三角関数の不定積分

← PC用は別頁

...�域声蟶ｯ迚茨ｼ峨Γ繝九Η繝ｼ縺ｫ謌ｻ繧�

...(�ｰ�｣迚�)繝｡繝九Η繝ｼ縺ｫ謌ｻ繧�
*** 遘醍岼 ***
謨ｰ竇�繝ｻ�｡謨ｰ竇｡繝ｻ�｢謨ｰ竇｢鬮伜穀繝ｻ螟ｧ蟄ｦ蛻晏ｹｴ蠎ｦ
*** 蜊伜� ***
隍�ｴ�謨ｰ蟷ｳ髱｢莠梧ｬ｡譖ｲ邱�蟐剃ｻ句､画焚陦ｨ遉ｺ縺ｨ讌ｵ蠎ｧ讓�
謨ｰ蛻励�讌ｵ髯�髢｢謨ｰ蟆朱未謨ｰ荳榊ｮ夂ｩ榊�螳夂ｩ榊�
陦悟�1谺｡螟画鋤

窶ｻ鬮俶�｡謨ｰ蟄ｦ竇｢縺ｮ縲御ｸ榊ｮ夂ｩ榊�縲�縺ｫ縺､縺�※�後％縺ｮ繧ｵ繧､繝医↓縺ｯ谺｡縺ｮ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻ｼ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ｪ縺ｩ縺ｮ讀懃ｴ｢縺九ｉ逶ｴ謗･譚･縺ｦ縺励∪縺｣縺溘�縺ｧ縲悟燕謠舌→縺ｪ縺｣縺ｦ縺�ｋ蜀�ｮｹ縺悟�縺九ｉ縺ｪ縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医ｄ縲後％縺ｮ鬆√�蛻�°縺｣縺溘′繧ゅ▲縺ｨ蠢懃畑蝠城｡後ｒ隕九◆縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医��御ｻ悶�鬆√ｒ隕九※縺上□縺輔＞��縲縺檎樟蝨ｨ蝨ｰ縺ｧ縺呻ｼ�

竊�螟夐��ｼ上�譛臥炊髢｢謨ｰ繝ｻ辟｡逅�未謨ｰ縺ｮ荳榊ｮ夂ｩ榊�
竊�蛻�焚髢｢謨ｰ(譛臥炊髢｢謨ｰ)縺ｮ荳榊ｮ夂ｩ榊�
竊�蜷�(2)
竊�蜷�(3)
竊�蜷�(4)
竊�蜷�(縺ｾ縺ｨ繧�)

竊�荳榊ｮ夂ｩ榊�縺ｮ鄂ｮ謠帷ｩ榊�
竊�蜷�(2)

竊�荳榊ｮ夂ｩ榊�縺ｮ驛ｨ蛻�ｩ榊�
竊�蜷�(2)

竊�謖�焚髢｢謨ｰ繝ｻ蟇ｾ謨ｰ髢｢謨ｰ縺ｮ荳榊ｮ夂ｩ榊�
竊�蜷�(2)

竊�荳芽ｧ帝未謨ｰ縺ｮ荳榊ｮ夂ｩ榊�-迴ｾ蝨ｨ蝨ｰ
竊�蜷�(2)

竊�荳榊ｮ夂ｩ榊��医∪縺ｨ繧�1��
竊�蜷�(2)

荳榊ｮ夂ｩ榊�縺ｮ貍ｸ蛹門ｼ�

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

同展開するもの

積分変数がy,t,uなど

積分定数と初期条件

*** 高卒から大学初年度程度 ***

log xの不定積分

sin xの不定積分

cos xの不定積分

sin x,cos xの不定積分

tan x,cot xの不定積分

← PC用は別頁

== 三角関数の不定積分 ==

三角関数の積分公式

(1)∫wnsinxdx=−cosx+C

(1’)∫wnsinkxdx=−.

coskxknnnnn+C

(1”)∫wnsin(ax+b)dx=−.

cos(ax+b)annnnnnnnn+C

(2)∫wncosxdx=sinx+C

(2’)∫wncoskxdx=.

sinkxknnnnn+C

(2”)∫wncos(ax+b)dx=.

sin(ax+b)annnnnnnnn+C

(3)∫wntanxdx=−log|cosx|+C

(3’)∫wntankxdx=−.

log|coskx|knnnnnnnnn+C

(3”)∫wntan(ax+b)dx=−.

log|cos(ax+b)|annnnnnnnnnnn+C

(解説)
(1)←
.

ddxnn(cosx)=−sinx→.

ddxnn(−cosx)=sinx

∫wnsinxdx=−cosx+C

(1’)←
合成関数の微分法により

.

dydxnn=.

dydunn.

dudxnn

y=cosu, u=kxとおくと

.

dydxnn=−sinu×k=−sinkx×k

.

ddxnn(coskx)=−sinkx×k

.

ddxnn(−.

coskxknnnnnn)=sinkx

したがって
∫wnsinkxdx=−.

coskxknnnnn+C

同様にして, (1”) が得られる.

.

ddxnn(ax+b)=aに注意 (定数項は消える).

したがって, −.

cos(ax+b)annnnnnnnnの分母にはbは含まれない.

(2)←
.

ddxnn(sinx)=cosx

∫wncosxdx=sinx+C

(2’)←

y=sinu, u=kxとおくと

.

dydxnn=cosu×k=coskx×k

.

ddxnn(sinkx)=coskx×k

.

ddxnn(.

sinkxknnnnnn)=coskx

したがって
∫wncoskxdx=.

sinkxknnnnn+C

同様にして, (2”) が得られる.

分母にはbがないことに注意.

(4)∫wn.

1sin2xnnnndx=−.

1tanxnnnn+C=−cotx+C

(4’)∫wn.

1sin2kxnnnnndx=−.

1ktankxnnnnnn+C=−.

cotkxknnnnn+C

(4”)∫wn.

1sin2(ax+b)nnnnnnnnnndx=−.

1atan(ax+b)nnnnnnnnnn+C

=−.

cot(ax+b)annnnnnnn+C

(5)∫wn.

1cos2xnnnndx=tanx+C

(5’)∫wn.

1cos2kxnnnnndx=.

tankxknnnnn+C

(5”)∫wn.

1cos2(ax+b)nnnnnnnnnndx=.

tan(ax+b)annnnnnnn+C

※今の高校の教科書では sinθ,cosθ,tanθまでは書かれていますが，それらの逆数cosecθ,secθ,cotθは書かれていないのが普通です．

【ポイント】読むときは「3文字目の逆数」と覚えます．自分が書く必要はなく，今まで通りに書けばよい．

c o s e c θ = \frac{1}{\sin θ}, \sec θ = \frac{1}{\cos θ}, \cot θ = \frac{1}{\tan θ}

自分が書くときは，

\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \frac{1}{\tan x} + C

などと書けば十分です．

(3)←

.

ddxnnlog|x|=.

1xn

.

ddxnn(cosx)=−sinx

y=log|u|, u=cosxとおくと

.

dydxnn=.

dydunn.

dudxnn=.

1un×(−sinx)=.

1cosxnnnn×(−sinx)=−tanx

.

ddxnn(log|cosx|)=−tanx

.

ddxnn(−log|cosx|)=tanx

∫wntanxdx=−log|cosx|+C

(3’)←

y=log|s|, s=cost, t=kxとおくと

.

dydxnn=.

dydsnn.

dsdtnn.

dtdxnn=.

1sn(−sint)×k=.

1costnnnn×(−sint)×k

.

ddxnn(log|coskx|)=−tankx×k

.

ddxnn(−.

log|coskx|knnnnnnnnn)=tankx

したがって
∫wntankxdx=−.

log|coskx|knnnnnnnnn+C

同様にして, (3”)が得られる.

分母にはbがないことに注意.

(4)←

.

1tanxnnnn=cotx=.

cosxsinxnnnn

.

ddxnn( .

f(x)g(x)nnn)=.

f’(x)g(x)−f(x)g’(x)g(x)2nnnnnnnnnnnnnnn

したがって

.

ddxnn(cotx)=.

−sinxsinx−cosxcosxsin2xnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn=−.

1sin2xnnnn

.

ddxnn(−cotx)=.

1sin2xnnnn

ゆえに
∫wn.

1sin2xnnnndx=−cotx+C

(4’)(4”) 略

(5)←

tanx=.

sinxcosxnnnn

.

ddxnn( .

f(x)g(x)nnn)=.

f’(x)g(x)−f(x)g’(x)g(x)2nnnnnnnnnnnnnnn

だから

.

ddxnn(tanx)=.

cosxcosx−sinx(−sinx)cos2xnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn=.

1cos2xnnnn

ゆえに
∫wn.

1cos2xnnnndx=tanx+C

(5’)(5”) 略

例

(1’)∫wnsin2xdx=−.

cos2x2nnnnn+C

(1”)∫wnsin(2x+1)dx=−.

cos(2x+1)2nnnnnnnn+C

(2’)∫wncos2xdx=.

sin2x2nnnnn+C

(2”)∫wncos(2x+1)dx=.

sin(2x+1)2nnnnnnnn+C

(3’)∫wntan2xdx=−.

log|cos2x|2nnnnnnnnn+C

(4’)∫wn.

1sin22xnnnnndx=−.

cot2x2nnnnn+C

(5’)∫wn.

1cos22xnnnnndx=.

tan2x2nnnnn+C

次の公式を用いると三角関数の積・平方をそれらの和・差に直して積分を求めることができる.

(A)sinαcosβ=.

12n{sin(α+β)+sin(α−β)}

(B)cosαsinβ=.

12n{sin(α+β)−sin(α−β)}

(C)cosαcosβ=.

12n{cos(α+β)+cos(α−β)}

(D)sinαsinβ=−.

12n{cos(α+β)−cos(α−β)}

(E)sin2α=.

1−cos2α2nnnnnnn

(F)cos2α=.

1+cos2α2nnnnnnn

(G)1+tan2α=.

1cos2αnnnn→tan2α=.

1cos2αnnnn−1→(5)

(H)1+.

1tan2αnnnn=.

1sin2αnnnn→.

1tan2αnnnn=.

1sin2αnnnn−1→(4)

例

(A)∫wnsin4xcos2xdx=∫wn.

12n{sin6x+sin2x}dx ←(1’)

=.

12n{−.

cos6x6nnnnn−.

cos2x2nnnnn}+C=−.

cos6x12nnnnn−.

cos2x4nnnnn+C

(C)∫wncos4xcos2xdx=∫wn.

12n{cos6x+cos2x}dx ←(2’)

=.

12n{.

sin6x6nnnnn+.

sin2x2nnnnn}+C=.

sin6x12nnnnn+.

sin2x4nnnnn+C

(D)∫wnsin4xsin2xdx=−.

12n∫wn{cos6x−cos2x}dx ←(2’)

=−.

12n{.

sin6x6nnnnn−.

sin2x2nnnnn}+C=−.

sin6x12nnnnn+.

sin2x4nnnnn+C

(E)∫wnsin22xdx=∫wn.

1−cos4x2nnnnnnndx=.

12n(x−.

sin4x4nnnnn)+C

=.

12nx−.

sin4x8nnnnn+C

(F)∫wncos22xdx=∫wn.

1+cos4x2nnnnnnndx=.

12n(x+.

sin4x4nnnnn)+C

=.

12nx+.

sin4x8nnnnn+C

(G)∫wntan22xdx=∫wn(.

1cos22xnnnnnn−1)dx=.

tan2x2nnnnn−x+C

積分の方がtan2xの次数が低く見えて奇妙な感じを受けるが,これで正しい.

(H)∫wn.

1tan22xnnnnndx=∫wn(.

1sin22xnnnnn−1)dx=−.

cot2x2nnnnn−x+C

問題次の不定積分を求めてください.
(解答は選択肢から選んでください.
クリックすれば，採点結果と解説が出ます．
暗算では無理です．別途計算用紙が必要です.)

(1) ∫wnsin3xdx 解説

.

sin6x12nnnnn+C .

sin6x12nnnnn+C

.

cos3x3nnnnn+C −.

cos3x3nnnnn+C

.

tan3x3nnnnn+C −.

(1’)∫wnsinkxdx=−.

coskxknnnnn+C

→∫wnsin3xdx=−.

cos3x3nnnnn+C

(2) ∫wnsin23xdx 解説

.

sin6x12nnnnn+C .

sin6x12nnnnn+C

.

cos3x3nnnnn+C −.

cos3x3nnnnn+C

.

tan3x3nnnnn+C −.

(E)sin2α=.

1−cos2α2nnnnnnn

→sin23x=.

1−cos6x2nnnnnnn

∫wnsin23xdx=∫wn(.

1−cos6x2nnnnnnn)dx ←(2’)

=.

12n(x−.

sin6x6nnnnn)+C=.

x2n−.

sin6x12nnnnn+C

(3) ∫wn.

1sin23xnnnnndx 解説

.

sin6x12nnnnn+C .

sin6x12nnnnn+C

.

cos3x3nnnnn+C −.

cos3x3nnnnn+C

.

tan3x3nnnnn+C −.

(4”)∫wn.

1sin2kxnnnnndx=−.

cotkxknnnnn+C

→∫wn.

1sin23xnnnnndx=−.

cot3x3nnnnn+C

(4) ∫wncos3xdx 解説

.

sin6x12nnnnn+C .

sin6x12nnnnn+C

.

sin3x3nnnnn+C −.

cos3x3nnnnn+C

.

tan3x3nnnnn+C .

(2’)∫wncoskxdx=.

sinkxknnnnn+C

→∫wncos3xdx=.

sin3x3nnnnn+C

(5) ∫wncos23xdx 解説

.

sin6x12nnnnn+C .

sin6x12nnnnn+C

.

sin3x3nnnnn+C −.

cos3x3nnnnn+C

.

tan3x3nnnnn+C .

(F)cos2α=.

1+cos2α2nnnnnnn

→cos23x=.

1+cos6x2nnnnnnn

∫wncos23xdx=∫wn.

1+cos6x2nnnnnnndx ←(2’)

=.

12n(x+.

sin6x6nnnnn)+C=.

x2n+.

sin6x12nnnnn+C

(6) ∫wn.

1cos23xnnnnndx 解説

.

sin6x12nnnnn+C .

sin6x12nnnnn+C

.

sin3x3nnnnn+C −.

cos3x3nnnnn+C

.

tan3x3nnnnn+C .

(5”)∫wn.

1cos2kxnnnnndx=.

tankxknnnnn+C

→∫wn.

1cos23xnnnnndx=.

tan3x3nnnnn+C

(7) ∫wntan3xdx 解説

.

tan3x3nnnnn+x+C .

tan3x3nnnnn−x+C

.

cot3x3nnnnn+x+C −.

cot3x3nnnnn−x+C

.

log|cos3x|3nnnnnnnnn+C −.

log|cos3x|3nnnnnnnnn+C

(3’)∫wntankxdx=−.

log|coskx|knnnnnnnnn+C

→∫wntan3xdx=−.

log|cos3x|3nnnnnnnnn+C

(8) ∫wntan23xdx 解説

.

tan3x3nnnnn+x+C .

tan3x3nnnnn−x+C

.

cot3x3nnnnn+x+C −.

cot3x3nnnnn−x+C

.

log|sin3x|3nnnnnnnnn+C −.

log|cos3x|3nnnnnnnnn+C

(G)1+tan2α=.

1cos2αnnnn→tan2α=.

1cos2αnnnn−1

→∫wntan23xdx=∫wn(.

1cos23xnnnnn−1)dx ←(5’)

=.

tan3x3nnnnn−x+C

(9) ∫wn.

1tan3xnnnnndx 解説

.

tan3x3nnnnn+x+C .

tan3x3nnnnn−x+C

.

cot3x3nnnnn+x+C −.

cot3x3nnnnn−x+C

.

log|sin3x|3nnnnnnnnn+C −.

log|cos3x|3nnnnnnnnn+C

.

ddxnn(log|sin3x|)=.

1sin3xnnnnn×cos3x×3=.

3tan3xnnnnn

→.

ddxnn(.

log|sin3x|3nnnnnnnnn)=.

1tan3xnnnnn

→∫wn.

1tan3xnnnnndx=.

log|sin3x|3nnnnnnnnn+C

(10) ∫wn.

1tan23xnnnnndx 解説

.

tan3x3nnnnn+x+C .

tan3x3nnnnn−x+C

.

cot3x3nnnnn+x+C −.

cot3x3nnnnn−x+C

.

log|sin3x|3nnnnnnnnn+C −.

log|cos3x|3nnnnnnnnn+C

(H)1+.

1tan2αnnnn=.

1sin2αnnnn→.

1tan2αnnnn=.

1sin2αnnnn−1

→∫wn.

1tan23xnnnnndx=∫wn(.

1sin23xnnnnn−1)dx ←(4’)

=−.

cot3x3nnnnn−x+C

(11) ∫wnsin5xsinxdx 解説

.

sin4x8nnnnn+C .

sin6x12nnnnn−.

sin4x8nnnnn+C

−.

sin4x8nnnnn+C .

cos4x8nnnnn+C

.

cos6x12nnnnn−.

cos4x8nnnnn+C −.

cos6x12nnnnn−.

(D)sinαsinβ=−.

12n{cos(α+β)−cos(α−β)}

→sin5xsinx=−.

12n{cos6x−cos4x}

∫wnsin5xsinx dx=−.

12n∫wn{cos6x−cos4x}dx ←(2’)

=−.

12n(.

sin6x6nnnnn−.

sin4x4nnnnn)+C=−.

sin6x12nnnnn+.

sin4x8nnnnn+C

(12) ∫wnsin5xcosxdx 解説

.

sin4x8nnnnn+C .

sin6x12nnnnn−.

sin4x8nnnnn+C

−.

sin4x8nnnnn+C .

cos4x8nnnnn+C

.

cos6x12nnnnn−.

cos4x8nnnnn+C −.

cos6x12nnnnn−.

(A)sinαcosβ=.

12n{sin(α+β)+sin(α−β)}

→sin5xcosx=.

12n{sin6x+sin4x}

∫wnsin5xcosx dx=.

12n∫wn{sin6x+sin4x}dx ←(1’)

=.

12n(−.

cos6x6nnnnn−.

cos4x4nnnnn)+C=−.

cos6x12nnnnn−.

cos4x8nnnnn+C

(13) ∫wncos5xcosxdx 解説

.

sin4x8nnnnn+C .

sin6x12nnnnn−.

sin4x8nnnnn+C

−.

sin4x8nnnnn+C .

cos4x8nnnnn+C

.

cos6x12nnnnn−.

cos4x8nnnnn+C −.

cos6x12nnnnn−.

(C)cosαcosβ=.

12n{cos(α+β)+cos(α−β)}

→cos5xcosx=.

12n{cos6x+cos4x}

∫wncos5xcosx dx=.

12n∫wn{cos6x+cos4x}dx ←(2’)

=.

12n(.

sin6x6nnnnn+.

sin4x4nnnnn)+C=.

sin6x12nnnnn+.

sin4x8nnnnn+C

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.9.5］

いつも参考になってます！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「いつも参考になってます！」とは微妙な表現かな．主語は何かと一瞬詰まるが，すれすれセーフかな．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.6.28］

公式(4)の中に出てくるーcotとは－cosのことでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．今の高校の教科書では sinθ,cosθ,tanθまでは書かれていますが，それらの逆数 cosecθ,secθ,cotθは書かれていないのが普通です．（学習指導要領からの逸脱と言われないように，言ってはならないと自己検閲してしまう）他方で，高専や大学では，そんなことは分かっていて当然という対応もあり，隙間が埋まらないことがあるようです．接続がスムーズに行くように，両方から手を差し伸べる方がよいように思いますが．

【ポイント】読むときは「3文字目の逆数」と覚えます．自分が書く必要はなく，今まで通りに書けばよい．
$cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta},\hspace{5}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\hspace{5}\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$
自分が書くときは， $\int\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\frac{1}{\tan x}+ C$
などと書けば十分です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／18.5.28］

3が邪魔
＝＞［作者］：連絡ありがとう．？？それがないと sin kx, cos kxなどの練習にならない

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／17.8.7］

(5)← 非常に参考になりました。ひとつ訂正箇所があるのですが、三角関数の不定積分の(5)で tanx=sinxcosx d/dx( f(x)g(x))=f’(x)g(x)－f(x)g’(x)/g(x)2 【だから　d/dx(tanx)=cosxcosx－sinx(－cosx)/cos2x=1/cos2x】とありますが【だから　d/dx(tanx)=cosxcosx－sinx(－sinx)/cos2x=1/cos2x】ではないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[三角関数の不定積分について／16.12.8］

非常に分かりやすく、やりがいのあるwebです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�ｵ郢ｧ�､郢昜ｺ･�ｽ邵ｺ�ｮGoogle隶諛�ｽｴ�｢隨�ｿｽ

隨�ｽｳ邵ｺ阮呻ｿｽ郢晏｣ｹ�ｽ郢ｧ�ｸ邵ｺ�ｮ陷育｣ｯ�ｽ�ｭ邵ｺ�ｫ隰鯉ｽｻ郢ｧ驫辟｡邵ｲ�ｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晉｣ｯﾂ竏ｽ�ｿ�｡邵ｲ�ｽ
… 邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晏現�ｽ隰ｨ蜻取駁隰ｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｽ陷ｿ繧環�ｽ竊鍋ｸｺ霈披雷邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ髦ｪ竏ｪ邵ｺ�ｽ

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯��竊鍋ｸｺ�､邵ｺ�ｽ窶ｻ�ｽ迹壽�邵ｺ�ｽ蝨抵ｿｽ譴ｧ縺檎ｸｺ�ｽ蝨抵ｿｽ遒∽ｿ｣鬩戊ｼ費ｼ樒ｸｺ�ｮ隰厄ｿｽ驕ｭ�ｽ蠕娯落邵ｺ�ｮ闔画じ�ｽ隲｢貊鳶ｦ邵ｺ蠕娯旺郢ｧ蠕鯉ｿｽ鬨ｾ竏ｽ�ｿ�｡邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ荳岩味邵ｺ霈費ｼ橸ｿｽ�ｽ

隨ｳ蛹ｺ譫夐��ｽ邵ｺ�ｮ陟厄ｽ｢郢ｧ蛛ｵ��邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖ｫ｢貊鳶ｦ邵ｺ�ｯ陷茨ｽｨ鬩幢ｽｨ髫ｱ�ｭ邵ｺ�ｾ邵ｺ蟶吮ｻ郢ｧ繧�ｽ臥ｸｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ�ｽ
隨ｳ蛹ｺ笏隲��ｳ邵ｺ�ｮ陷�ｽ縲抵ｿｽ蠕娯�邵ｺ�ｮ陜�蝓趣ｽ｡蠕娯ｲ邵ｺ�ｩ邵ｺ�ｽ縲堤ｸｺ繧�夢邵ｺ貅伉ｰ郢ｧ蜻茨ｽｭ�｣驕抵ｽｺ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｧ闔ｨ譏ｴ竏ｴ邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ�ｽ笳�ｬｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｦ竏ｵ謔咲ｸｺ�ｫ陝�ｽｾ邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｯ�ｽ謔溷ｺ�妙�ｽ邵ｺ�ｪ鬮ｯ闊鯉ｽ願汞�ｾ陟｢諛岩�郢ｧ荵晢ｽ育ｸｺ�ｽ竊鍋ｸｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ雜｣�ｼ驕ｺﾂ�ｻ邵ｺ�ｪ邵ｺ螂�ｽｼ譴ｧ蛻､隰ｦ�ｽ蝎ｪ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ邵ｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖撻�ｴ陷ｷ蛹ｻ�ｽ�ｽ蠕娯落郢ｧ蠕鯉ｽ定怦�ｬ鬮｢荵昶�郢ｧ荵昶�驕ｲ�ｽﾂ�ｽ笆｡邵ｺ莉｣縲堤ｸｺ�ｪ邵ｺ蜑ｰ�ｪ�ｭ髢��ｽ�る坡�ｭ郢ｧﾂ邵ｺ阮吮�邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ郢ｧ鄙ｫ竏ｪ邵ｺ蜷ｶ�ｽ邵ｺ�ｧ�ｽ譴ｧ豐ｻ騾包ｽｨ邵ｺ蜉ｱ竏ｪ邵ｺ蟶呻ｽ難ｿｽ雜｣�ｼ�ｽ

髮会ｽｪ陜�荳岩�陝�ｽｾ邵ｺ蜷ｶ�玖摎讓抵ｽｭ譁撰ｿｽ闕ｳ�ｭ陝�ｽｦ霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ�ｽ遒�ｽｫ菫ｶ�ｽ�｡霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ繧�ｽ顔ｸｺ�ｾ邵ｺ�ｽ