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※高校数学Ⅲの「不定積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
多項式・有理関数・無理関数の不定積分
分数関数(有理関数)の不定積分
同(2)
同(3)
同(4)
同(まとめ)
不定積分の置換積分
同(2)
不定積分の部分積分-現在地
同(2)
指数関数・対数関数の不定積分
同(2)
三角関数の不定積分
同(2)
不定積分(まとめ1)
同(2)
不定積分の漸化式

== 不定積分の部分積分法 ==

◇解説◇
 元の形では積分計算が困難に見える問題でも,形を変えると積分計算の分かる問題に書き直せることがあります。
 ここで紹介する部分積分法は,積の微分法から導かれます.

 積の微分法: 
(fg)’ = f’g + fg’
 の両辺を積分すると,

fg = wnf’g dx + wnfg’dx

移項すると,部分積分法の公式が得られます。
wnfg’dx= fg−wnf’g dx
※以下の解説においては,「上げる」「下げる」という筆者独特の言い回しがあります.「上げる」とは積分する,「下げる」とは微分するという意味(多項式で言えば,各々次数が上がる,下がるから)です.
【例1】

wn x sin x dx
※ x と 三角関数,指数関数などの積 → x を f側 (次に微分する側)に選ぶと消える
  ( )は左辺の初めの形
   下げる:(f) = x   → f' = 1
     g =−cos x ← (g') = sin x
:上げる


wnx sin x dx =−x cos x + wncos x dx
=−x cos x + sin x + C


例2
wnx logx dx
※ log x → 微分する側(現在 f の側)に選ぶとうまくいくことが多い。
(例外:log x は相手が多項式であっても,微分する側とする。)

  ( )は左辺の初めの形
下げる:(f) = log x → f' = .1xn

g = .x22nn(g') = x:
上げる



wnx logx dx = .x22nn log x− wn .1xn.x22nn dx

= .x22n log x−wn .x2n dx

= .x22nn log x−.x24nn + C

例3
wnex sin x dx

I = wnex sin x dx とおく

※求める不定積分を I とおいて,方程式のように解く。
→同じものが出てくるまで変形する.

  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(f) = sin x → f' = cos x
      g = ex(g') = ex
:上げる


I = wnex sin x dx

= ex sin x−wnex cos x dx



  ( )は左辺の初めの形

  下げる:(p) = cos x → p' =−sin x
      q = ex(q') = ex
:上げる


I = ex sin x−wnex cos x dx

= ex sin x−(ex cos x + wnex sin x dx)

I = ex sin x−ex cos x−I…(*) となるから,

(*)の式では積分定数Cが見えていなくても,一般に不定積分には積分定数を付けなければならないから,最後に付ける.
I=.ex(sinx−cosx)2nnnnnnnnnnn +C



■ 問題 次の空欄を埋めなさい。
空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします.
(1)
wnxe−3xdx
◇考え方◇ x を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → x が消える。



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x → f' =  

        g = .e−3x(__)nnnnnn  ← (g') = e-3x
:上げる





(原式) = x .e−3x(−3)nnnn wn 1・ .e−3x()nnnn dx

=−.xe−3x3nnnnn + .13n wn e-3x dx =−.xe−3x3nnnnn + .13n .e−3x(−3)nnnn + C


=−.xe−3x3nnnnn .e−3x9nnn + C =− .(x+1)e−3x9nnnnnnnnnn + C

(2)
wnx2 cos x dx
◇考え方◇ x2 を微分する側(初めの f の側)に選ぶ → 2回の部分積分で消える。



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = x2 → f' = x 
        g = (g') = cos x:上げる



(原式)=x2sin x − wn 2x sin x dx = x2sin x −2 wn x sin x dx



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = x → p' =
        q =−cos x ← (g') = sin x
:上げる



(原式) = x2sin x −2( x (- cosx ) + wn cos x dx )
= x2sin x−2(−x cosx + sin x) + C
= x
2sin x + 2x cosx −2sin x + C

(3)
wnlog x dx
◇考え方◇ 1・log x と考える



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = log x → f’= .1nn 

        g =   ← (g') = 1: 上げる



(原式) = x log x− wn .1xn x dx = x log x− wn dx

= x log x− + C


(4)
wn .(logx)2xnnnnnn dx
◇考え方◇ log x を微分する側に選ぶ



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x) .1xn 

        g =   ← (g') = .1xn: 上げる



(原式) = I とおく
I = (log x)3 wn 2 log x .1xn log x dx


= (log x)3−2 wn .(logx)xnnnnnnnn dx

I = (log x)3−2I だから

I = .(logx)3nnnnnn + C

・・[別解]・・
(5)
wn (log x)2dx
◇考え方◇ 1・(log x)2 と考える



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = (log x)2 → f' = 2 (log x).1xn 

        g = x  ← (g') = 1: 上げる

(原式)=wn (log x)2 dx

= (log x)2wn (log x) .1xn x dx

=x(log x)2wnlog x dx




   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = log x → p' = .1xn 

        q = x  ← (q') = 1: 上げる


wnlog x dx = x log x−x + C だから
(原式)= x (log x)2−2(x log x−x) + C
= x (log x)2−2x log x + 2x + C

(6)
wn eax cos bx dx

 (ただし,a,b0 とする。)
◇考え方◇ = I とおいて,同じものが登場するまで部分積分を繰り返す。


   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(f) = eax → f' = a eax 

        g = .sinbxbnnnnn  ← (g') = cos bx: 上げる



(原式) = wn eax cos bx dx

= .eaxsinbxbnnnnnn .nn wn eax sin bx dx



   ( )は左辺の初めの形

   下げる:(p) = eax → p' = a eax 

        q =−.cosbxbnnnnn  ← (q') = sin bx: 上げる



(原式)=.eaxsinbxbnnnnnnn.abn(−.eaxcosbxbnnnnnnn+.nnwneax cos bx dx )

I = .eaxsinbxbnnnnnn + .aeaxcosbxb2nnnnnnnn .a2b2nn I

.a2+b2b2nnnnn I = .beaxsinbx+aeaxcosbxb2nnnnnnnnnnnnnnnnn

I = .eax(bsinbx+acos_bx)a2+b2nnnnnnnnnnnnnnnnnn +C


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■[個別の頁からの質問に対する回答][不定積分の部分積分法について/16.11.13]
(4)の別解の最終形が間違っていると思います。 (logx)^3/xではなく、(logx)^3/3ではないですか。
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました.

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