部分積分

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「不定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓多項式・有理関数・無理関数の不定積分
↓分数関数(有理関数)の不定積分
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(まとめ)

↓不定積分の置換積分
↓同(2)

↓不定積分の部分積分
↓同(2)-現在地

↓指数関数・対数関数の不定積分
↓同(2)

↓三角関数の不定積分
↓同(2)

↓不定積分（まとめ1）
↓同(2)

不定積分の漸化式

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

同展開するもの

積分変数がy,t,uなど

積分定数と初期条件

*** 高卒から大学初年度程度 ***

log xの不定積分

sin xの不定積分

cos xの不定積分

sin x,cos xの不定積分

tan x,cot xの不定積分

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== 部分積分 ==

■部分積分の公式

∫wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x)dx …(1)

特に

∫wnf(x)dx=xf(x)−∫wnxf’(x)dx …(2)

(証明)
(1)←
積の微分法の公式により

.

ddxnn(f(x)g(x))=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

両辺を積分すると

f(x)g(x)=∫wnf’(x)g(x)dx+∫wnf(x)g’(x)dx

よって

∫wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x)dx

(2)←
(1)においてg’(x)=1とおくと，g(x)=x (積分定数Cは省略)

∫wnf(x)×1dx=f(x)×x−∫wnf’(x)×xdx

したがって

∫wnf(x)dx=xf(x)−∫wnxf’(x)dx

(部分積分法の使い方)
(1)←

• ∫wnf(x)g’(x)dxが計算しにくく

• ∫wnf’(x)g(x)dxが上記よりも簡単に計算できるとき

部分積分法の公式により，より計算しやすい積分に直すことができる.

(2)←

∫wnf(x)dxが計算しにくく，∫wnxf’(x)dxが簡単に計算できるときは

(2)が使える．

(覚え方)

∫wnf(x)g’(x)dx=f(x)g(x)−∫wnf’(x)g(x)dx …(1)

2×2=4通りの関数の積のうちで
f(x)g(x), f’(x)g(x), f(x)g’(x), f’(x)g’(x),
• 関数の積
f(x)g(x)は積分記号 ∫wnの外にある

• 関数と微分との積
f’(x)g(x), f(x)g’(x)は積分記号∫wnの中にある

• 微分同士の積
f’(x)g’(x)は登場しない.

【例】

1.∫wnxsinxdx

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=sinxとおく	←g(x)=−cosx ←求まる

∫wnxsinxdx=x(−cosx)−∫wn1·(−cosx)dx

=−xcosx+∫wncosxdx

=−xcosx+sinx+C

一般に，被積分関数が多項式と三角関数の積になっているとき，多項式をf(x)に選ぶとf’(x)は次数が低くなって簡単になる．
逆に選んだ場合，次の変形になり，論理的には正しいが役に立たない．.

f(x)=sinxとおく	→f’(x)=cosx
g’(x)=xとおく	←g(x)=.x22n

∫wnsinx xdx=sinx .

x22n− ∫wncosx .

x22n dx

∫wncosx .

x22n dx

は，多項式の次数が高くなるため，元の積分よりも一層込み入ったものになる．

【例】

2.∫wnxexdx

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=exとおく	←g(x)=ex ←求まる

∫wnxexdx=xex−∫wn1·exdx=xex−ex+C

上の例1と同様に，被積分関数が多項式と指数関数の積になっているときは，多項式をf(x)に選ぶとf’(x)は次数が低くなって簡単になる．
逆に選んだ場合，次の変形になり，論理的には正しいが役に立たない．.

f(x)=exとおく	→f’(x)=ex
g’(x)=xとおく	←g(x)=.x22n

∫wnex xdx=ex .

x22n− ∫wnex .

x22n dx

∫wnex .

x22n dx

は，多項式の次数が高くなるため，元の積分よりも一層込み入ったものになる．

【例】

3.∫wnxlogxdx

f(x)=logxとおく	→f’(x)=.1xn ←簡単になる
g’(x)=xとおく	←g(x)=.x22n ←求まる

∫wnxlogxdx =.

x22nlogx−∫wn.

x22n.

1xndx =.

x22nlogx−.

12n∫wnx dx

=.

x22nlogx−.

x24n+C

上記２つの例とは異なり，通常はlog xの不定積分を覚えないので, g’(x)=log xと置かない方がよい. このような置き方をすると
∫wnlog x dx

を求めなければならなくなるからである．次の変形を見よ．

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=log xとおく	←g(x)=??? ←求まらない

【例】

4.∫wnlogxdx　← 公式(2)の例

f(x)=logxとおく	f’(x)=.1xn ←簡単になる
g’(x)=1 ←このテクニックを覚える!	g(x)=x

∫wn1·logxdx=xlogx−∫wnx .

1xndx=x logx−∫wndx

=x logx−x+C

ここまでの要点

• （多項式）×（三角関数または指数関数）
→ 多項式の次数を下げるために，多項式をf(x)とおく

• （多項式）×（対数関数）
→ 対数関数の積分を避けるために，対数関数をf(x)とおく

【問題1】次の積分を求めよ.
(正しいものを選べ.
暗算では難しいので，計算用紙を使ってもよい．)

(1) ∫wnxcos2xdx Help

.

14nsin2x+C −.

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=cos2xとおく	←g(x)=.sin2x2nnnnn ←求まる

∫wnxcos2xdx =x.

sin2x2nnnnn−∫wn1·.

sin2x2nnnnndx

=.

12nxsin2x+.

14ncos2x+C

(2) ∫wnxsin2xdx Help

.

14nsin2x+C −.

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=sin2xとおく	←g(x)=.cos2x−2nnnnn ←求まる

∫wnxsin2xdx =x.

cos2x−2nnnnn−∫wn1·.

cos2x−2nnnnndx

=−.

12nxcos2x+.

14nsin2x+C

(3) ∫wnxe2xdx Help

.

14n(2x+1)e2x+C .

14n(2x−1)e2x+C

−.

14n(2x+1)e−2x+C −.

14n(2x−1)e−2x+C

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=e2xとおく	←g(x)=.e2x2nn ←求まる

∫wnxe2xdx =x.

e2x2nn−∫wn1·.

e2x2nndx

=.

x2ne2x−.

14ne2x+C

=.

14n(2x−1)e2x+C

(4) ∫wnxe−2xdx Help

.

14n(2x+1)e2x+C .

14n(2x−1)e2x+C

−.

14n(2x+1)e−2x+C −.

14n(2x−1)e−2x+C

f(x)=xとおく	→f’(x)=1 ←簡単になる
g’(x)=e−2xとおく	←g(x)=.e−2x−2nnn ←求まる

∫wnxe−2xdx =x.

e−2x−2nnn−∫wn1·.

e−2x−2nnndx

=−.

x2ne−2x+.

12n∫wne−2xdx

=−.

x2ne−2x−.

14ne−2x+C

=−.

14n(2x+1)e−2x+C

(5) ∫wnlog(x+1)dx Help

(x+1)log(x+1)+C (x+1)log(x+1)−x+C

xlog(x+1)−x+C (x−1)log(x+1)+C

f(x)=log(x+1)とおく	→f’(x)=.1x+1nnn ←簡単になる
g’(x)=1とおく	←g(x)=x ←求まる

∫wnlog(x+1)·1dx =log(x+1)·x−∫wn.

1x+1nnn·xdx

=xlog(x+1)−∫wn(1−.

1x+1nnn)dx

=xlog(x+1)−x+log(x+1)+C

=(x+1)log(x+1)−x+C

(6) ∫wnx2logxdx Help

f(x)=logxとおく	→f’(x)=.1xn ←簡単になる
g’(x)=x2とおく	←g(x)=.x33n ←求まる

∫wnlogx·x2dx =logx·.

x33n−∫wn.

1xn·.

x33ndx

=.

x33n logx−.

13n∫wnx2dx

=.

x33n logx−.

19nx3+C

■部分積分の繰り返し
• (多項式と関数の積)
→階段を下りるように多項式を順次微分していく.
(例1.参照) • (求めたい関数が自分自身で表されたら［同じ式が２回出てきたら］) →未知の積分を=Iとおいて方程式のように解くとよい
(例2.参照)

例1.

∫wnx2sinxdx

f(x)=x2	→f’(x)=2x ←簡単になる
g’(x)=sinx	←g(x)=−cosx ←求まる

∫wnx2sinxdx=x2·(−cosx)−∫wn2x·(−cosx)dx

About . repeat integration by parts such that

s(x)=2x	→s’(x)=2 ←簡単になる
t’(x)=−cosx	←t(x)=−sinx ←求まる

=−x2cosx−{2x(−sinx)−∫wn2(−sinx)dx}

=−x2cosx+2xsinx+2cosx+C

=(−x2+2)cosx+2xsinx+C

もっと複雑な場合は，次のような表を作る．

f(n)(x)はf(x)のn階微分，g(−n)(x)はg(x)のn階積分とする

∫wnx3sinxdx

（矢印は積を作る向き. 0が登場すれば終了）

符号	微分	積分
+	f(x)=x3	g(1)(x)=sin x
−	f(1)(x)=3x2	g(x)=−cos x
+	f(2)(x)=6x	g(−1)(x)=−sin x
−	f(3)(x)=6	g(−2)(x)=cos x
+	f(4)(x)=0	g(−3)(x)=sin x

∫wnx3sinxdx

=x3(−cos x)−3x2(−sin x)+6x(cosx)−6(sinx)+C

例2.

∫wnexsinxdx

f(x)=ex	→f’(x)=ex
g’(x)=sinx	←g(x)=−cosx

∫wnexsinxdx=ex(−cosx)−∫wnex(−cosx)dx

部分積分を繰り返す

s(x)=ex	→s’(x)=ex
t’(x)=−cosx	←t(x)=−sinx

ex(−cosx)−∫wnex(−cosx)dx

=ex(−cosx)−(ex(−sinx)−∫wnex(−sinx)dx)

=−excosx+exsinx−∫wnexsinxdx →(*)

次のような１次方程式の解き方を思い出すとよい.
x=6−x → 2x=6 → x=3
これと同様に，もし積分 (I) が自分自身 (I)で表されていれば

I=f(x)−I → 2I=f(x) → I=.

f(x)2nnn

I=∫wnexsinxdx

I=−excosx+exsinx−I

2I=−excosx+exsinx

I=.

12n(−excosx+exsinx)+C (解)

(積分定数は最後に付ければよい.)

注意
　もし、ある関数（例えばex）を微分したのであるならば，その微分も微分しなければならなず，他方の関数（例えば sin x）を積分したのであればその積分をさらに積分しなければならない.
　さもなければ（もし途中で微分の向きと積分の向きを逆にしてしまうと）何も得られず努力は水の泡となる.

∫wnfg’dx=fg−∫wnf’gdx=fg−(fg−∫wnfg’dx)

∫wnfg’dx=fg−fg+∫wnfg’dx

0=0

問題2次の積分を求めよ.
（正しいものを選べ.
暗算では無理なので，各自で計算用紙を使うとよい.）

(1) ∫wnx2cosxdx Help

x2sinx+2xcosx+2sinx+C

x2sinx+2xcosx−2sinx+C

x2cosx+2xsinx+2cosx+C

x2cosx−2xsinx+2cosx+C

符号	微分	積分
+	f(x)=x2	g(1)(x)=cos x
−	f(1)(x)=2x	g(x)=sin x
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=−cos x
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=−sin x

∫wnx2cosxdx =x2sin x−(−2x cos x)+2(−sin x)+C

=x2sin x+2x cos x−2sin x+C

(2) ∫wnx2cos2xdx Help

.

12n(4x2−1)cos2x+.

12n(4x2+1)cos2x−.

14n(2x2−1)sin2x+.

14n(2x2+1)sin2x−.

符号	微分	積分
+	f(x)=x2	g(1)(x)=cos 2x
−	f(1)(x)=2x	g(x)=.sin2x2nnnnn
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=−.cos2x4nnnnn
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=−.sin2x8nnnnn

∫wnx2cos2xdx =x2.

sin2x2nnnn−(−2x .

cos2x4nnnn)+2(−.

sin2x8nnnn)+C

=.

12nx2sin 2x+.

12nx cos 2x−.

14nsin 2x+C

=.

14n(2x2−1)sin 2x+.

12nx cos 2x+C

(3) ∫wnx2e2xdx Help

.

e2x2nn(2x2−2x+1)+C

.

e2x2nn(−2x2+2x−1)+C

.

e2x4nn(2x2−2x+1)+C

.

e2x4nn(−2x2+2x−1)+C

符号	微分	積分
+	f(x)=x2	g(1)(x)=e2x
−	f(1)(x)=2x	g(x)=.e2x2nn
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=.e2x4nn
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=.e2x8nn

∫wnx2e2xdx =x2.

e2x2nn−2x .

e2x4nn+2.

e2x8nn+C

=.

12nx2e2x−.

12nxe2x+.

14ne2x+C

=.

e2x4nn(2x2−2x+1)+C

(4) ∫wn(x+1)2e2xdx Help

.

e2x4nn(2x2+2x+1)+C

.

e2x4nn(−2x2+2x−1)+C

.

e2x4nn(2x2−2x−1)+C

−.

e2x4nn(2x2+2x+1)+C

符号	微分	積分
+	f(x)=(x+1)2	g(1)(x)=e2x
−	f(1)(x)=2(x+1)	g(x)=.e2x2nn
+	f(2)(x)=2	g(−1)(x)=.e2x4nn
−	f(3)(x)=0	g(−2)(x)=.e2x8nn

∫wn(x+1)2e2xdx =(x+1)2.

e2x2nn−2(x+1) .

e2x4nn+2.

e2x8nn+C

=.

12n(x+1)2e2x−.

12n(x+1)e2x+.

14ne2x+C

=.

e2x4nn(2x2+4x+2−2x−2+1)+C

=.

e2x4nn(2x2+2x+1)+C

(5) ∫wnexcosxdx Help

.

ex2nn(sinx+cosx)+C

.

ex2nn(sinx−cosx)+C

.

ex2nn(cosx−sinx)+C

−.

ex2nn(sinx+cosx)+C

f(x)=ex	→f ’(x)=ex
g’(x)=cosx	←g(x)=sinx

∫wnexcosxdx=exsinx−∫wnexsinx dx

部分積分を繰り返す

s(x)=ex	→s ’(x)=ex
t’(x)=sinx	←t(x)=−cosx

exsinx−∫wnexsinx dx

=exsinx−{ex(−cosx)−∫wnex(−cosx)dx}

=exsinx+excosx−∫wnexcosx dx

I=∫wnexcosx dx

I=exsinx+excosx−I

2I=exsinx+excosx

I=.

ex2n(sinx+cosx)+C

(6) ∫wnexcos2xdx Help

.

ex5n(2sin2x+cos2x)+C

.

ex5n(2sin2x−cos2x)+C

.

ex5n(cos2x−2sin2x)+C

−.

ex5n(2sin2x+cos2x)+C

f(x)=ex	→f ’(x)=ex
g’(x)=cos2x	←g(x)=.sin2x2nnnnn

∫wnexcos2xdx=ex .

sin2x2nnnnn−∫wnex .

sin2x2nnnnn dx

部分積分を繰り返す

s(x)=ex	→s ’(x)=ex
t’(x)=.sin2x2nnnnn	←t(x)=−.cos2x4nnnnn

∫wnexcos2xdx =ex .

sin2x2nnnnn−∫wnex .

sin2x2nnnnn dx

=ex .

sin2x2nnnnn−{ex(−.

cos2x4nnnnn)−∫wnex(−.

cos2x4nnnnn)dx}

=.

12nex sin2x+.

14nex cos2x−.

14n∫wnex cos2x dx

I=∫wnexcos2x dx

I=.

ex4n(2sin2x+cos2x)−.

I4n

.

54nI=.

ex4n(2sin2x+cos2x)

I=.

ex5n(2sin2x+cos2x)+C

(7) ∫wnexsin2xdx Help

.

ex5n(2sin2x+cos2x)+C

.

ex5n(2sin2x−cos2x)+C

.

ex5n(sin2x+2cos2x)+C

.

ex5n(sin2x−2cos2x)+C

f(x)=ex	→f ’(x)=ex
g’(x)=sin2x	←g(x)=−.cos2x2nnnnn

∫wnexsin2xdx=ex(−.

cos2x2nnnnn)−∫wnex(−.

cos2x2nnnnn) dx

=−.

12nexcos2x+∫wnex .

cos2x2nnnnndx

部分積分を繰り返す

s(x)=ex	→s ’(x)=ex
t’(x)=.cos2x2nnnnn	←t(x)=.sin2x4nnnnn

−.

12nexcos2x+∫wnex .

cos2x2nnnnndx

=−.

12nexcos2x+(ex .

sin2x4nnnnn−∫wnex.

sin2x4nnnnndx)

=.

ex4n(sin2x−2cos2x)−.

14n∫wnexsin2xdx

I=∫wnexsin2x dx

I=.

ex4n(sin2x−2cos2x)−.

I4n

.

54nI=.

ex4n(sin2x−2cos2x)

I=.

ex5n(sin2x−2cos2x)+C

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分積分について／18.9.22］

logの不定積分で昨日質問したものです。不明点が正しく伝わっていなかったのでもう一度部分積分で疑問に思ったことを書かせていただきます。この項では同じ番号の例題が上の方と下の方にあるので、上下で区別して質問を書いていきます。上の方の例3,4では、下の方の例1のようには微分する側が0にならないのに、下の方の例2のように部分積分の繰り返しをしなくていいのはなぜなんでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．下の方の例1では部分積分の公式 $\int f(x)g\apos (x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos (x)g(x)dx$ において，右辺第２項が既知の関数ではなくて求めたい未知関数自体であるのに対して，上の例3,4では既知の（計算可能な）関数だからです．

【参考】
中学校１年生が，次の問題を解く場合
(1)　 $x=7-2\times 3$ の場合
$2\times 3$ が計算可能だから $x=7-6=1$ と答えるでしょう．
(2)　 $x=6-x$ の場合
右辺の $6-x$ は既知の数ではないから，方程式を立てなおして， $2x=6$ にして解くでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分積分について／18.9.21］

高卒の項の不定積分で、∫(logx)^2 dxが問題としてあったのですが、これをこの項の部分積分の繰り返しのところの表をつかった解き方でといたのですが、答えのx(logx)^2-2x+Cにたどり着けませんでした。微分する側を(logx)^2にしたのですが、微分する側が0にならないため困っています。表を使った解き方で解いてはくれないでしょうか？(表の途中式が知りたいです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．このページの下の方を見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[部分積分について／17.2.13］

とっても分かりやすくて良かったです！参考になりました！ありがとうございました！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります