PC用は別頁
窶サ鬮俶�。謨ー蟄ヲ竇「縺ョ縲御ク榊ョ夂ゥ榊�縲�縺ォ縺、縺�※�後%縺ョ繧オ繧、繝医↓縺ッ谺。縺ョ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻シ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ェ縺ゥ縺ョ讀懃エ「縺九i逶エ謗・譚・縺ヲ縺励∪縺」縺溘�縺ァ縲悟燕謠舌→縺ェ縺」縺ヲ縺�k蜀�ョケ縺悟�縺九i縺ェ縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医d縲後%縺ョ鬆√�蛻�°縺」縺溘′繧ゅ▲縺ィ蠢懃畑蝠城。後r隕九◆縺�€阪→縺�≧蝣エ蜷医��御サ悶�鬆√r隕九※縺上□縺輔>��縲€ 縺檎樟蝨ィ蝨ー縺ァ縺呻シ�
竊�螟夐��シ上�譛臥炊髢「謨ー繝サ辟。逅�未謨ー縺ョ荳榊ョ夂ゥ榊�
竊�蛻�焚髢「謨ー(譛臥炊髢「謨ー)縺ョ荳榊ョ夂ゥ榊�
竊�蜷�(2)
竊�蜷�(3)
竊�蜷�(4)
竊�蜷�(縺セ縺ィ繧�)
竊�荳榊ョ夂ゥ榊�縺ョ鄂ョ謠帷ゥ榊�
竊�蜷�(2)
竊�荳榊ョ夂ゥ榊�縺ョ驛ィ蛻�ゥ榊�-迴セ蝨ィ蝨ー
竊�蜷�(2)
竊�謖�焚髢「謨ー繝サ蟇セ謨ー髢「謨ー縺ョ荳榊ョ夂ゥ榊�
竊�蜷�(2)
竊�荳芽ァ帝未謨ー縺ョ荳榊ョ夂ゥ榊�
竊�蜷�(2)
竊�荳榊ョ夂ゥ榊��医∪縺ィ繧�1��
竊�蜷�(2)
荳榊ョ夂ゥ榊�縺ョ貍ク蛹門シ�

== 不定積分の部分積分法 ==

◇解説◇
 元の形では積分計算が困難に見える問題でも,形を変えると積分計算の分かる問題に書き直せることがあります。
 ここで紹介する部分積分法は,積の微分法から導かれます.

 積の微分法: 
(fg)’ = f’g + fg’
 の両辺を積分すると,

fg = wnf’g dx + wnfg’dx

移項すると,部分積分法の公式が得られます。
wnfg’dx= fg−wnf’g dx
※以下の解説においては,「上げる」「下げる」という筆者独特の言い回しがあります.「上げる」とは積分する,「下げる」とは微分するという意味(多項式で言えば,各々次数が上がる,下がるから)です.
【例1】

wn x sin x dx
※ x と 三角関数,指数関数などの積 → x を f側 (次に微分する側)に選ぶと消える
  ( )は左辺の初めの形
   下げる:(f) = x   → f' = 1
     g =−cos x ← (g') = sin x
:上げる


wnx sin x dx =−x cos x + wncos x dx
=−x cos x + sin x + C


例2
wnx logx dx
※ log x → 微分する側(現在 f の側)に選ぶとうまくいくことが多い。
(例外:log x は相手が多項式であっても,微分する側とする。)

  ( )は左辺の初めの形
下げる:(f) = log x → f' = .1xn

g = .x22nn(g') = x:
上げる



wnx logx dx = .x22nn log x− wn .1xn.x22nn dx

= .x22n log x−wn .x2n dx

= .x22nn log x−.x24nn + C

例3
wnex sin x dx

I = wnex sin x dx とおく

※求める不定積分を I とおいて,方程式のように解く。
→同じものが出てくるまで変形する.

  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(f) = sin x → f' = cos x
      g = ex(g') = ex
:上げる


I = wnex sin x dx

= ex sin x−wnex cos x dx



  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(p) = cos x → p' =−sin x
      q = ex(q') = ex
:上げる


I = ex sin x−wnex cos x dx

= ex sin x−(ex cos x + wnex sin x dx)

I = ex sin x−ex cos x−I…(*) となるから,

(*)の式では積分定数Cが見えていなくても,一般に不定積分には積分定数を付けなければならないから,最後に付ける.
I=.ex(sinx−cosx)2nnnnnnnnnnn +C



■ 問題 次の空欄を埋めなさい。
空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.
(1)
wnxe−3xdx
◇考え方◇ x を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → x が消える。



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x → f' =  

        g = .e−3x(__)nnnnnn  ← (g') = e-3x
:上げる





(原式) = x .e−3x(−3)nnnn wn 1・ .e−3x()nnnn dx

=−.xe−3x3nnnnn + .13n wn e-3x dx =−.xe−3x3nnnnn + .13n .e−3x(−3)nnnn + C


=−.xe−3x3nnnnn .e−3x9nnn + C =− .(x+1)e−3x9nnnnnnnnnn + C

(2)
wnx2 cos x dx
◇考え方◇ x2 を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → 2回の部分積分で消える。



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x2 → f' = x 
        g = (g') = cos x:上げる



(原式)=x2sin x − wn 2x sin x dx = x2sin x −2 wn x sin x dx



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = x → p' =
        q =−cos x ← (g') = sin x
:上げる



(原式) = x2sin x −2( x (- cosx ) + wn cos x dx )
= x2sin x−2(−x cosx + sin x) + C
= x
2sin x + 2x cosx −2sin x + C

(3)
wnlog x dx
◇考え方◇ 1・log x と考える



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = log x → f’= .1nn 

        g =   ← (g') = 1: 上げる



(原式) = x log x− wn .1xn x dx = x log x− wn dx

= x log x− + C


(4)
wn .(logx)2xnnnnnn dx
◇考え方◇ log x を微分する側に選ぶ



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x) .1xn 

        g =   ← (g') = .1xn: 上げる



(原式) = I とおく
I = (log x)3 wn 2 log x .1xn log x dx


= (log x)3−2 wn .(logx)xnnnnnnnn dx

I = (log x)3−2I だから

I = .(logx)3nnnnnn + C

・・[別解]・・
(5)
wn (log x)2dx
◇考え方◇ 1・(log x)2 と考える



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x).1xn 

        g = x  ← (g') = 1: 上げる

(原式)=wn (log x)2 dx

= (log x)2wn (log x) .1xn x dx

=x(log x)2wnlog x dx




   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = log x → p' = .1xn 

        q = x  ← (q') = 1: 上げる


wnlog x dx = x log x−x + C だから
(原式)= x (log x)2−2(x log x−x) + C
= x (log x)2−2x log x + 2x + C

(6)
wn eax cos bx dx

 (ただし,a,b0 とする。)
◇考え方◇ = I とおいて,同じものが登場するまで部分積分を繰り返す。


   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = eax → f' = a eax 

        g = .sinbxbnnnnn  ← (g') = cos bx: 上げる



(原式) = wn eax cos bx dx

= .eaxsinbxbnnnnnn .nn wn eax sin bx dx



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = eax → p' = a eax 

        q =−.cosbxbnnnnn  ← (q') = sin bx: 上げる



(原式)=.eaxsinbxbnnnnnnn.abn(−.eaxcosbxbnnnnnnn+.nnwneax cos bx dx )

I = .eaxsinbxbnnnnnn + .aeaxcosbxb2nnnnnnnn .a2b2nn I

.a2+b2b2nnnnn I = .beaxsinbx+aeaxcosbxb2nnnnnnnnnnnnnnnnn

I = .eax(bsinbx+acos_bx)a2+b2nnnnnnnnnnnnnnnnnn +C


[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る


■[個別の頁からの質問に対する回答][不定積分の部分積分法について/16.11.13]
(4)の別解の最終形が間違っていると思います。 (logx)^3/xではなく、(logx)^3/3ではないですか。
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました.

隨�ソス邵コ阮呻ソス郢ァ�オ郢ァ�、郢昜コ・�ス邵コ�ョGoogle隶€諛�スエ�「隨�ソス

隨�スウ邵コ阮呻ソス郢晏」ケ�ス郢ァ�ク邵コ�ョ陷育」ッ�ス�ュ邵コ�ォ隰鯉スサ郢ァ驫€辟。
邵イ�ス 郢ァ�「郢晢スウ郢ァ�ア郢晢スシ郢晉」ッツ€竏ス�ソ�。 邵イ�ス
… 邵コ阮呻ソス郢ァ�「郢晢スウ郢ァ�ア郢晢スシ郢晏現�ス隰ィ蜻取駁隰セ�ケ陜滂ソス�ス陷ソ繧環€�ス竊鍋クコ霈披雷邵コ�ヲ邵コ�ス笳�クコ�ス邵コ髦ェ竏ェ邵コ�ス

隨�ソス邵コ阮呻ソス鬯��竊鍋クコ�、邵コ�ス窶サ�ス迹壽�邵コ�ス蝨抵ソス譴ァ縺檎クコ�ス蝨抵ソス遒∽ソ」鬩戊シ費シ樒クコ�ョ隰厄ソス驕ュ�ス蠕娯落邵コ�ョ闔画じ�ス隲「貊鳶ヲ邵コ蠕娯旺郢ァ蠕鯉ソス鬨セ竏ス�ソ�。邵コ蜉ア窶サ邵コ荳岩味邵コ霈費シ橸ソス�ス
隨ウ蛹コ譫夐��ス邵コ�ョ陟厄ス「郢ァ蛛オ��邵コ�ヲ邵コ�ス�玖ォ「貊鳶ヲ邵コ�ッ陷茨スィ鬩幢スィ髫ア�ュ邵コ�セ邵コ蟶吮€サ郢ァ繧�ス臥クコ�」邵コ�ヲ邵コ�ス竏ェ邵コ蜻サ�シ�ス
隨ウ蛹コ笏€隲��ウ邵コ�ョ陷€�ス縲抵ソス蠕娯�邵コ�ョ陜�蝓趣ス。蠕娯€イ邵コ�ゥ邵コ�ス縲堤クコ繧�夢邵コ貅伉ー郢ァ蜻茨スュ�」驕抵スコ邵コ�ェ隴�ソス�ォ�ス邵コ�ァ闔ィ譏エ竏エ邵コ�ヲ邵コ�ス笳�クコ�ス邵コ�ス笳�ャセ�ケ陜滂ソス�ヲ竏オ謔咲クコ�ォ陝�スセ邵コ蜉ア窶サ邵コ�ッ�ス謔溷コ�妙�ス邵コ�ェ鬮ッ闊鯉ス願汞�セ陟「諛岩�郢ァ荵晢ス育クコ�ス竊鍋クコ蜉ア窶サ邵コ�ス竏ェ邵コ蜻サ�シ雜」�シ驕コツ€�サ邵コ�ェ邵コ螂�スシ譴ァ蛻、隰ヲ�ス蝎ェ邵コ�ェ隴�ソス�ォ�ス邵コ�ォ邵コ�ェ邵コ�」邵コ�ヲ邵コ�ス�玖撻�エ陷キ蛹サ�ス�ス蠕娯落郢ァ蠕鯉ス定怦�ャ鬮「荵昶�郢ァ荵昶�驕イ�スツ€�ス笆。邵コ莉」縲堤クコ�ェ邵コ蜑ー�ェ�ュ髢��ス�る坡�ュ郢ァツ€邵コ阮吮�邵コ�ォ邵コ�ェ郢ァ鄙ォ竏ェ邵コ蜷カ�ス邵コ�ァ�ス譴ァ豐サ騾包スィ邵コ蜉ア竏ェ邵コ蟶呻ス難ソス雜」�シ�ス


髮会スェ陜�荳岩�陝�スセ邵コ蜷カ�玖摎讓抵スュ譁撰ソス闕ウ�ュ陝�スヲ霑壼現�ス邵コ阮呻ソス鬯�ソス�ス遒�スォ菫カ�ス�。霑壼現�ス邵コ阮呻ソス鬯�ソス邵コ�ォ邵コ繧�ス顔クコ�セ邵コ�ス