 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「不定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓多項式・有理関数・無理関数の不定積分 ↓分数関数(有理関数)の不定積分 ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓同(まとめ) ↓不定積分の置換積分 ↓同(2) ↓不定積分の部分積分 ↓同(2) ↓指数関数・対数関数の不定積分 ↓同(2) ↓三角関数の不定積分 ↓同(2) ↓不定積分（まとめ1） ↓同(2)-現在地 不定積分の漸化式 |
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◎…
高校生が公式としてすぐに使える方がよいもの
○…高校生として結果を覚えている必要はないが，問題として出されたらできるはずのもの
□…ヒントなしで高校生に直接問われることはないもの
a, b, c, C…定数f(x), g(x), p(x), q(x)…関数 m, n… 整数の定数（正の整数だけを表す場合は，その式の但し書きに示す）
※この頁はまとめの頁なので，ほとんどの公式について証明を 付けていない．証明が必要な場合は，基本事項を解説している 前の頁を見るか，または，右辺の関数を微分してみるとよい． 特に，合成関数の微分法が必要になります．↓ ≪V≫三角関数の不定積分
◎V.1∫sinx dx=−cosx+C
∫cosx dx=sinx+C ∫tanx dx=−log|cosx|+C
◎V.2∫sinax dx=−
 1acosax+C(a≠0)∫cosax dx= 1asinax+C(a≠0)∫tanax dx=− 1alog|cosax|+C(a≠0)
◎V.3∫sin(ax+b)dx=−
1acos(ax+b)+C(a≠0)∫cos(ax+b)dx= 1asin(ax+b)+C(a≠0)∫tan(ax+b)dx=− 1alog|cos(ax+b)|+C(a≠0) |
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○V.4∫sin2x dx=
（解説）x2− sin2x4+C…(*1)∫cos2x dx= x2+sin2x4+C…(*2)∫tan2x dx=tanx−x+C…(*3) (*1)← 半角公式（２倍角公式）により sin2α= 12(1−cos2α)だから∫sin2x dx= 12∫(1−cos2x)dx=x2−sin2x4+C(*2)← 半角公式（２倍角公式）により cos2α= 12(1+cos2α)だから∫cos2x dx= 12∫(1+cos2x)dx=x2+sin2x4+C(*3)← 三角関数の相互関係から sin2α+cos2α=1 → tan2α+1= 1cos2α→ tan2α= 1cos2α−1だから∫tan2x dx=∫( 1cos2x−1)dxところで ddx(tanx)=1cos2xだから∫1cos2xdx=tanx+C ∫tan2x dx=tanx−x+C
a≠0のとき
○V.5∫sin2ax dx=
（解説）x2−sin2ax4a+C…(*1)∫cos2ax dx= x2+sin2ax4a+C…(*2)∫tan2ax dx= tanaxa−x+C…(*3)各々t=axとおいて置換積分すれば，上記のV.4に帰着される． |
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※解説は何回見ても構いません． （何度も見る方がしっかりと記憶できるでしょう．） 軽くチェック↓解説を読む↑
はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．
【問題１】
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【問題３】
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○V.6∫cosecx dx=∫
1sinxdx= 12log(1−cosx1+cosx)+C=log|tanx2|+C…(*1)∫secx dx=∫ 1cosxdx= 12log(1+sinx1−sinx)+C=log|1+sinxcosx|+C…(*2)∫cotx dx=∫ 1tanxdx=log|sinx|+C…(*3) （解説） (*1)←
t=cosxとおくと
dtdx=−sinxdx=− dtsinx
∫ 1sinxdx=∫sinxsin2xdx=∫sinx1−cos2xdx=−∫ sinx1−t2dtsinx=∫dtt2−1= 12∫(1t−1−1t+1)dt= 12(log|t−1|−log|t+1|)+C
1−cosx≧0 , 1+cosx≧0
=だから絶対値記号は不要 12log|1−cosx1+cosx|+C= 12log(1−cosx1+cosx)+Cここで，半角公式（２倍角公式により） 1−cosx2=sin2 x2 , 1+cosx2=cos2 x2だから12log(1−cosx1+cosx)+C= 12log(tan2x2)+C=log|tanx2|+C(*2)←
t=sinxとおくと
dtdx=cosxdx= dtcosx∫ 1cosxdx=∫cosxcos2xdx=∫cosx1−sin2xdx=∫ cosx1−t2dtcosx=−∫dtt2−1=− 12∫(1t−1−1t+1)dt=− 12(log|t−1|−log|t+1|)+C= 12(log|t+1|−log|t−1|)+C
1−sinx≧0 , 1+sinx≧0
=だから絶対値記号は不要 12log|1+sinx1−sinx|+C= 12log(1+sinx1−sinx)+C(*3)← ∫ 1tanxdx=∫cosxsinxdx=∫(sinx)'sinxdx=log|sinx|+C
○V.7∫cosec2x dx=∫
（解説）1sin2xdx=−cotx+C=− 1tanx+C…(*1)∫sec2x dx=∫ 1cos2xdx=tanx+C…(*2) ∫cot2x dx=∫ 1tan2xdx=−cotx−x+C=− 1tanx−x+C…(*3)(*1)← ddx(1tanx)=ddx(cosxsinx)=−sin2x−cos2xsin2x=− 1sin2xだから ∫ 1sin2xdx=−1tanx+C(*2)← ddx(tanx)=ddx(sinxcosx)=cos2x+sin2xcos2x=1cos2xだから ∫ 1cos2xdx=tanx+C(*3)← 三角関数の相互関係により sin2x+cos2x=1 両辺をsin2xで割ると 1+ 1tan2x=1sin2x∫ 1tan2xdx=∫(1sin2x−1)dx(*1)の結果により，これは次の形に書ける． − 1tanx−x+C |
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○V.8∫
（解説）11+sinxdx=sinx−1cosx+C…(*1)∫ 11−sinxdx=sinx+1cosx+C…(*2)∫ 11+cosxdx=1−cosxsinx+C=tanx2+C…(*3)∫ 11−cosxdx=−1+cosxsinx+C=−cotx2+C…(*4)∫ 11+tanxdx=12(x+log|sinx+cosx|)+C…(*5)∫ 11−tanxdx=12(x−log|sinx−cosx|)+C…(*6)(*1)← ∫ 11+sinxdx=∫1−sinx1−sin2xdx=∫1−sinxcos2xdx=∫ 1cos2xdx−∫sinxcos2xdxV.7(*2)により ∫ 1cos2xdx=tanx+C’また
t=cosxとおくと
∫dtdx=−sinxdx=− dtsinxsinxcos2xdx=−∫ sinxt2dtsinx=−∫1t2dt=1t+C”= 1cosx+C”ゆえに ∫ 11+sinxdx=tanx−1cosx+C=sinx−1cosx+C(*2)←符号を変えると，同様にして示される． (*3)← ∫ 11+cosxdx=∫1−cosx1−cos2xdx=∫1−cosxsin2xdx=∫ 1sin2xdx−∫cosxsin2xdxV.7(*1)により ∫ 1cos2xdx=−1tanx+C’また
t=sinxとおくと
∫dtdx=cosxdx= dtcosxcosxsin2xdx=∫ cosxt2dtcosx=∫1t2dt=−1t+C”=− 1sinx+C”ゆえに ∫ 11+cosxdx=−1tanx+1sinx+C=1−cosxsinx+Cこの式は，tan x2を使って表すこともできる．２倍角公式により
≪よく使う≫
上の公式により
tanx= 2t1−t2
sinx=2sinx2cosx2=2tanx2cos2x2=2tcos2x2=2t1+t2
cosx=2cos2x2−1=21+t2−1=1−t21+t2
1−cosxsinx=1−1−t21+t22t1+t2=t=tanx2(*4)←(*3)の符号を変えると，同様にして示される． (*5)← ∫ 11+tanxdx=∫cosxsinx+cosxdx=Iとおく∫ sinxsinx+cosxdx=JとおくI+J=∫ sinx+cosxsinx+cosxdx=∫dx=x+C’I−J=∫ cosx−sinxsinx+cosxdx=∫(sinx+cosx)'sinx+cosxdx=log|sinx+cosx|+C” これらの和を求めると 2I=x+log|sinx+cosx|+C I= 12(x+log|sinx+cosx|)+C(*6)←(*5)の符号を変えると，同様にして示される． |
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※解説は何回見ても構いません．（何度も見る方がしっかりと記憶できるでしょう．） 軽くチェック↓解説を読む↑ ←上の解説「そのまんま」の問題であるが，意外にできない！（計算用紙が必要）
はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．
【問題４】
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○V.9 a≠±bのとき
（解説）
∫sinaxsinbx dx=
a=bのときは（a=−bのときも）V.5(*1)(*2)の形になる（再掲）sin(a−b)x2(a−b)−sin(a+b)x2(a+b)+C…(*1)∫sinaxcosbx dx=− cos(a−b)x2(a−b)−cos(a+b)x2(a+b)+C(*2)∫cosaxcosbx dx= sin(a−b)x2(a−b)+sin(a+b)x2(a+b)+C(*3)○V.5a≠0のとき ∫sin2ax dx= x2−sin2ax4a+C…(*1)∫cos2ax dx= x2+sin2ax4a+C…(*2)
積を和に直す公式を用いて，被積分関数を変形します．
(*1)←sinαsinβ=  12{ cos(α−β)−cos(α+β) }sinαcosβ= 12{ sin(α+β)+sin(α−β) }cosαcosβ= 12{ cos(α+β)+cos(α−β) }∫sinaxsinbx dx = 12∫{ cos(a−b)x−cos(a+b)x }dx= 12{ sin(a−b)x(a−b)−sin(a+b)x(a+b) }+C= sin(a−b)x2(a−b)−sin(a+b)x2(a+b)+C(*2)(*3)←上記の積を和に直す公式により同様にして示される． (*4)←V.4(*1)と同様に，半角公式（２倍角公式）を用いて被積分関数を変形すればできる． ∫sin2ax dx= 12∫(1−cos2ax)dx= x2−sin2ax4a+C |
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○V.10 a≠0 , n≠0のとき
（解説）∫sinnaxcosax dx= sinn+1ax(n+1)a+C…(*1)∫sinaxcosnax dx=− cosn+1ax(n+1)a+C…(*2)
t=sinaxとおいて置換積分すると
dtdx=acosaxdx= dtacosax(*1)← ∫sinnaxcosax dx =∫tncosax dtacosaxdt= 1a∫tndt=tn+1a(n+1)+C= sinn+1ax(n+1)a+C
t=cosaxとおいて置換積分すると
dtdx=−asinaxdx=− dtasinax(*2)← ∫cosnaxsinax dx =−∫tnsinax dtasinaxdt=− 1a∫tndt=−tn+1a(n+1)+C=− cosn+1ax(n+1)a+C |
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○V.11 a≠0 , n≧2のとき
（解説）In=∫sinnax dxとおくと In=− sinn−1axcosaxna+n−1nIn−2…(*1)
これにより
I0←I2←I4←I5←... I1←I3←I5←I7←... の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ， I0=∫ dx=x+C I1=∫sinax dx=− cosaxa+Cに帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．） Jn=∫cosnax dxとおくと Jn= cosn−1axsinaxna+n−1nJn−2…(*2)
これにより
J0←J2←J4←J5←... J1←J3←J5←J7←... の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ， J0=∫ dx=x+C J1=∫cosax dx= sinaxa+Cに帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．） (*1)← In=∫sinn−1axsinax dxと分けると
cosaxa+∫(n−1)sinn−2axcos2ax dx=− sinn−1axcosaxa+(n−1)∫sinn−2ax(1−sin2ax)dx=− sinn−1axcosaxa+(n−1)∫sinn−2ax dx−(n−1)∫sinnax dx In=− sinn−1axcosaxa+(n−1)In−2−(n−1)InnIn=− sinn−1axcosaxa+(n−1)In−2したがって In=− sinn−1axcosaxna+n−1nIn−2(*2)←同様にして示される． |
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○V.12 a≠0 , n≧3のとき
（解説）Kn=∫ dxsinnax=∫sin−nax dx=I−nとおくとKn=− cosax(n−1)asinn−1ax+n−2n−1Kn−2…(*1)
これにより
K1←K3←K5←... K2←K4←K6←... の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ， K1=∫ 1sinaxdx=1alog|tanax2|+CK2=∫ 1sin2xdx=−1tanx+Cに帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．） Ln=∫ dxcosnax=∫cos−nax dx=J−nとおくとLn= sinax(n−1)acosn−1ax+n−2n−1Ln−2…(*1)
これにより
L1←L3←L5←... L2←L4←L6←... の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ， L1=∫ 1cosaxdx=1alog|1+sinaxcosax|+CL2=∫ 1cos2xdx=tanx+Cに帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めずに，順次使う．） (*1)← 上記のV.11(*1)の解説を見るとn, n−2が0をまたがない限りn<0の場合でも成り立つことがわかる． n≧2のとき Kn=∫ dxsinnax=∫sin−nax dx=I−nI−m=− sin−m−1axcosax−ma+−m−1−mI−m−2だから Km= sin−m−1axcosaxma+m+1mKm+2Km= cosaxmasinm+1ax+m+1mKm+2ここでは，mの大きな値の式を小さな値の式で表したいから，逆に解くと Km+2=− cosax(m+1)asinm+1ax+mm+1Kmn=m+2とおいてm+2→mの関係をn→n−2の関係に直すと Kn=− cosax(n−1)asinn−1ax+n−2n−1Kn−2(*2)←同様にして示される． |
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○V.13 a≠0 , m,n≧2のとき
（解説）I(m,n)=∫cosmaxsinnax dxとおくと I(m,n)= cosm−1axsinn+1ax(m+n)a+m−1m+nI(m−2,n)…(*1)I(m,n)=− cosm+1axsinn−1ax(m+n)a+n−1m+nI(m,n−2)…(*2)
これにより偶数の系列は
I(m,0)←I(m,2)←I(m,4)←I(m,6)←... または I(0,n)←I(2,n)←I(4,n)←I(6,n)←... のようにI(m,0)またはI(0,n)に帰着させれば，V.11により求められる． 奇数の系列になるときは I(m,1)←I(m,3)←I(m,5)←I(m,7)←... または I(1,n)←I(3,n)←I(5,n)←I(7,n)←... のようにI(m,1)またはI(1,n)に帰着させれば，V.10により求められる． (*1)← ∫cosmaxsinnax dx=∫cosm−1ax×cosaxsinnax dx のように分けて，次のように部分積分を行う．
cosm−1axsinn+1ax(n+1)a+(m−1)∫cosm−2ax×(−a)sinax sinn+1ax(n+1)adx= cosm−1axsinn+1ax(n+1)a+m−1n+1∫cosm−2axsinn+2axdxここで m−1n+1∫cosm−2axsinn+2axdx= m−1n+1∫cosm−2ax(1−cos2ax)(sinnax)dx= m−1n+1( I(m−2,n)−I(m,n) )だから I(m,n)= cosm−1axsinn+1ax(n+1)a+m−1n+1I(m−2,n)−m−1n+1I(m,n)(1+ m−1n+1)I(m,n)=cosm−1axsinn+1ax(n+1)a+m−1n+1I(m−2,n)m+nn+1I(m,n)=cosm−1axsinn+1ax(n+1)a+m−1n+1I(m−2,n)I(m,n)= cosm−1axsinn+1ax(m+n)a+m−1m+nI(m−2,n)(*2)← cosaxとsinaxの立場を逆にすれば，同様にして示される． 
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※解説は何回見ても構いません．（何度も見る方がしっかりと記憶できるでしょう．） 軽くチェック↓解説を読む↑
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【問題５】
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【問題６】
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○V.14 ∫xsinax dx=
（解説）1a2sinax−xacosax+C…(*1)∫xcosax dx= 1a2cosax+xasinax+C…(*2)In=∫xnsinax dx , Jn=∫xncosax dx とおくと In=− 1axncosax+naJn−1…(*3)Jn= 1axnsinax−naIn−1…(*4)
これにより
I0←J1←I2←J3←... J0←I1←J2←I3←... の２つの系列に分けて，順次nの小さな値で表すことができ， I0=∫sinax dx=− cosaxa+CJ0=∫cosax dx= sinaxa+Cに帰着させることができる．（この漸化式は，一般項を求めようと欲張らずに，逐次次数を下げる方法で使う．） (*1)←
∫xsinax dx =∫f 'gdx=fg−∫fg'dx =− xcosaxa+∫cosaxadx=− xcosaxa+1a2sinax+C(*2)←
∫xcosax dx =∫f 'gdx=fg−∫fg'dx = xsinaxa−∫sinaxadx= xsinaxa+1a2cosax+C(*3)←
In=∫xnsinax dx =∫f 'gdx=fg−∫fg'dx =− xncosaxa+∫ncosaxadx=− xncosaxa+naJn−1 |
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○V.15 ∫
（解説） sinxxdx , ∫cosxxdxは初等的に（有限回の変形と求積計算によっては）積分を求めることはできない．
sinx/xの方は，シンク関数（またはカーディナル・サイン ）と呼ばれる．（工業分野では分母分子ともπxに変えたものが使われる．）
これらの積分が必要な場合は，次のように無限回の計算（無限級数）によって表したものを項別積分する． （有限回の演算ではできないが，無限回行えばできることに注意） sinxx=1−x23!+x45!−x67!+...より∫ sinxxdx=x−x33×3!+x55×5!−x77×7!+...cosxx=1x−x2!+x34!−x56!+...より∫ cosxxdx=log|x|−x22×2!+x44×4!−x66×6!+...
○V.16 Sn=∫
（解説）sinxxndx , Cn=∫cosxxndxとおくと， Sn=− sinx(n−1)xn−1+1n−1Cn−1…(*1)Cn=− cosx(n−1)xn−1−1n−1Sn−1…(*2)Sn , Cnは，この漸化式を用いて逐次次数nを下げることにより， S1=∫ sinxxdx , C1=∫cosxxdxで表すことができる． ただし，上記のV15で述べたようにS1, C1はいずれも初等的には表せないから，これらも初等的に表せないことは同様であるが，これら２つを定義すれば，他の不定積分はすべてそれらで表されるという関係にある． (*1)←
Sn=∫ sinxxndx=∫fg'dx=fg−∫f 'gdx = x−n+1sinx−n+1−∫x−n+1cosx−n+1dx=− sinx(n−1)xn−1+1n−1Cn−1(*2)←同様にして示される． |
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※解説は何回見ても構いません． 軽くチェック↓解説を読む↑
はじめに左欄の問題を選択して，続けて右欄の解答を選択してください．やり直すときは，問題を選び直すことからはじめてください．
【問題７】
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分（まとめ２･･･三角関数）について／17.3.13］
間違っていたらすいませんが、問題4の中の∫1/(1-cox)dxの回答は、-(1+cosx)/sinx ではないですか？これが正解なら右の回答欄に付け加えた方が良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました． |
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