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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「三角関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓正の角・負の角
↓一般角
↓三角関数の定義
↓第２象限の角
↓第３象限の角
↓第４象限の角
↓三角関数の性質（まとめ）
↓弧度法の単位ラジアン
↓弧度法：三角関数の値
↓sin(θ+π)など
↓y=sin(θ−α)のグラフ
↓y=a sin b(x−p)+q のグラフ
↓y=a cos b(x−p)+q のグラフ
↓振幅とグラフ
↓周期とグラフ
↓三角方程式
↓三角不等式
↓同(2)
↓加法定理,倍角(３倍角)公式,半角公式
↓加法定理（練習問題）
↓同(2)
↓同(3)数値計算
↓倍角・半角公式（練習問題）
↓積和・和積の公式
↓同(2)
↓同(3)
↓三角関数の合成公式
↓三角関数の公式一覧
↓三角関数の公式プラス
↓三角形の証明・形状問題
センター試験 三角関数(2015～)

(*)で示したものは，通常は覚えない．
必要になってから作るくらいの構えでよい．

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ …(1.1)
$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ …(1.2)
$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ …(1.3)
$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ …(1.4)
$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$ …(1.5)
$\tan (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$ …(1.6)
$\cot (\alpha +\beta )$$={\displaystyle \frac{1}{\tan (\alpha +\beta )}}={\displaystyle \frac{1-\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}$
$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha \tan \beta }}-1}{{\displaystyle \frac{1}{\tan \beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}}}$
$={\displaystyle \frac{\cot \beta \cot \alpha -1}{\cot \beta +\cot \alpha }}$ …(*1.7)
$\cot (\alpha -\beta )$$={\displaystyle \frac{1}{\tan (\alpha -\beta )}}={\displaystyle \frac{1+\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha -\tan \beta }}$
$={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha \tan \beta }}+1}{{\displaystyle \frac{1}{\tan \beta }}-{\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}}}$
$={\displaystyle \frac{\cot \beta \cot \alpha +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$ …(*1.8)
$\sin (\alpha +\beta +\gamma )$
$=\sin (\alpha +\beta )\cos \gamma +\cos (\alpha +\beta )\sin \gamma$
$=(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\cos \gamma$
$+(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )\sin \gamma$ …(*1.9)
$\cos (\alpha +\beta +\gamma )$
$=\cos (\alpha +\beta )\cos \gamma -\sin (\alpha +\beta )\sin \gamma$
$=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )\cos \gamma$
$-(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\sin \gamma$ …(*1.10)

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ …(2.1)
$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ …(2.2)
$=2{\cos }^2\alpha -1$ …(2.3)
$=1-2{\sin }^2\alpha$ …(2.4)
$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$ …(2.5)
$\cot 2\alpha ={\displaystyle \frac{{\cot }^2\alpha -1}{2\cot \alpha }}$ …(*2.6)

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x={\displaystyle \frac{1}{\sin x}}$
$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$
$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}x={\displaystyle \frac{1}{\tan x}}$

　要するに，３文字目に赤で示した三角関数
$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x,\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}x$の逆数と覚えるとよい．
※ただし，英語圏では，$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$の代わりに，$\csc x$と書かれることが多い=３文字がお好き？

※半角公式は$\cos 2\alpha$に関する２倍角公式(2.3)(2.4)と同じものと考えればよい．

${\sin }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{2}}$ …(3.1.1)
この半角公式は，次の形で書かれることもある．この場合，符号は角度$\alpha$の象限に応じてどちらか一方を選ぶことになる．
$\sin \alpha =\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{2}}}$ …(3.1.2)
この半角公式は，次の形で書かれることもある．この場合，倍角を$\alpha$と書いていることになる．
${\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{2}}$ …(3.1.3)
$\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{2}}}$ …(3.1.4)
${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1+\cos 2\alpha }{2}}$ …(3.2.1)
この半角公式は次の形で書かれることもある．
$\cos \alpha =\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos 2\alpha }{2}}}$ …(3.2.2)
${\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}$ …(3.2.3)
$\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}}$ …(3.2.4)
${\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$ …(3.3.1)
この半角公式は次の形で書かれることがある．
$\tan \alpha =\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}}$ …(3.3.2)
${\tan }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$ …(3.3.3)
$\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$ …(3.3.4)
(3.3.2)(3.3.4)のように$\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{\cdots }{\cdots }}}$の形で書かれる公式では，角度が属する象限に応じていずれか1つの符号を選ばなければならないが，次の形ではその心配はない．
$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$ …(*3.3.5)
$\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}$ …(*3.3.6)
$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }}$ …(*3.3.7)
$\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}$ …(*3.3.8)

$\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=t$とおくと
$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{2t}{1-t^2}}$ …(4.1)
$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$ …(4.2)
$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}$ …(4.3)
※(4.2)(4.3)は分母が共通で，分子の比が(4.1)になります

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$ …(5.1)
$\cos 3\alpha =-3\cos \alpha +4{\cos }^3\alpha$ …(5.2)
※「sinnαはsinαで表せる．cosnαはcosαで表せそうだ．」というのは，当てはまる場合と当てはまらない場合があります．

$\sin \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}$…(6.1)
$\cos \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}$…(6.2)
$\cos \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\}$…(6.3)
$\sin \alpha \sin \beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}$…(6.4)

$\sin A+\sin B=2\sin {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$…(7.1)
$\sin A-\sin B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$…(7.2)
$\cos A+\cos B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$…(7.3)
$\cos A-\cos B=-2\sin {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$…(7.4)

$\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx$
$={\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{n+1}{2}}x\sin {\displaystyle \frac{n}{2}}x}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$ …(*8.1)
$\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos nx$
$={\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{n+1}{2}}x\sin {\displaystyle \frac{n}{2}}x}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}}$ …(*8.2)

元の問題が$\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx$であるのに，「勝手に」$\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$を掛けて
$(\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx)\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$
を計算する．うまく答が出たら，結果を$\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$で割るのである．（掛けて割ったら元へと戻る）

分母では，
$1(\cos (-{\displaystyle \frac{x}{2}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{x}{2}}))=\cos (-{\displaystyle \frac{x}{2}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{x}{2}})$
$(\cos x+i\sin x)(\cos (-{\displaystyle \frac{x}{2}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{x}{2}}))$
$=\cos ({\displaystyle \frac{x}{2}})+i\sin ({\displaystyle \frac{x}{2}})$
など変形する

$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos {\displaystyle \frac{A}{2}}\cos {\displaystyle \frac{B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{C}{2}}$…(*9.1)
$\cos A+\cos B+\cos C=4\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}+1$…(*9.2)
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$…(*9.3)
$\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$…(*9.4)