsinxcosx dx 1 110ex(sin2x+2cos2x)+C
2 110ex(sin2x−2cos2x)+C3 110ex(cos2x+2sin2x)+C
4 110ex(cos2x−2sin2x)+C
解説
…(*3.5)
→2
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…(*3.8)
→4
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［問題８］
次の不定積分を求めてください． ∫sin3x cos6x dx 1 19cos9x−17cos7x+C2 19sin9x−17sin7x+C3 14cos4x−17cos7x+C4 14sin4x−17sin7x+C
解説
…(*3.10)
→1
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［問題９］
Im, n=∫sinmx cosnx dx (m,n≠0, m+n≠0)とおくとき， 次のどの漸化式が成り立ちますか． 1I6,4= sin5x cos5x10+310I6,22I6,4=− sin5x cos5x10+310I6,23I6,4= sin7x cos3x10+310I6,24I6,4=− sin7x cos3x10+310I6,2
解説
…(*3.13)においてm=6, n=4を代入します．
→3
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［問題10］
Im, n=∫sinmx cosnx dx (m,n≠0, m+n≠0)とおくとき， 次のどの漸化式が成り立ちますか． 1I4,2= sin5x cosx5+85I6,22I4,2=− sin3x cos3x5+85I6,23I4,2= sin5x cos3x5+85I6,24I4,2=− sin5x cos3x5+85I6,2
解説
…(*3.16)においてm=6, n=2を代入します．（この式はm, n>0のときも成り立ちます）
→3
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[sinx,cosxに関する不定積分について／17.2.10］
このページ含めインテグラルのあるページについて、インテグラルと式の間にかなりスパンがあり、左側の文字に被って見えなくなっているところがあります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Chromeで読んでおられるようですが,ブラウザごとバージョンごとに見え方に違いがありますが，目立つところは直しておきます．なおインテグラルと式の間のスパンは積分区間の下端と上端を書き込むために少しは必要です．問題はさじ加減です． |
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