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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「三角関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓正の角・負の角
↓一般角
↓三角関数の定義
↓第２象限の角
↓第３象限の角
↓第４象限の角
↓三角関数の性質（まとめ）
↓弧度法の単位ラジアン
↓弧度法：三角関数の値
↓sin(θ+π)など
↓y=sin(θ−α)のグラフ
↓y=a sin b(x−p)+q のグラフ
↓y=a cos b(x−p)+q のグラフ
↓振幅とグラフ
↓周期とグラフ
↓三角方程式
↓三角不等式
↓同(2)
↓加法定理,倍角(３倍角)公式,半角公式
↓加法定理（練習問題）
↓同(2)
↓同(3)数値計算
↓倍角・半角公式（練習問題）
↓積和・和積の公式
↓同(2)
↓同(3)
↓三角関数の合成公式
↓三角関数の公式一覧
↓三角関数の公式プラス
↓三角形の証明・形状問題
センター試験 三角関数(2015～)

【例題1】
　sin45°, cos45°, sin30°, cos30°の値を利用して，sin15°, cos15°の値を求めてください．

【例題2】
　sin${\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$ , cos${\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$ ，tan${\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$ の値を求めてください．

※数学Ⅱでは，度数法（六十分法），弧度法（単位はラジアン）の両方を習うので，三角関数の値を求める問題は，どちらの単位で出題されても答えられるようにしておくのがよい．

【正接の加法定理】
$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

【問題1】
　sin105°, cos105°の値を求めてください．

sin105°=sin(60°+45°)
　=sin60°cos45°+cos60°sin45°
$={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
cos105°=cos(60°+45°)
　=cos60°cos45°−sin60°sin45°
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$
→解答を隠す←

【問題2】
　$\sin (-{\displaystyle \frac{7}{12}}\pi ),\cos {\displaystyle \frac{11}{12}}\pi ,\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めてください．

$\sin (-{\displaystyle \frac{7}{12}}\pi )=-\sin {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$
$=-\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$=-(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$=-({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$
$=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$
$\cos {\displaystyle \frac{11}{12}}\pi =\cos ({\displaystyle \frac{2}{3}}\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$=\cos {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \cdot \cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\sin {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \cdot \sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
$=(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$
$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}=\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$
$={\displaystyle \frac{\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{1+\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot \tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}$
$={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}}$
$={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}}=2-\sqrt{3}$
→解答を隠す←

【2倍角公式】
　sin2α=2sinαcosα･･･(#1)
　cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α･･･(#2)
　$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$･･･(#3)
【半角公式】
2倍角公式のうちでcos2α=···の式を，逆に解いたものを半角公式という．
（上記の#2を変形する.(#1)(#3)からは変形しない）
　${\sin }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{2}}$ もしくは${\sin }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{2}}$
　${\cos }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1+\cos 2\alpha }{2}}$ もしくは${\cos }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1+\cos \alpha }{2}}$
　${\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$もしくは${\tan }^2{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$
※${\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}$を使う

【問題3】
　２倍角公式・半角公式を用いて，sin22.5°, cos22.5°, tan22.5°の値を求めてください．

${\sin }^2{22.5}^{\circ }={\displaystyle \frac{1-\cos {45}^{\circ }}{2}}={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{2}}$
$={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{4}}$
sin22.5°>0だから
$\sin {22.5}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$
※この二重根号は外れない．
${\cos }^2{22.5}^{\circ }={\displaystyle \frac{1+\cos {45}^{\circ }}{2}}={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{2}}$
$={\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{4}}$
cos22.5°>0だから
$\cos {22.5}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$
※この二重根号は外れない．
$\tan {22.5}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sin {22.5}^{\circ }}{\cos {22.5}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}}}$
$=\sqrt{{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(2-\sqrt{2}{)}^2}{4-2}}}={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$
$=\sqrt{2}-1$
→解答を隠す←

【例題3】
　α, βともに第1象限の角で，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}},\sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，sin(α+β), cos(α+β)の値を求めてください．

【例題4】
　αは第1象限の角，βは第2象限の角で，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}},$
$\sin \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ のとき，sin(α−β), cos(α−β)の値を求めてください．

【問題4】
　αは第2象限の角，βは第1象限の角で，
$\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}},$$\sin \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$ のとき，sin(α+β), cos(α−β)の値を求めてください．

（解答）
αは第2象限の角で，$\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}$だから
$\sin \alpha =\sqrt{1-(-{\displaystyle \frac{3}{5}}{)}^2}={\displaystyle \frac{4}{5}}$(>0)
βは第1象限の角で，$\sin \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}$だから
$\cos \beta =\sqrt{1-({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}{)}^2}={\displaystyle \frac{2}{3}}$(<0)
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
$={\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}+(-{\displaystyle \frac{3}{5}})\times {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}={\displaystyle \frac{8-3\sqrt{5}}{15}}$---（答）
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
$=(-{\displaystyle \frac{3}{5}})\times {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}}={\displaystyle \frac{-6+4\sqrt{5}}{15}}$---（答）
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【問題5】
　αは第1象限の角，βは第3象限の角で，
$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},$$\cos \beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき，tan(α+β), tan(α−β)の値を求めてください．

（解答）
αは第1象限の角で，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$だから
$\cos \alpha =\sqrt{1-(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$(>0)
$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=1$
βは第3象限の角で，$\cos \beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$だから
$\sin \beta =-\sqrt{1-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$(<0)
$\tan \beta ={\displaystyle \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}=\sqrt{3}$
$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$
$={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3}{)}^2}{1-3}}={\displaystyle \frac{4+2\sqrt{3}}{-2}}=-2-\sqrt{3}$---（答）
$\tan (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$
$={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{(1-\sqrt{3}{)}^2}{1-3}}={\displaystyle \frac{4-2\sqrt{3}}{-2}}=-2+\sqrt{3}$---(答)
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【昔からよくある問題】
　α=18°とすると，5α=90°すなわち2α+3α=90°となることを利用して，sin18°, cos18°を求めることができる．
　上記の18°の三角関数が分かっている場合は，その値を使って2倍角36°の三角関数も求められるが，それとは独立な問題としてsin36°, cos36°を求める問題も出せる．すなわち，β=36°とすると，5β=180°すなわち2β+3β=180°となることを利用して，sin36°, cos36°を求めることができる．
　72°についても同様

【問題6】
　α=18°とすると，5α=90°すなわち2α+3α=90°となることを利用して，sin18°, cos18°を求めてください．

　cos3α=cos(90°−2α)
　cos3α=sin2α
左辺は3倍角公式により，右辺は2倍角公式により変形する
　4cos3α−3cosα=2sinαcosα
cosα>0だから，両辺をこれで割ると
　4cos2α−3=2sinα
　4(1−sin2α)−3=2sinα
sinα=s(>0)とおくと
　4(1−s2)−3=2s
　4s2+2s−1=0
解の公式で解くと
　$s={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}}$
s>0だから
　$\sin {18}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$
　$\cos {18}^{\circ }=\sqrt{1-({\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}{)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$
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【問題7】
　β=36°とすると，5β=180°すなわち2β+3β=180°となることを利用して，sin36°, cos36°を求めてください．

　cos3β=cos(180°−2β)
　cos3β=−cos2β
左辺は3倍角公式により，右辺は2倍角公式により変形する
　4cos3β−3cosβ=−(2cos2β−1)
　4cos3β+2cos2β−3cosβ−1=0
cosβ=c(>0)とおくと
　4c3+2c2−3c−1=0
c=−1のとき，左辺は0となるから，因数定理を用いて因数分解する
　(c+1)(4c2−2c−1)=0
c>0だから，第2因数を解の公式で解くと
　$c={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{4}}$
c>0だから
　$\cos {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$
　$\sin {36}^{\circ }=\sqrt{1-({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}{)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}$
同様にして，γ=72°とすると，5γ=360°すなわち2γ+3γ=360°となることを利用して，sin72°, cos72°を求めることができる．ただし，これらの値は，問題4で得られた結果を入れ替えたもの：sin72°=cos18°, cos72°=sin18°に等しい
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