sinx,cosxの不定積分

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ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計 maxima

※高卒から大学初年度レベルの「積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓log xの不定積分
↓sin xの不定積分
↓cos xの不定積分
↓sin x,cos xの不定積分-現在地
↓tan x,cot xの不定積分

↓回転体の体積

↓広義積分

↓重積分
↓簡単な重積分の計算
↓長方形以外の領域での重積分
↓積分順序の変更
変数変換：ヤコビ行列式

== sinx,cosxに関する不定積分 ==
【sinx,cosxに関する不定積分≪いくつか≫】

○［積は和に直してから積分する］

∫wnsinaxcosbx dx=.

12n∫wn{sin(a+b)x+sin(a−b)x}dx

…(*3.1)

∫wncosaxcosbx dx=.

12n∫wn{cos(a+b)x+cos(a−b)x}dx

…(*3.2)

∫wnsinaxsinbx dx=−.

12n∫wn{cos(a+b)x−cos(a−b)x}dx

…(*3.3)

※∫wncosaxsinbx dxの公式も作ってもよいが，(*3.1)を前後

入れ替えて読めばできます．

○［sinxcosxは.

12nsin2xに直してから積分する］

∫wnxsinxcosx dx=−.

14nxcos2x+.

18nsin2x+C…(*3.4)

∫wnexsinxcosx dx=.

110nnex(sin2x−2cos2x)+C…(*3.5)

∫wn.

dxsinxcosxnnnnnnnn=log|tanx|+C…(*3.6)

○［∫wnf(g(x))g’(x)dx→∫wnf(t)dtに置換積分］

∫wnesin xcosx dx=esin x+C…(*3.7)

∫wnecos xsinx dx=−ecos x+C…(*3.8)

∫wncosxlog(sinx) dx=sinxlog(sinx)−sinx+C…(*3.9)

○［sin（奇数）x cos（整数）x→奇数の側を１枚外して置換積分］

［例］∫wnsin3x cos6x dx=.

19ncos9x−.

17ncos7x+C…(*3.10)

○［sin（整数）x cos（奇数）x→奇数の側を１枚外して置換積分］

［例］∫wn.

cos3xsin4xnnnnndx=.

1sinxnnnn−.

13sin3xnnnnn+C…(*3.11)

※sinx, cosxの両方とも奇数乗の場合は，上記のどちらでもできます．

［例］∫wncos3x sin3x dx=.

16ncos6x−.

14ncos4x+C

=−.

16nsin6x+.

14nsin4x+C’…(*3.12)

○［sin（偶数）x cos（偶数）x→漸化式により次数を下げる］

Im, n=∫wnsinmx cosnx dx (m,n≠0, m+n≠0)とおくとき

Im, n=.

sinm+1x cosn−1xm+nnnnnnnnnnnnn+.

n−1m+nnnnnIm, n−2…(*3.13)により

Im,0→Im,2→Im,4→または
Im,1→Im,3→Im,5→の順に求める．

Im, n=−.

sinm−1x cosn+1xm+nnnnnnnnnnnnn+.

m−1m+nnnnnIm−2, n…(*3.14)により

I0,n→I2,n→I4,n→または
I1,n→I3,n→I5,n→の順に求める．

なお，この公式は次のようなm, n<0の整数の場合（分数関数になる場合）にも成り立つ．ただし，途中経過や結果で係数の分母が０となる組合せには適用できない．

∫wn.

1sinpx cosqxnnnnnnnnnn dx　（m=−p, n=−q）

この場合には，順次次数を上げることによって簡単な式に帰着させるために，上記２つの式を逆に解いた形を使えばよい．

Im, n−2=−.

sinm+1x cosn−1xn−1nnnnnnnnnnnnn+.

m+nn−1nnnnIm, n…(*3.15)により

Im,0→Im,−2→Im,−4→または
Im,−1→Im,−3→Im,−5→の順に求める．

Im−2, n=.

sinm−1x cosn+1xm−1nnnnnnnnnnnnn+.

m+nm−1nnnnIm, n…(*3.16)により

I0,n→I−2,n→I−4,n→または
I−1,n→I−3,n→I−5,n→の順に求める．

（解説）
(*3.1)←
　２つの関数の積になっている被積分関数を積分するときに，

.∫wnf(x)g(x)dx

そのままの形では不定積分が求めにくい場合には，部分積分や置換積分を使って関数形を変えて試みるのが１つの方法ですが，三角関数の積では「積を和に直す公式」を利用することにより，より簡単に不定積分を求めることができます．
　一般に，被積分関数が和になっているとき，その不定積分は分けて求めることができます．

.∫wn{ f(x)+g(x) }dx=F(x)+G(x)+C

　三角関数の加法定理を利用すれば，次のように変形できます．
.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…(A)
.sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ…(B)
(A)+(B)
.sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ
だから

sinαcosβ=.

12n{sin(α+β)+sin(α−β)}

これにより

∫wnsinaxcosbx dx=.

12n∫wn{sin(a+b)x+sin(a−b)x}dx

［例］

∫wnsin4xcos2x dx=.

12n∫wn{sin6x+sin2x}dx

12n{−.

16ncos6x−.

12ncos2x}+C=−.

112nncos6x−.

14ncos2x+C

(*3.2)(*3.3)←
.cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ…(C)
.cos(α−β)=cosαcosβ−sinαsinβ…(D)
(C)+(D)
.cos(α+β)+cos(α−β)=2cosαcosβ
だから

cosαcosβ=.

12n{cos(α+β)+cos(α−β)}

これにより

∫wncosaxcosbx dx=.

12n∫wn{cos(a+b)x+cos(a−b)x}dx

［例］

∫wncos3xcosx dx=.

12n∫wn{cos4x+cos2x}dx

12n{.

14nsin4x+.

12nsin2x}+C=.

18nsin4x+.

14nsin2x+C

また
(C)−(D)
.cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ
だから

sinαsinβ=−.

12n{cos(α+β)−cos(α−β)}

これにより

∫wnsinaxsinbx dx=−.

12n∫wn{cos(a+b)x−cos(a−b)x}dx

［例］

∫wnsin3xsin7x dx=−.

12n∫wn{cos10x−cos4x}dx

※cos(−θ)=cosθだからcos(−4x)=cos4x

=−.

12n{.

110nnsin10x−.

14nsin4x}+C

=−.

120nnsin10x+.

18nsin4x+C

(*3.4)←
２倍角公式によりsin2x=2sinxcosxだから

.sinxcosx=.

12nsin2x

これにより，被積分関数を２つの関数の積に直します．

∫wnxsinxcosx dx=.

12n∫wnxsin2x dx=I

多項式（ここではx）を微分する側に選んで，部分積分を行います．

f(x)=x	f’(x)=1
g’(x)=sin2x	g(x)=−.12ncos2x

I=.

12n(−.

12nxcos2x+.

12n∫wncos2x dx)

12n(−.

12nxcos2x+.

14nsin2x)+C

=−.

14nxcos2x+.

18nsin2x+C

(*3.5)←

∫wnexsinxcosx dx=.

12n∫wnexsin2x dx=.

12nIとおく

部分積分を２回行って，Iの方程式を作って解きます．

f(x)=ex	f’(x)=ex
g’(x)=sin2x	g(x)=−.12ncos2x

I=−.

12nexcos2x+.

12n∫wnexcos2x dx

p(x)=ex	p’(x)=ex
q’(x)=cos2x	q(x)=.12nsin2x

I=−.

12nexcos2x+.

12n(.

12nexsin2x−.

12n∫wnexsin2x dx)

=−.

12nexcos2x+.

14nexsin2x−.

14n∫wnexsin2x dx

=−.

12nexcos2x+.

14nexsin2x−.

14nI

54nI=−.

12nexcos2x+.

14nexsin2x

I=−.

25nexcos2x+.

15nexsin2x+C’

したがって

∫wnexsinxcosx dx=.

12nI=−.

15nexcos2x+.

110nnexsin2x+C

(*3.6)←

∫wn.

dxsinxcosxnnnnnnnn=∫wn.

2sin2xnnnnndx=Iとおく

ここで，［→この頁］の結果から

∫wn.

1sinxnnnndx=log|tan.

x2n|+C

が成り立つ．したがって2x=tとおくと

I=∫wn.

2sintnnnn.

dt2nn=log|tan.

t2n|+C=log|tanx|+C

(*3.7)←

∫wnesin xcosx dxについて

t=sinxにより置換積分を行うと，.

dtdxnn=cosxだから

∫wnesin xcosx dx=∫wnetcosx .

dtcosxnnnn=∫wnet dt

=et+C=esin x+C

(*3.8)←

∫wnecos xsinx dxについて

t=cosxにより置換積分を行うと，.

dtdxnn=−sinxだから

∫wnecos xsinx dx=∫wnetsinx .

dt−sinxnnnnn=−∫wnet dt

=−et+C=−ecos x+C

(*3.9)←

∫wncosxlog(sinx) dxについて

t=sinxにより置換積分を行うと，.

dtdxnn=cosxだから

∫wncosxlog(sinx) dx=∫wncosxlogt .

dtcosxnnnn

=∫wnlogt dt=tlogt−t+C=sinxlog(sinx)−sinx+C

(*3.10)←

∫wnsin3x cos6x dx=∫wnsin2x cos6xsinx dx

=∫wn(1−cos2x)cos6xsinx dx=Iとおく

ここで，cosx=tとおく置換積分を行います．
（→f(cosx)sinx形として覚える方法もあります．）

cosx=tとおくと，.

dtdxnn=−sinx→sinx dx=−dtだから

I=∫wn(1−t2)t6(−dt)=∫wn(t8−t6)dt=.

t99n−.

t77n+C

19ncos9x−.

17ncos7x+C

(*3.11)←

∫wn.

cos3xsin4xnnnnndx=∫wn.

cos2xsin4xnnnncosx dx=∫wn.

1−sin2xsin4xnnnnnncosx dx=I

ここで，sinx=tとおく置換積分を行います．
（→f(sinx)cosx形として覚える方法もあります．）

sinx=tとおくと，.

dtdxnn=cosx→cosx dx=dtだから

I=∫wn.

1−t2t4nnnndt=∫wn(.

1t4n−.

1t2n)dt=∫wn(t−4−t−2)dt

1−3nnt−3−.

1−1nnt−1+C=−.

13t3nnn+.

1tn+C=.

1sinxnnnn−.

13sin3xnnnnn+C

(*3.12)←

∫wncos3x sin3x dx=Iとおく

I=∫wncos3x sin2xsinx dx=∫wncos3x(1−cos2x)sinx dx

=−∫wnt3(1−t2)dt=∫wn(t5−t3)dt=.

16nt6−.

14nt4+C

16ncos6x−.

14ncos4x+C…(#1)

また

I=∫wncos2x sin3xcosx dx=∫wn(1−sin2x)sin3xcosx dx

=∫wnt3(1−t2)dt=∫wn(t3−t5)dt=.

14nt4−.

16nt6+C

14nsin6x−.

16nsin6x+C’…(#2)

sin2=1−cos2の関係を使えば，(#1)と(#2)は等しいことがわかり

ます．ただし， C’とCとは定数項.

112nnだけの差があります．

(*3.13)←
　まず，次の積分を覚えておきます．

∫wnsinmxcosx dx=.

sinm+1xm+1nnnnnn+C

（証明）
sinx=tとおく置換積分により

dtdxnn=cosx→cosx dx=dtとなるから

∫wnsinmxcosx dx=∫wntmdt=.

tm+1m+1nnn+C=.

sinm+1xm+1nnnnnn+C

Im, n=∫wnsinmx cosnx dx (m,n≠0, m+n≠0)とおくとき

cosnxをcosn−1xcosxに分けて，次の形で部分積分を行います．

f(x)=cosn−1x	f’(x)=(n−1)cosn−2x(−sinx)
g’(x)=sinmxcosx	g(x)=.sinm+1xm+1nnnnnn

∫wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x)dxにあてはめると

Im, n=cosn−1x .

sinm+1xm+1nnnnnn+∫wn(n−1)cosn−2xsinx .

sinm+1xm+1nnnnnndx