 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「不定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓多項式・有理関数・無理関数の不定積分 ↓分数関数(有理関数)の不定積分 ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓同(まとめ)-現在地 ↓不定積分の置換積分 ↓同(2) ↓不定積分の部分積分 ↓同(2) ↓指数関数・対数関数の不定積分 ↓同(2) ↓三角関数の不定積分 ↓同(2) ↓不定積分（まとめ1） ↓同(2) 不定積分の漸化式 |
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【内容】
この頁では次のような関数の不定積分を扱う。 (1) ∫5x3dx , ∫x(2x+1)dx , ∫(3x−4)5dxなど ……多項式の不定積分（数学II の復習） (2) ∫  1x2 dx , ∫32x+1 dxなど……分数関数の不定積分 (3) ∫3 √x2dx , ∫√3x+2dx , ∫x− 23dxなど……無理関数の不定積分
【公式】
(I) ∫xαdx= xα+1α+1+C(α≠−1) α=−1のときだけは例外として、次の公式による。 (II) ∫ 1x dx=log|x|+C
≪証明≫ 各々微分してみると分かる。 (1) ← ddxxα=αxα−1だからddx(xα+1α+1)=xα(2) ← ddxlog x=1x (x>0)また ddxlog(−x)= − 1−x= 1x (x<0)だから、 ddxlog|x|=1x (x≠0) |
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数学III で登場する多項式、分数関数、無理関数の不定積分は左の公式だけでは処理できず、部分分数分解、置換積分、部分積分などの公式も合わせて使う。したがって、この頁を読むには部分分数分解、置換積分、部分積分などの項目を先に読んでおく必要がある。 多項式はxn(nは0以上の整数)の形の式の定数倍・和・差なので、左の(I)の公式でαに0以上の整数をあてはめると求められる。 分数関数は 1xn=x− n(nは正の整数)、12x+1=(2x+1)− 1などと負の指数で表せるので、左の(I)の公式でαに負の整数を当てはめると求められる。 無理関数は √x=x12、5√(2x+3)4=(2x+3)45などと分数の指数で表せるので、左の(I)の公式でαに分数を当てはめると求められる。 一般にαが−1以外の実数であればα= √2のような無理数の場合も含めて、左の公式(1)が成り立つ（証明は対数微分法による）が、高校ではαが無理数の問題はめったに扱わない。※次の表において、αが分数であることと分数関数とは対応しておらず、αが無理数であることと無理関数とは対応していないことに注意。
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【例1】 ■多項式の不定積分■ (1) ∫5x3dx= 54x4+C(←∫x3dx= 14x4+C)(2) ∫x(2x+1)dx=∫(2x2+x)dx= 23x3+12x2+C(←積の形になっている式は、展開して和差の形にしてから積分する) (3) ∫(3x+2)3dx
3x+2=tとおいて置換積分を行う
dtdx=3 → dx= dt3∫(3x+2)3dx=∫t3 dt3= 13 t44+C= (3x+2)412+C
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(4) ∫x(x+1)3dx
展開したくない方（次数の高い方のかっこ内）を１文字にする：x+1=tとおいて置換積分を行う
dtdx=1 → dx=dt…(i)x=t−1…(ii) (i)(ii)を代入 ∫x(x+1)3dx=∫(t−1)t3dt=∫(t4−t3)dt= t55 − t44+C= (x+1)55 − (x+1)44+C=(x+1)4( x+15 − 14 )+C= (x+1)4(4x−1)20 +C
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◇問題1◇ 次の不定積分を求めよ。（正しいものを選べ。） ※ 計算用紙が必要です。 2x−1+C x33 − x22 −6x+C(x+2)( x22 − 3x)+C
( x22 +2x)( x22 −3x)+C2(2x−3)55 +C
(2x−3)55 +C(2x−3)510 +C
4(2x−3)3+C |
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(x+2)3(x−2)3 +C
(x+2)(x−2)33 +C(x+2)3(x−2)4 +C
(x+2)(x−2)34 +C |
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【例2】 ■分数関数の不定積分■ 分数関数の積分では ∫x−1dx=∫ 1x dx=log|x|+Cの形だけが例外で、他の次数については ∫ 1xn dx=∫x−ndx= x−n+1−n+1+C(α≠−1)による。 なお、「割り算によって分子の次数を下げておくこと」や「部分分数分解」などの前処理が必要となることが多い。 (1) ∫ dx2x+1
2x+1=tとおいて置換積分を行う
dtdx=2 → dx= dt2∫ dx2x+1=∫1t · dt2= 12 log|t|+C= 12 log|2x+1|+C一般に
∫
が成り立つ。（置換積分ができれば、これ自体を覚える必要はない。）
dxax+b= 1a log|ax+b|+C(a≠0)(2) ∫ x+3x+1dx
割り算をして商と余りに分け、商を整数部分に余りを分子とする。これにより
(x+3)÷(x+1)=1 ··· 2 → x+3x+1=1+ 2x+1∫ x+3x+1dx=∫(1+ 2x+1 )dx=x+2log|x+1|+C(3) ∫ 3x2 dx=∫3x−2dx=3 x−2+1−2+1+C=−3x−1+C= − 3x+C(4) ∫ 2x+1(x−1)2 dx
展開したくないもの（分母）のかっこ内を１文字にする：x−1=tとおいて置換積分を行う
dtdx=1 → dx=dt…(i)2x+1=2(t+1)+1=2t+3…(ii) ∫ 2x+1(x−1)2 dx= ∫( 2t+3t2 )dt= ∫( 2t + 3t2 )dt=∫( 2t+3t−2)dt=2log|t|−3t+C=2log|x−1|−3x−1+C |
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■分母が２次式（以上）になっているもの■
(5) ∫(a) 分母が(ax+b)2の形になっている（D=0型）とき ⇒ax+b=tとおいて置換積分するとよい（左の(4)） (b) 分母が1次式の積に因数分解できるとき（D>0型）とき ⇒部分分数分解により分母を１次式に直す（下の(5)） (c) 分母が（実数の範囲では）因数分解できないとき（D<0型）とき ⇒(*)特急券（ f’(x)/f(x) 型）が使えないかどうか確かめる（下の(6)）
(**)それがだめなら、 分母＝x2+a2 (a>0) → x=a tan tの置換積分（下の(7)） dxx2−4
部分分数分解により分母を１次式にする。
x2−4=(x−2)(x+2)だから 1x2−4= 1(x−2)(x+2)= 14 ( 1x−2 − 1x+2 )※この係数 14は1(x−2)(x+2)= ax−2 + bx+2 とおいて、恒等式の係数比較によりa,bを求めた結果を使う。 ∫ dxx2−4= 14 ∫( 1x−2 − 1x+2 )dx= 14(log|x−2|−log|x+2|)+C= 14 log|x−2x+2|+C(6) ∫ x+1x2+2x+5dx
[次の形のもの→即答可能:特急券あり]
（証明）∫ f’(x)f(x) dx=log|f(x)|+Cf(x)=tとおいて置換積分を行うと dtdx=f’(x) → f’(x)tx=dt∫ f’(x)f(x) dx=∫1t dt
=log|t|+C=log|f(x)|+C
(x2+2x+5)’=2x+2だから ∫ 12 (x2+2x+5)’x2+2x+5dx= 12 log|x2+2x+5|+C= 12 log(x2+2x+5)+C （∵x2+2x+5>0）(7) ∫ dxx2+4※この形の「不定積分」を表すためには逆三角関数tan−1xを要するので、現行教育課程の問題としてはほとんど出題されない。ただし、「定積分」は単なる数値になるので定積分の問題としては出題できる。 x=2tan t → dxdt = 2cos2tdx= 2cos2t dtx2+4=4tan2t+4=4(tan2t+1) ∫ dxx2+4= ∫14(tan2t+1) 2cos2t dtここで、三角比の相互関係の公式：tan2t+1= 1cos2tにより、(tan2t+1)(cos2t)=1 =∫ dt2 = 12 t+C= 12 tan−1 x2 +C
tan t=xのとき、t=tan−1xと書く。
この記号（逆三角関数）を使えば、 a tan t=x → tan t= xa → t=tan−1 xa
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【例3】 ■無理関数の不定積分■ (1) ∫3 √x2dx=∫x23dx= 123 +1 x23 +1+C= 35 x53+C= 35 x · x23+C= 35 x 3√x2+C(2) ∫ √3x+2dx
3x+2=tとおいて置換積分を行う
dtdx=3 → dx= dt3∫ √3x+2dx=∫√tdt3=∫t12 dt3 = 13 23 t32+C= 13 23 t√t+C= 29(3x+2)√3x+2+C(3) ∫(3x+4)− 12dx
3x+4=tとおいて置換積分を行う
dtdx=3 → dx= dt3∫(3x+4)− 12dx=∫t− 12 dt3 = 13 21 t12+C= 23√t+C= 23√3x+4+C
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(4) ∫x3√x+2dx
3
√x+2=tとおいて置換積分を行うx+2=t3 → x=t3−2 dxdt = 3t2 → dx=3t2dt
∫ x3√x+2dx=∫t3−2t 3t2dt=∫(3t4−6t)dt= 35 t5−3t2+C = 35 3√(x+2)5 −3 3√(x+2)2+C= 3 √(x+2)2{ 35(x+2)−3}+C= 3√(x+2)23x−95+C
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◇問題3◇ 次の不定積分を求めよ。（正しいものを選べ。） ※ 計算用紙が必要です。 2 √x+C
√x2 +C3√x2 +C
2√x3 +C23√2x+3+C
2x+33√2x+3+C23(2x+3) · 3√2x+3+C
38(2x+3) · 3√2x+3+C |
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25 x2√x+ x22 +C
2(x−2)3 √x+1+C25 (x+1)2 √x+1+C
215(x+1)(3x−2)√x+1+C |
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［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[多項式,分数関数,無理関数の不定積分について／17.1.22］
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あらゆる場合を網羅していて、分かりやすく復習ができた
＝＞［作者］：連絡ありがとう． |
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