不定積分の部分積分法

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

不定積分

*** 高卒から大学初年度程度 ***

== 不定積分の部分積分法 ==
◇解説◇
　元の形では積分計算が困難に見える問題でも，形を変えると積分計算の分かる問題に書き直せることがあります。
　ここで紹介する部分積分法は，積の微分法から導かれます．

　積の微分法：　 (fg)’ = f’g + fg’ 　の両辺を積分すると，

fg = ∫wnf’g dx + ∫wnfg’dx
移項すると，部分積分法の公式が得られます。

∫wnfg’dx= fg−∫wnf’g dx

※以下の解説においては，「上げる」「下げる」という筆者独特の言い回しがあります．「上げる」とは積分する，「下げる」とは微分するという意味（多項式で言えば，各々次数が上がる，下がるから）です．

【例１】

∫wn x sin x dx

※　x と三角関数，指数関数などの積　→　x を f側 (次に微分する側)に選ぶと消える

　　( )は左辺の初めの形
　　下げる：(f) = x　　　→ f' = 1
　　　　　g =−cos x ← (g') = sin x：上げる

∫wnx sin x dx =−x cos x + ∫wncos x dx
=−x cos x + sin x + C

例２
∫wnx logx dx

※　log x → 微分する側(現在 f の側)に選ぶとうまくいくことが多い。
(例外：log x は相手が多項式であっても，微分する側とする。)

　　( )は左辺の初めの形
下げる：(f) = log x → f' = .

1xn

g = .

x22nn ← (g') = x：上げる

∫wnx logx dx = .

x22nn log x− ∫wn .

1xn.

x22nn dx

= .

x22n log x−∫wn .

x2n dx

= .

x22nn log x−.

x24nn + C

例3
∫wnex sin x dx

I = ∫wnex sin x dx とおく

※求める不定積分を I とおいて，方程式のように解く。
→同じものが出てくるまで変形する．

　　( )は左辺の初めの形

　　下げる：(f) = sin x　→ f' = cos x
　　　　　　g = ex ← (g') = ex：上げる

I = ∫wnex sin x dx

= ex sin x−∫wnex cos x dx

　　( )は左辺の初めの形

　　下げる：(p) = cos x　→ p' =−sin x
　　　　　　q = ex ← (q') = ex：上げる

I = ex sin x−∫wnex cos x dx

= ex sin x−(ex cos x + ∫wnex sin x dx)

I = ex sin x−ex cos x−I…(*)　となるから，

(*)の式では積分定数Ｃが見えていなくても，一般に不定積分には積分定数を付けなければならないから，最後に付ける．

I=.

ex(sinx−cosx)2nnnnnnnnnnn +C

■　問題　次の空欄を埋めなさい。

空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．

(1)
∫wnxe−3xdx

(2)
∫wnx2 cos x dx

(3)
∫wnlog x dx

(4)
∫wn .

(logx)2xnnnnnn dx

･･[別解]･･

この問題は，置換積分でも解けます：

log x = t とおくと，

.

dtdxnn = .

1xn → dx = x dt

(原式) = ∫wn .

(logx)2xnnnnnndx

= ∫wn .

t2xn x dt

= ∫wn t2 dt = .

t33n + C

= .

(logx)33nnnnnn + C
→ 閉じる

←

(5)
∫wn (log x)2dx

(6)
∫wn eax cos bx dx

　(ただし，a，b ≠ 0 とする。)

◇考え方◇ = I とおいて，同じものが登場するまで部分積分を繰り返す。

　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(f) = eax　→ f' = a eax　

　　　　　　　　g = .

sinbxbnnnnn　 ← (g') = cos bx：上げる

(原式) = ∫wn eax cos bx dx

= .

eaxsinbxbnnnnnn − .

nn ∫wn eax sin bx dx

　　　( )は左辺の初めの形

　　　下げる：(p) = eax　→ p' = a eax　

　　　　　　　　q =−.

cosbxbnnnnn　 ← (q') = sin bx：上げる

(原式)=.

eaxsinbxbnnnnnnn−.

abn(−.

eaxcosbxbnnnnnnn+.

nn∫wneax cos bx dx )

I = .

eaxsinbxbnnnnnn + .

aeaxcosbxb2nnnnnnnn − .

a2b2nn I

.

a2+b2b2nnnnn I = .

beaxsinbx+aeaxcosbxb2nnnnnnnnnnnnnnnnn

I = .

eax(bsinbx+acos_bx)a2+b2nnnnnnnnnnnnnnnnnn +C

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[不定積分の部分積分法について／16.11.13］

(４)の別解の最終形が間違っていると思います。 (logx)^3/xではなく、(logx)^3/3ではないですか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

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