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正の角・負の角
一般角
三角関数の定義
第2象限の角
第3象限の角
第4象限の角
三角関数の性質(まとめ)
弧度法の単位ラジアン
弧度法:三角関数の値
sin(θ+π)など
y=sin(θ−α)のグラフ
y=a sin b(x−p)+q のグラフ
y=a cos b(x−p)+q のグラフ
振幅とグラフ
周期とグラフ
三角方程式
三角不等式
同(2)
加法定理,倍角(3倍角)公式,半角公式
加法定理(練習問題)
同(2)
同(3)数値計算
倍角・半角公式(練習問題)
積和・和積の公式
同(2)
同(3)
三角関数の合成公式
三角関数の公式一覧
三角関数の公式プラス
三角形の証明・形状問題
センター試験 三角関数(2015~)

== 三角関数の加法定理 ==
○ 三角関数の加法定理を利用するとsin15°のような通常覚えない角の三角関数を計算によって求めることができます.
次の公式で言えば,sin(α−β)=sinα·cosβcosα·sinβ …(2)において,αとβの三角関数sinα, cosβ, cosα, sinβの値が分かればsin(α−β)の値が求められます.

【例1】
sin15°の値を求めてください.
 この問題では,コンピュータや数表を使った近似値ではなく,根号を使った厳密な値を要求しています.
 高校では,0°, 30°, 45°, 60°, 90°, ...の三角関数は覚えなければなりませんが,それ以外の角の三角関数は,通常覚えません.
 ここでは,sin15°=sin(45°−30°)のように変形することにより,三角関数の加法定理を使って既知の三角関数で表せるものを扱います.
(解答)
sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°
=..2√ni2nnn..3√ni2nnn..2√ni2nnn.12n=..6√ni.2√ni4nnnnnnn
(別解)
sin15°=sin(60°−45°)=sin60°cos45°−cos60°sin45°
=..3√ni2nnn..2√ni2nnn.12n..2√ni2nnn=..6√ni.2√ni4nnnnnnn
三角関数の加法定理
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ …(1)
sin(α−β)=sinα·cosβ−cosα·sinβ …(2)

cos(α+β)=cosα·cosβsinα·sinβ …(3)
cos(α−β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ …(4)

tan(α+β)=.tanα+tanβ1−tanα·tanβnnnnnnnnnn …(5)
tan(α−β)=.tanα−tanβ1+tanα·tanβnnnnnnnnnn …(6)
※ (3)(4)の符号に注意

○次の三角関数の値は,宙で言えなければなりません.
θ30°45°60°90°
sinθ0.12n..2√ni2nnn..3√ni2nnn1
cosθ1..3√ni2nnn..2√ni2nnn.12n0
tanθ0.1.3√ninnn1.3√ni×

※選択肢をクリックしてください.正しければが表示されてその式が代入されます.小問に分かれているときは,次の問題が表示されます.
 間違っていれば×が表示されます.
※各々4択の問題で,間違ってやり直しても数秒で正解に行き着きますので,特にHELPやヒントは付けていません.
【問1】
cos15°の値を求めてください.
に入る式を次の選択肢から選んでください.)
cos15°=cos(60°−45°)
=(1)









【問2】
sin75°の値を求めてください.
sin75°=sin(30°+45°)
=(1)








【問3】
cos75°の値を求めてください.
cos75°=cos(30°+45°)
=(1)









【問4】
sin105°の値を求めてください.
sin105°=sin(60°+45°)
=(1)








【問5】
cos.712nnπの値を求めてください.
cos.712nnπ=cos( .π3n+.π4n)
=(1)








【問6】
sin.1112nnπの値を求めてください.
sin.1112nnπ=sin( .23nπ+.π4n)
=(1)









【例2】
90°<α<180°, 0°<β<90°, sinα=.35n, cosβ=.12nのとき,sin(α+β)の値を求めてください.
(解答)
sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ…(1)
ここで,仮定により
sinα=.35n, cosβ=.12n …(2)
また,
cos2α=1−sin2α=1−.925nn=.1625nn
cosα.45n
90°<α<180°によりcosα=−.45n …(3)
sin2β=1−cos2β=1−.14n=.34n
sinβ..3√ni2nnn
0°<β<90°によりsinβ=..3√ni2nnn …(4)
(2)(3)(4)を(1)に代入すると
sin(α+β)=.35n.12n+(−.45n)..3√ni2nnn=.3−4.3√ni10nnnnn
 sinθ, cosθ, tanθのうちの1つの値が分かっているとき,残りの値を求めることができます.

sinθからcosθを求める:
sin2θ+cos2θ=1により
cos2θ=1−sin2θ
cosθ=±.1−sin2θ√nnnnnnni
±のうちで符号は,θが第何象限の角であるかによって判断します.
cosθからsinθを求める:
sin2θ+cos2θ=1により
sin2θ=1−cos2θ
sinθ=±.1−cos2θ√nnnnnnni
±のうちで符号は,θが第何象限の角であるかによって判断します.
【問7】
0<α<.π2n, .π2n<β<π, cosα=.35n, sinβ=.1213nnのとき,
sin(α−β)の値を求めてください.
sinα, cosβの値はそれぞれ(1)
となるから




【問8】
αは第2象限の角,βは第3象限の角,sinα=.12n,
sinβ=−.45n
のとき,cos(α−β)の値を求めてください.
cosα, cosβの値はそれぞれ(1)
となるから





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■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/17.4.19]
タンジェントの練習がない
=>[作者]:連絡ありがとう.その頁は sinθ,cosθ関連の基本練習までを扱っています.tanθはその次の頁に(少し)あります.
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の加法定理について/16.10.13]
本文の15行目にあるsin15°=sin(45°-30°)ですが、 45°ではなく40°になっています 修正お願いします
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.

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