 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「不定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓多項式・有理関数・無理関数の不定積分 ↓分数関数(有理関数)の不定積分 ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓同(まとめ) ↓不定積分の置換積分 ↓同(2) ↓不定積分の部分積分 ↓同(2) ↓指数関数・対数関数の不定積分 ↓同(2) ↓三角関数の不定積分 ↓同(2) ↓不定積分（まとめ1）-現在地 ↓同(2) 不定積分の漸化式 |
※この頁はまとめの頁なので，ほとんどの公式について証明を付けていない．証明が必要な場合は，基本事項を解説している前の頁を見るか，または，右辺の関数を微分してみるとよい．特に，合成関数の微分法が必要になります．↓ ≪I≫多項式，有理関数（分数関数）の不定積分
◎I.1∫adx=ax+C
【例】
** I.1 ** (1)∫3dx=3x+C (2)∫(−5)dx=−5x+C 公式でa=  12とすると
(3)∫dx2=x2+C
ただし，次の２つに注意
∫dxは∫1dxの省略記号と決められているので
公式でa=1として (4)∫dx=x+C ∫0dxは，公式でa=0として (5)∫0dx=C
◎I.2∫xndx=
xn+1n+1+C（ただしn≠−1の場合）
【例】
** I.2 ** (1)∫x2dx= x33+C
(2)∫dxx2=∫x−2dx=x−1−1+C=−1x+C
◎I.3∫x−1dx=∫
dxx=log|x|+C
【例】
** I.3 ** (1)∫ 2xdx=2log|x|+C
(2)∫x+1x2dx=∫(1x+1x2 )dx=log|x|−1x+C
○I.4∫(ax+b)ndx=
(ax+b)n+1(n+1)a+C（ただしn≠−1, a≠0）
○I.5∫(ax+b)−1dx=∫dxax+b=1alog|ax+b|+C（a≠0）
【例】
** I.4 ** (1)∫(2x+3)4dx= (2x+3)55×2+C
(2)∫dx(2x+3)4=∫(2x+3)−4dx=(2x+3)−3−3×2+C
=−161(2x+3)3+C
【例】** I.5 ** (1)∫ dx2x+3=∫(2x+3)−1dx=12log|2x+3|+C
(2)部分分数分解により２つの分数式に変形できるもの∫ dx9x2−1=∫dx(3x−1)(3x+1)
=12∫(13x−1−13x+1)dx
=12(13log|3x−1|−13log|3x+1|)+C
=16(log|3x−1|−log|3x+1|)+C
=16log|3x−13x+1|+C
分母の２次式が実数係数の２つの１次式に因数分解できない
とき（判別式D<0の場合） □I.6∫ dxx2+q2=1qtan−1 xq+C（q>0）
□I.7∫dx(x+p)2+q2=1qtan−1 x+pq+C（q>0）
□I.8 分母の２次式がax2+bx+c=a((x+p)2+q2)の形になるとき（ただし，a≠0, q>0） ∫ dxax2+bx+c=1a∫dx(x+p)2+q2=1aqtan−1 x+pq+C
【例】
** I.6 ** (1)∫ dxx2+22=12tan−1 x2+C
(2)∫dxx2+9=∫dxx2+32=13tan−1 x3+C
【例】** I.7 ** (1)∫ dxx2−2x+5=∫dx(x−1)2+22=12tan−1 x−12+C
(2)x2+2x+3=(x+1)2+(√2)2だから∫ dxx2+2x+3=∫dx(x+1)2+(√2)2=1√2tan−1 x+1√2+C
【例】** I.8 ** (1)2x2−12x+20=2( (x−3)2+12 )だから ∫ dx2x2−12x+20=12∫dx(x−3)2+12
=12tan−1(x−3)+C
(2)3x2+6x+15=3( (x+1)2+22 )だから∫ dx3x2+6x+15=13∫dx(x+1)2+22
=16tan−1 x+12+C
 2ax+bax2+bx+cdx=log|ax2+bx+c|+C
【例】
** I.9 ** (1)∫ 2x+3x2+3x+4=log|x2+3x+4|+C
(2)∫2x+1x2+1dx=∫(2xx2+1+1x2+1)dx
=log(x2+1)+tan−1 x+C |
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※解説は何回見ても構いません．（何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう．） 軽くチェック↓解説を読む↑
はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．
【問題１】
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【問題２】
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≪II≫無理関数（累乗根）の不定積分
各々の関数の定義域は，被積分関数の根号内が０以上となるような値（分母に来る場合は根号内が正となる値）など，各関数が実数として意味を持つ範囲とする．
◎II.1∫xadx=
xa+1a+1+C（ただしaは−1以外の実数）
この公式は，a= mn（m, nは正の整数）の場合，
累乗根についての次の不定積分を表す．
∫n
同様にして，a=−√xmdx=∫xmndx=xmn+1mn+1+C
mn（m, nは正の整数，m≠n）の場合，
累乗根についての次の不定積分を表す．
∫
ただし，aは−1以外の実数であれば何でも成り立つので，例えばa=π (3.14592...)のときは
∫xπdx=1n√xmdx=∫x−mndx=x−mn+1−mn+1+C
xπ+1π+1+Cが成り立つ．
またa=log2のときは
∫xlog2dx=xlog2+1log2+1+Cが成り立つ．
【例】
** II.1 ** (1) 中学校以来， √xは2√xの省略記号として使われており，分数の指数で書けば，x 12になる．したがって，その不定積分は
∫√xdx=∫2√xdx=∫x12dx=x12+112+1+C
=23x32+C=23x√x+C
(2)∫1√xdx=∫x−12dx=x−12+1−12+1+C
=2x12+C=2√x+C
(3)∫3√xdx=∫x13dx=x13+113+1+C=34x43+C
=34x 3√x+C
○II.2∫
√ax+bdx=23a(ax+b)√ax+b+C（ただしa≠0）
○II.3∫n√(ax+b)mdx=∫(ax+b)mndx=(ax+b)mn+1a(mn+1)+C
=na(m+n)(ax+b)n√(ax+b)m+C（ただしa≠0）
○II.4∫1n√(ax+b)mdx=∫(ax+b)−mndx
=(ax+b)−mn+1a(−mn+1)+C
=na(n−m)ax+bn√(ax+b)m+C（ただしa≠0, m≠n）
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【例】
** II.2 ** (1)∫ √2x+3dx=13(2x+3)√2x+3+C
(2)∫√2−xdx=−23(2−x)√2−x+C
** II.3 **(1)∫3 √x+2dx=∫(x+2)13dx=(x+2)13+113+1+C
=34(x+2)3√x+2+C
(2)∫5√(2x+3)4dx=∫(2x+3)45dx=(2x+3)45+12(45+1)+C
=518(2x+3)5√(2x+3)4+C
** II.4 **(1)∫ 1√1−xdx=∫(1−x)−12dx
=(1−x)−12+1−12+1+C=−2√1−x+C
(2)∫13√1−3xdx=∫(1−3x)−13dx
=(1−3x)−13+1−3(−13+1)+C=−123√(1−3x)2+C
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※解説は何回見ても構いません．（何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう．） 軽くチェック↓解説を読む↑ 【問題３】
はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．
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【問題４】
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≪III≫指数関数の不定積分
◎III.1∫exdx=ex+C
◎III.2∫eaxdx=
1aeax+C（ただしa≠0）
III.2においてa=eloga → ax=(eloga)x=exlogaに注意すると，次の公式が得られる．
◎III.3∫axdx=1logaax+C（ただしa>0）
【例】
** III.2 ** (1)∫e3xdx= 13e3x+C
(2)∫e−xdx=−e−x+C
** III.3 **(1)∫2xdx= 1log22x+C
(2)∫32x+1dx=∫e(2x+1)log3dx=12log3e(2x+1)log3+C
=32x+12log3+C
この計算は，次のように分けて行ってもできる．∫32x+1dx=3∫32xdx==3∫9xdx=3 9xlog9+C
=32x+12log3+C
また，t=2x+1として置換積分によりIII.3を使ってもできる．
○III.4∫xeaxdx=
（解説）eaxa2(ax−1)+C（ただしa≠0）
これは部分積分によって示すことができる．
eaxa−∫eaxadx= xeaxa−eaxa2+C
=eaxa2(ax−1)+C
【例】
** III.4 ** (1)∫xe2xdx= e2x4(2x−1)+C
(2)∫xe−xdx=−e−x(x+1)+C
○III.5∫xneaxdx（ただしa≠0，nは正の整数）
は次の漸化式により，順次低い次数のnで表すことができ，上記のIII.4に帰着させて求められる．（「一般項を求めよう！」などと欲張ると無理がある）
（解説）∫xneaxdx= xneaxa−na∫xn−1eaxdx
すなわちIn= xneaxa−naIn−1
部分積分によって示すことができる．
In=∫xneaxdxとおくと In=xn eaxa−na∫xn−1eaxdx= xneaxa−naIn−1
【例】
** III.5 ** (1)∫x2exdx=I2とおくと I1=ex(x−1)←III.4より I2=x2ex−2I1 だから I2=x2ex−2ex(x−1)=(x2−2x+2)ex+C (2)∫x3exdx=I3とおくと I3=x2ex−3I2 だから I3=x3ex−3(x2−2x+2)ex+C =(x3−3x2+6x−6)ex+C
○III.6∫
 exxdxは初等的には（有限回の変形と積分
によっては）求められないので注意必要な場合は，無限級数を用いて（無限回の変形を使って）表すことはできる．
【例】
** III.6 ** (1)ex=1+x+ x22!+x33!+x44!+...
だから
∫exxdx=∫(1x+1+x2!+x23!+x34!+...)dx
=log|x|+x+x22×2!+x33×3!+x44×4!+...+C
この関数は，積分指数関数と呼ばれEixで表される．
V.6(2)In=∫
exxndx（ただしnは２以上の整数）とおくと，
Inは次の漸化式を満たし，これを用いて順次次数の低いnを用いて表すことができ，上記のI1=Eixに帰着できる．（この漸化式も「一般項を求めよう！」などと考えない方が無難）In=− 1n−1exxn−1+1n−1In−1
○III.7∫e−x2dxは初等的には（有限回の変形と積分
によっては）求められないので注意（統計に出てくる誤差の関数．定積分については数表を用いて求めるのが普通）
これに対して∫xe−x2dxや∫xex2dxは置換積分の問題 として，簡単に求められるので注意
【例】
** III.7 **
t=x2とおくと
(1)∫xex2dx=∫xet dtdx=2xdx= dt2xdt2x
=12∫etdt=12et+C=12ex2+C
t=−x2とおくと
(2)∫xe−x2dx=∫xet dtdx=−2xdx= dt−2xdt−2x
=−12∫etdt=−12et+C
=−12e−x2+C
○III.8∫
dxex+1=x−log(ex+1)+C
のようにf(ex)の形の式はt=exの置換積分の問題として求められるので注意○III.9∫ dxa+benx=1an(nx−log|a+benx|)+C(a,b,n≠0)
○III.10∫enxa+benxdx=1bnlog|a+benx|+C (a,b,n≠0)
t=exとおくと
（解説）dtdx=ex=tdx= dttIII.8← ∫ dxex+1=∫1t+1dtt
=∫(1t−1t+1)dt
=log|t|−|t+1|+C=log(ex)−log(ex+1)+C=x−log(ex+1)+C III.9←
t=a+benxとおくと
∫dtdx=bnenx=n(t−a)dx= dtn(t−a)dxa+benx=∫1tdtn(t−a)
=1n∫1t(t−a)dt
=1na∫(1t−a−1t)dt
=1na(log|t−a|−log|t|)+C1
=1na(log|benx|−log|a+benx|)+C1
=1na(log|b|+nx−log|a+benx|)+C1
log|b|+C1=Cとおく
=1na(nx−log|a+benx|)+C
=xa−log|a+benx|na+CIII.10← 同様にして，置換積分で示せる．
【例】
** III.8 **
t=exとおくと
(1)∫dtdx=ex=tdx= dttexex+1dx=∫tt+1 dtt
=∫1t+1dt=log|t+1|+C=log(ex+1)+C (2)∫ dxenx−e−nx=∫1t−t−1 dtnt
t=enxとおくと
=dtdx=nenx=ntdx= dtnt1n∫1t2−1dt= 12n∫(1t−1−1t+1)dt= 12n(log|t−1|−log|t+1|)+C= 12nlog|t−1t+1|+C=12nlog|enx−1enx+1|+C(3)∫ enx−e−nxenx+e−nxdx
この問題は，分母の微分が分子になっているため，「即答できる形になっています」すなわち ∫ f'(x)f(x)dx=log|f(x)|+Cにより
∫enx−e−nxenx+e−nxdx=log(enx+e−nx)+C |
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※解説は何回見ても構いません．（何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう．） 軽くチェック↓解説を読む↑ 【問題５】
はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．
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【問題６】
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≪IV≫対数関数の不定積分
◎IV.1∫logx dx=xlogx−x+C
○IV.2∫xlogx dx=
（解説）x22logx−x24+C
○IV.3∫x2logx dx=x33logx−x39+C
○IV.4∫xnlogax dx=xn+1n+1logax−xn+1(n+1)2+C
IV.1←次のように部分積分によって示すことができます．
1xdx=xlogx−∫dx=xlogx−x+C IV.2～IV.3はIV.4の特別な場合になっている（a=1, n=1,2の場合）ので，IV.4のみ示す．
xn+1n+1logax−∫xn+1n+11xdx= xn+1n+1logax−1n+1∫xndx= xn+1n+1logax−xn+1(n+1)2+C
【例】
** IV.1 ** (1)∫log3x dx=∫(log3+logx)dx =xlog3+(xlogx−x)+C =x(log3+logx)−x+C =xlog3x−x+C (2)∫log(x2)dx=2∫logx dx =2(xlogx−x)+C
** IV.2 ** (1)∫xlog(x+3)dx ∫fg'dx=fg−∫f 'g dx = x22log(x+3)−∫1x+3x22dx
=x22log(x+3)−12∫(x−3+9x+3)dx
=x22log(x+3)−12{ x22−3x+9log(x+3) }+C
=x2−92log(x+3)−x24+32x+C【例】 ** IV.3 , IV.4** (1)∫x2log2x dx= x33log2x−x39+C
t=x+2とおくと
dx=dt
○IV.5∫(logx)2dx=x(logx)2−2xlogx+2x+C
○IV.6In=∫(logx)ndxは次の漸化式によって順次次数を
下げてI1=∫logx dx=xlogx−xに帰着させることができる．
（解説）In=x(logx)n−nIn−1 IV.6←部分積分による
In=∫fg'dx=fg−∫f 'gdx =x(logx)n−∫n(logx)n−1 1x xdx=x(logx)n−n∫(logx)n−1dx=x(logx)n−In−1 ゆえにIn=x(logx)n−nIn−1 これにより I2=x(logx)2−2I1=x(logx)2−2(xlogx−x)+C I3=x(logx)3−3I2=x(logx)3−3{x(logx)2−2xlogx+2x}+C のように順次求められる．
【例】
** IV.5 ** (1)∫{ log(x+2) }2dx =∫(logt)2dt=t(logt)2−2tlogt+2t+C =(x+2)(log(x+2))2−2(x+2)log(x+2)+2(x+2)+C
※次のIV.7～IV.9のように，分母か分子にlogxがあって，分母にxがあるときは，置換積分でうまくxが消える．
○IV.7 ∫ (logx)nxdx=(logx)n+1n+1+C
∫ dxxlogx=log|logx|+C○IV.9 ∫ dxx(logx)n=−1(n−1)(logx)n−1+C
※これに対して，次のIV.10, IV.11のように 分母にlogxがあってxがない形になっているものは，初等的に（有限回の変形と積分によっては）求められない．（必要な場合は無限級数で積分を示すことになる） ○IV.10 ∫ dxlogx
○IV.11
∫dx(logx)n
なお，分母にxではなくx+a (a≠0)があっても約分できないので，初等的には積分できない○IV.12 ∫ logxx+1dx
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（解説） IV.7←
t=logxとおくと
∫dtdx=1xdx=x dt (logx)nxdx=∫tnx x dt=∫tn dt= tn+1n+1+C=(logx)n+1n+1+CIV.8← ∫ 1xlogxdxにおいて分子が分母の微分になっているからlog|分母| を作ればよい． したがって，log|logx|+C
元の問題でlogxとなっているから，x>0は満たされており，log|x|のかわりにlogxとできるが，x>1→logx>0かどうかは分からないからlog|logx|とする．
IV.9←
t=logxとおくと
dtdx=1xdx=x dt ∫ 1x(logx)ndx=∫1xtnxdt=∫t−ndt= t−n+1−n+1+C=− 1(n−1)tn−1+C=− 1(n−1)(logx)n−1+C |
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※解説は何回見ても構いません．（何度も見る方がしっかりと身に着くでしょう．） 軽くチェック↓解説を読む↑ 【問題７】
はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．
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【問題８】
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分（まとめ１）について／17.3.9］
**III.8**の(2)∫1/(e^nx+e^-nx)dx=∫1/(t+t^-1)dt/ntは、∫1/(e^nx-e^-nx)dx=∫1/(t-t^-1)dt/ntではないですか？ また、問題6の3行目の問題は、∫dx/(e^x+e^-x)は、問題を∫dx/(e^x-e^-x)とするか、又は回答にarctan(e^x)+Cを加えたほうが良いと思いますがあってますか？なお、貴サイトの教材は非常に良くできていて、私の若い時にこのような手段があったらもっと数学が理解できた違いないとつくづく思っており、もう少ししたら孫にこれで勉強するよう勧めようと思っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．符号を訂正しました． |
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