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指数関数,対数関数の積分の多くは置換積分,部分積分の応用問題として登場するが,この頁では置換積分や部分積分を使わなくても(まだ習っていなくても)できる簡単な問題だけを扱う.
≪公式≫
■指数関数の不定積分
∫ exdx=ex+C …(1) (e=2.71828...は自然対数の底) ∫ ekxdx= ![]() ∫ axdx= ![]() ■対数関数の不定積分 ∫logx dx=x logx−x+C …(3)
底が省略されているとき,対数の底はe.このような自然対数を表すためにln xという記号もよく使われる. (natural logarithm)
≪公式の証明≫(1)← ![]() (1’)← ![]() ![]() ![]() →∫ ekxdx= ![]() (2)← ax=exlogaだから,(1’)により ∫ axdx=∫ exlogadx= ![]() ![]() (3)← ![]() ![]() → ∫logxdx=x logx−x+C ※通常(3)は部分積分によって証明されるが,ここでは部分積分を使わずに微分←→積分の関係だけで示した. |
例 1.∫ e3xdx= ![]() 2.∫ 2xdx= ![]() 3.∫log3x dx=∫ (log3+logx)dx =x log3+x logx−x+C ←(3) =x(log3+logx)−x+C=x log3x−x+C |
問題次の積分を求めよ.
初めに,上の欄から問題を選び,続いて下の選択肢から答を選びなさい.
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ex+e−x+C
ex−e−x+C
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x log 2x−x+C 2x log 2x−x+C (x+2)log x−x+C |
[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
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