三角形の証明問題と形状問題

大きな区分

現在地と前後の項目

正の角・負の角/動径の表わす一般角/三角関数の定義 /(第2象限) /(第3象限) /(第4象限) /(まとめ)/弧度法の単位：ラジアン/三角関数の値(よく使う角度)/sin(π+θ)など/三角方程式　/三角不等式/三角関数のグラフ(sinθの平行移動)/(cosθの平行移動)/sin(θ－α)のグラフ（解説）/(振幅)/(周期)/(周期と振幅)/三角関数のグラフ(総合1)/三角関数のグラフ(総合2)/加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式/加法定理の練習問題/２倍角公式.半角公式/加法定理の数値計算/積和.和積の公式/練習問題2/練習問題3/練習問題4/合成公式/三角不等式/三角関数（まとめ）/[センター]積和の公式/[センター]合成公式/三角関数公式一覧/三角関数公式プラス/三角形の証明・形状問題/センター試験.三角関数(2015年～)/

== 三角形の証明問題と形状問題(よく出るもの) ==

証明問題

数学Ⅰの正弦定理で解けるもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■

a (\sin B + \sin C) = (b + c) \sin A

…(1.1)

(a - b) \sin C + (b - c) \sin A + (c - a) \sin B = 0

…(1.2)

c (\sin^{2} A + \sin^{2} B) = \sin C (a \sin A + b \sin B)

…(1.3)

（解説）

三角関数を使った式，例えばsinAsin(B+C)は一般に変形しにくく，辺を使った式，例えばa(b+c)は展開しやすいので，なるべく辺だけで表すようにします．
ここでは，正弦定理

\frac{a}{\sin A} = 2 R

を変形して

\sin A = \frac{a}{2 R}

として使うとよいでしょう．sinB, sinCも同様です．
このとき，一時的に外接円の半径Rが登場しますが，両辺や分母・分子に対等に表れるので，問題ありません．

※以下において，式(m.n)←という記号は，式(m.n)の証明という意味です

(1.1)←

\sin A = \frac{a}{2 R}, \sin B = \frac{b}{2 R}, \sin C = \frac{c}{2 R}

を代入すると
（左辺）＝

a (\frac{b}{2 R} + \frac{c}{2 R}) = \frac{a (b + c)}{2 R}

（右辺）＝

(b + c) \frac{a}{2 R} = \frac{a (b + c)}{2 R}

よって，等式(1.1)が成り立つ

(1.2)←

\sin A = \frac{a}{2 R}, \sin B = \frac{b}{2 R}, \sin C = \frac{c}{2 R}

を代入すると
（左辺）＝

(a - b) \frac{c}{2 R} + (b - c) \frac{a}{2 R} + (c - a) \frac{b}{2 R}

= \frac{1}{2 R} (a c - b c + a b - a c + b c - a b) = 0

よって，等式(1.2)が成り立つ

(1.3)←

\sin A = \frac{a}{2 R}, \sin B = \frac{b}{2 R}, \sin C = \frac{c}{2 R}

を代入すると
（左辺）＝

c (\sin^{2} A + \sin^{2} B) = c (\frac{a^{2}}{4 R^{2}} + \frac{b^{2}}{4 R^{2}})

= \frac{c (a^{2} + b^{2})}{4 R^{2}}

（右辺）＝

\frac{c}{2 R} (a \frac{a}{2 R} + b \frac{b}{2 R}) = \frac{c (a^{2} + b^{2})}{4 R^{2}}

よって，等式(1.3)が成り立つ

数学Ⅰの余弦定理で解けるもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 (b c \cos A + c a \cos B + a b \cos C)

…(2.1)

a (b \cos C - c \cos B) = b^{2} - c^{2}

…(2.2)

\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a b c}

…(2.3)

a (\cos B - \cos C) = (c - b) (1 + \cos A)

…(2.4)

三角関数を使った式，例えばcosAcos(B+C)は一般に変形しにくく，辺を使った式，例えばa(b+c)は展開しやすいので，なるべく辺だけで表すようにします．
ここでは，余弦定理

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A

を変形して

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

として使うとよいでしょう．cosB, cosCも同様です．

（解説）
(2.1)←

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, \cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

を代入すると
（右辺）

= 2 (b c \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + c a \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} + a b \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b})

= b^{2} + c^{2} - a^{2} + c^{2} + a^{2} - b^{2} + a^{2} + b^{2} - c^{2}

= a^{2} + b^{2} + c^{2} =

（左辺）
よって等式(2.1)が成り立つ

(2.2)←

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, \cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

を代入すると
（左辺）

= a (b \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} - c \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a})

= \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2} - c^{2} - a^{2} + b^{2}}{2} = b^{2} - c^{2} =

（右辺）
よって等式(2.2)が成り立つ

(2.3)←

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, \cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

を代入すると
（左辺）

= \frac{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}{a} + \frac{\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}}{b} + \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}}{c}

= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} + c^{2} + a^{2} - b^{2} + a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b c}

= \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a b c} =

（右辺）
よって等式(2.3)が成り立つ

(2.4)←

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, \cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

を代入すると
（左辺）＝

a (\cos B - \cos C)

= a (\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b})

= \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c} - \frac{a^{2} + B b^{2} - c^{2}}{2 b}

= \frac{b c^{2} + a^{2} b - b^{3} - a^{2} c - b^{2} c + c^{3}}{2 b c}

= \frac{1}{2 b c} {(a^{2} b - a^{2} c) + (b c^{2} - b^{3} - b^{2} c + c^{3})}

= \frac{1}{2 b c} {a^{2} (b - c) + (b c^{2} + c^{3}) - (b^{3} + b^{2} c)}

= \frac{1}{2 b c} {a^{2} (b - c) + c^{2} (b + c) - b^{2} (b + c)}

= \frac{1}{2 b c} {a^{2} (b - c) + (c^{2} - b^{2}) (b + c)}

= \frac{1}{2 b c} {a^{2} (b - c) + (c - b) (b + c)^{2}}

= \frac{b - c}{2 b c} {a^{2} - (b + c)^{2}}

= \frac{(b - c) (a + b + c) (a - b - c)}{2 b c}

（右辺）＝

(c - b) (1 + \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})

= (c - b) \frac{2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

= (c - b) \frac{(b + c)^{2} - a^{2}}{2 b c}

= \frac{(c - b) (a + b + c) (b + c - a)}{2 b c}

よって等式(2.4)が成り立つ

数学Ⅰの正弦定理・余弦定理で解けるもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■

\frac{a \sin C}{b - a \cos C} = \tan A

…(3.1)

\frac{a - c \cos B}{b - c \cos A} = \frac{\sin B}{\sin A}

…(3.2)

a \cos A \sin C = (b - a \cos C) \sin A

…(3.3)

\frac{\tan B}{\tan C} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a^{2} - b^{2} + c^{2}}

…(3.4)

\frac{b^{2} - c^{2}}{\tan A} + \frac{c^{2} - a^{2}}{\tan B} + \frac{a^{2} - b^{2}}{\tan C} = 0

…(3.5)

(- a^{2} + b^{2} + c^{2}) \tan A = (a^{2} - b^{2} + c^{2}) \tan B

= (a^{2} + b^{2} - c^{2}) \tan C

…(3.6)

（解説）

\sin A = \frac{a}{2 R}, \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを用いて角度の式を辺の式に直すのが基本です．

(3.1)←
（左辺）＝

\frac{a \frac{c}{2 R}}{b - a \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}} = \frac{\frac{a c}{2 R}}{\frac{2 b^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 b}}

= \frac{a c}{2 R} \cdot \frac{2 b}{b^{2} - a^{2} + c^{2}} = \frac{a b c}{R (b^{2} + c^{2} - a^{2})}

（右辺）＝

\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{a}{2 R}}{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}} = \frac{a}{2 R} \cdot \frac{2 b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}

= \frac{a b c}{R (b^{2} + c^{2} - a^{2})}

よって等式(3.1)が成り立つ

(3.2)←
（左辺）＝

\frac{a - c \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}}{b - c \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}} = \frac{\frac{2 a^{2} - c^{2} - a^{2} + b^{2}}{2 a}}{\frac{2 b^{2} - b^{2} - c^{2} + a^{2}}{2 b}}

= \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a}}{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 b}} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a} \cdot \frac{2 b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} = \frac{b}{a}

（右辺）＝

\frac{\frac{b}{2 R}}{\frac{a}{2 R}} = \frac{b}{2 R} \cdot \frac{2 R}{a} = \frac{b}{a}

よって等式(3.2)が成り立つ

(3.3)←
（左辺）＝

a \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \cdot \frac{c}{2 R} = \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{4 R b}

（右辺）＝

(b - a \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}) \frac{a}{2 R}

= \frac{2 b^{2} - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 b} \cdot \frac{a}{2 R} = \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{4 R b}

よって等式(3.3)が成り立つ

(3.4)←
（左辺）＝

\frac{\frac{\sin B}{\cos B}}{\frac{\sin C}{\cos C}} = \frac{\sin B}{\cos B} \cdot \frac{\cos C}{\sin C}

= \frac{\frac{b}{2 R}}{\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}} \cdot \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}}{\frac{c}{2 R}}

= \frac{b}{2 R} \cdot \frac{2 c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \cdot \frac{2 R}{c} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}

＝（右辺）
よって等式(3.4)が成り立つ

(3.5)←
（左辺）＝

\frac{b^{2} - c^{2}}{\frac{\sin A}{\cos A}} + \frac{c^{2} - a^{2}}{\frac{\sin B}{\cos B}} + \frac{a^{2} - b^{2}}{\frac{\sin C}{\cos C}}

= (b^{2} - c^{2}) \frac{\cos A}{\sin A} + (c^{2} - a^{2}) \frac{\cos B}{\sin B} + (a^{2} - b^{2}) \frac{\cos C}{\sin C}

= (b^{2} - c^{2}) \frac{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}{\frac{a}{2 R}} + (c^{2} - a^{2}) \frac{\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}}{\frac{b}{2 R}}

+ (a^{2} - b^{2}) \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}}{\frac{c}{2 R}}

= \frac{2 R (b^{2} - c^{2}) (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{2 a b c}

+ \frac{2 R (c^{2} - a^{2}) (c^{2} + a^{2} - b^{2})}{2 a b c}

+ \frac{2 R (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{2 a b c}

= \frac{R}{a b c} {(b^{2} - c^{2}) (b^{2} + c^{2} - a^{2})

+ (c^{2} - a^{2}) (c^{2} + a^{2} - b^{2})

+ (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2})}

= \frac{R}{a b c} {(b^{2} - c^{2}) (b^{2} + c^{2}) - (b^{2} - c^{2}) a^{2}

+ (c^{2} - a^{2}) (c^{2} + a^{2}) - (c^{2} - a^{2}) b^{2}

+ (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) - (a^{2} - b^{2}) c^{2}}

= \frac{R}{a b c} {b^{4} - c^{4} - a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2}

+ c^{4} - a^{4} - b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}

+ a^{4} - b^{4} - a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} = 0

＝（右辺）
よって等式(3.5)が成り立つ

(3.6)←
（第１辺）＝

(- a^{2} + b^{2} + c^{2}) \frac{\sin A}{\cos A}

= (- a^{2} + b^{2} + c^{2}) \frac{\frac{a}{2 R}}{\frac{b^{2} c^{2} - a^{2}}{2 b c}}

= (- a^{2} + b^{2} + c^{2}) \cdot \frac{a}{2 R} \cdot \frac{2 b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} = \frac{a b c}{R}

（第２辺）＝

(a^{2} - b^{2} + c^{2}) \frac{\sin B}{\cos B}

= (a^{2} - b^{2} + c^{2}) \frac{\frac{b}{2 R}}{\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}}

= (a^{2} - b^{2} + c^{2}) \cdot \frac{b}{2 R} \cdot \frac{2 c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}} = \frac{a b c}{R}

（第３辺）＝

(a^{2} + b^{2} - c^{2}) \frac{\sin C}{\cos C}

= (a^{2} + b^{2} - c^{2}) \frac{\frac{c}{2 R}}{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}}

= (a^{2} + b^{2} - c^{2}) \cdot \frac{c}{2 R} \cdot \frac{2 a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} = \frac{a b c}{R}

よって等式(3.6)が成り立つ

数学Ⅰで面積Sや内接円の半径rに関するもの

面積をS，外接円の半径をR，内接円の半径をr，

s = \frac{a + b + c}{2}

で表すとき

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■

S = 2 R^{2} \sin A \sin B \sin C

…(4.1)

S = \frac{1}{2} r (a + b + c) = r s

…(4.2)

S = R r (\sin A + \sin B + \sin C)

…(4.3)

S = \frac{a b c}{4 R}

…(4.4)

a b c = 2 (a + b + c) R r

…(4.5)

\frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} + \frac{1}{a b} = \frac{1}{2 r R}

…(4.6)

\sin A + \sin B + \sin C = \frac{4 s S}{a b c}

…(4.7)

(b^{2} + c^{2} - a^{2}) \tan A = 4 S

…(4.8)

\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s - a}

…(4.9)

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{9}{2 s}

…(4.10)

s^{2} ≧ 3 \sqrt{3} S

…(4.11)

（解説）
(4.1)←
教科書に書かれている，次の公式は前提とします．

S = \frac{1}{2} a b \sin C

この式に，正弦定理から得られる

a = 2 R \sin A, b = 2 R \sin B

を代入すると

S = \frac{1}{2} \times 2 R \sin A \cdot 2 R \sin B \sin C

= 2 R^{2} \sin A \sin B \sin C

よって等式(4.1)が成り立つ

(4.2)←
右図のように三角形を３つに分けると

S = \frac{1}{2} r a + \frac{1}{2} r b + \frac{1}{2} r c

= \frac{1}{2} r (a + b + c) = r s

よって等式(4.2)が成り立つ

(4.3)←
(4.2)に，正弦定理から得られる

a = 2 R \sin A, b = 2 R \sin B, c = 2 R \sin C

を代入すると

S = \frac{1}{2} r (2 R \sin A + 2 R \sin B + 2 R \sin C)

= R r (\sin A + \sin B + \sin C)

よって等式(4.3)が成り立つ

(4.4)←

S = \frac{1}{2} a b \sin C

に，正弦定理から得られる

\sin C = \frac{c}{2 R}

を代入すると

S = \frac{1}{2} a b \times \frac{c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R}

よって等式(4.4)が成り立つ

(4.5)←
(4.2)と(4.4)から

\frac{1}{2} r (a + b + c) = S = \frac{a b c}{4 R}

分母を払うと

2 R r (a + b + c) = a b c

よって等式(4.5)が成り立つ

(4.6)←
(4.5)の両辺を

2 R r a b c

で割ると

\frac{1}{2 R r} = \frac{a + b + c}{a b c}

\frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} + \frac{1}{a b} = \frac{1}{2 R r}

よって等式(4.6)が成り立つ

(4.7)←
(4.2)から

a + b + c = \frac{2 S}{r}

この式に，

a = 2 R \sin A, b = 2 R \sin B

を代入すると

2 R \sin A + 2 R \sin B + 2 R \sin C = \frac{2 S}{r}

\sin A + \sin B + \sin C = \frac{S}{R r}

(4.4)から

R = \frac{a b c}{4 S}

を代入すると

\sin A + \sin B + \sin C = \frac{S}{\frac{a b c}{4 S} \cdot r} = \frac{4 S^{2}}{a b c r}

(4.2)から
S=rs
を分子の１つのSに代入すると

\sin A + \sin B + \sin C = \frac{4 S r s}{a b c r} = \frac{4 s S}{a b c}

よって等式(4.7)が成り立つ

(4.8)←
（左辺）

= (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \frac{\sin A}{\cos A}

= (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \frac{\frac{a}{2 R}}{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}

= (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \times \frac{a}{2 R} \times \frac{2 b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}

= \frac{a b c}{R}

(4.4)から

\frac{a b c}{R} = 4 S

だから
（左辺）=S=（右辺）
よって等式(4.8)が成り立つ

(4.9)←
右図において，x, y, zで示した部分の長さはそれぞれ等しく
2x+2y+2z=a+b+c

x + y + z = \frac{a + b b + c}{2} = s

またa=y+zだから
x=s−a
右図において，頂点Aから内接円の中心に引いた線は∠Aの二等分線だから

\tan \frac{A}{2} = \frac{r}{x} = \frac{r}{s - a}

よって等式(4.9)が成り立つ

(4.10)←
三角形の３辺の長さは正だから，(相加平均)≧(相乗平均)の関係が成り立つ．

\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} ≧ \sqrt[3]{\frac{1}{a b c}} (> 0)

\frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c} (> 0)

両辺とも正だから，辺々掛けると

\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \times \frac{a + b + c}{3} ≧ 1

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{9}{a + b + c}

ここでa+b+c=2sだから

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ \frac{9}{2 s}

よって不等式(4.10)が成り立つ

(4.11)←
ヘロンの公式から

S = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}

S^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c)

…(*)
ここで，三角形の２辺の和は他の１辺よりも大きいから
b+c−a>0, c+a−b>0, a+b−c>0

s - a = \frac{b + c - a}{2} > 0

s - b = \frac{c + a - b}{2} > 0

s - c = \frac{a + b - c}{2} > 0

そこで，正の数s−a, s−b, s−cに(相加平均)≧(相乗平均)の関係を適用すると

(s - a) (s - b) (s - c) ≦ {\frac{(s - a) + (s - b) + (s - c)}{3}}^{3}

= {\frac{3 s - (a + b + c)}{3}}^{3} = (\frac{3 s - 2 s}{3})^{3} = (\frac{s}{3})^{3} = \frac{s^{3}}{27}

(*)から

S^{2} ≦ s \times \frac{s^{3}}{27}

S^{2} ≦ \frac{s^{4}}{27}

s^{2} ≧ 3 \sqrt{3} S

よって不等式(4.11)が成り立つ

数学Ⅱの加法定理，倍角，半角公式に関するもの

■「次の等式を証明せよ」という問題の場合■

\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}

…(5.1)

\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C = 4 \sin A \sin B \sin C

…(5.2)

\cos A + \cos B + \cos C = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} + 1

…(5.3)

\cos 2 A + \cos 2 B + \cos 2 C = - 4 \cos A \cos B \cos C - 1

…(5.4)

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C

…(5.5)

\tan 2 A + \tan 2 B + \tan 2 C = \tan 2 A \tan 2 B \tan 2 C

…(5.6)

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1

…(5.7)

\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}

…(5.8)

(5.1)←

\sin A + \sin B + \sin C = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} + \sin C

= 2 \sin (\frac{π - C}{2}) \cos \frac{A - B}{2} + \sin C

= 2 \sin (\frac{π}{2} - \frac{C}{2}) \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}

= 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \sin \frac{C}{2})

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \sin \frac{π - A - B}{2})

= 2 \cos \frac{C}{2} {\cos \frac{A - B}{2} + \sin (\frac{π}{2} - \frac{A + B}{2})}

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} + \cos \frac{A + B}{2})

= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}

+ \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})

= 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}

よって等式(5.1)が成り立つ

(5.2)←

\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C

= 2 \sin (A + B) \cos (A - B) + \sin 2 C

= 2 \sin (π - C) \cos (A - B) + 2 \sin C \cos C

= 2 \sin C \cos (A - B) + 2 \sin C \cos C

= 2 \sin C {\cos (A - B) + \cos C}

= 2 \sin C {\cos (A - B) + \cos (π - A - B)}

= 2 \sin C {\cos (A - B) - \cos (A + B)}

= 4 \sin C \sin A \sin B

よって等式(5.2)が成り立つ

(5.3)←

\cos A + \cos B + \cos C

= 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} + \cos C

= 2 \cos \frac{π - C}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 1 - 2 \sin^{2} \frac{C}{2}

= 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A - B}{2} + 1 - 2 \sin^{2} \frac{C}{2}

= 2 \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} - \sin \frac{C}{2}) + 1

= 2 \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} - \sin \frac{π - A - B}{2}) + 1

= 2 \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A - B}{2} - \cos \frac{A + B}{2}) + 1

= 2 \sin \frac{C}{2} (- 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{- B}{2}) + 1

= 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} + 1

よって等式(5.3)が成り立つ

(5.4)←

\cos 2 A + \cos 2 B + \cos 2 C

= 2 \cos (A + B) \cos (A - B) + \cos 2 C

= 2 \cos (π - C) \cos (A - B) + \cos 2 C

= - 2 \cos C \cos (A - B) + 2 \cos^{2} C - 1

= 2 \cos C {\cos C - \cos (A - B)} - 1

= 2 \cos C {\cos (π - A - B) - \cos (A - B)} - 1

= 2 \cos C {- \cos (A + B) - \cos (A - B)} - 1

= - 2 \cos C {\cos (A + B) + \cos (A - B)} - 1

= - 2 \cos C (2 \cos A \cos B) - 1

= - 4 \cos A \cos B \cos C - 1

よって等式(5.4)が成り立つ

(5.5)←

= \tan A = \tan (π - B - C) = - \tan (B + C)

= - \frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B \tan C}

分母を払うと

\tan A (1 - \tan B \tan C) = - \tan B - \tan C

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C

よって等式(5.5)が成り立つ

(5.6)←

\tan 2 A = \tan (2 π - 2 B - 2 C) = - \tan (2 B + 2 C)

= - \frac{\tan 2 B + \tan 2 C}{1 - \tan 2 B \tan 2 C}

分母を払うと

\tan 2 A (1 - \tan 2 B \tan 2 C) = - \tan 2 B - \tan 2 C

\tan 2 A + \tan 2 B + \tan 2 C = \tan 2 A \tan 2 B \tan 2 C

よって等式(5.6)が成り立つ

(5.7)←

\tan (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}}

\tan (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan (\frac{π}{2} - \frac{C}{2}) = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}

したがって

\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}

分母を払うと

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1

よって等式(5.7)が成り立つ

(5.8)←
(5.7)の両辺を

\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}

で割ると得られる

形状問題

数学Ⅰの正弦定理で解けるもの

■「次の等式が成り立つとき，この三角形ABCはどのような形の三角形か」という問題の場合■

a \sin A = b \sin B + c \sin C

…(6.1)

\sin^{2} A = \sin^{2} B + \sin^{2} C

…(6.2)

a \sin A = (b + c) (\sin B - \sin C)

…(6.3)

(\sin A + \sin B + \sin C) (\sin B + \sin C - \sin A)

= 3 \sin B \sin C

…(6.4)

(b - c) \cos^{2} A = b \cos^{2} B - c \cos^{2} C

…(6.5)

三角形の形状問題も，角度に関する式を辺に関する式に直してから考えるのが基本です．
a=bなどa=bの→二等辺三角形
a2=b2+c2など→∠A=90°の直角三角形
などど答えます．
（単に「二等辺三角形」と答えると，どの２辺が等しいのか分かりませんので，等しい２辺も書くようにします．）
a2=b2+c2などは，辺に関する式から角に関する結論を出すものですが，これは中学校で習う三平方の定理の逆なので，簡単に分かるでしょう．
　詳しく言えば，

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = 0

からA=90°ということですが，このように基本に立ち帰って考える練習をしておくと，次のような応用的な問題でも対応できるようになります．
a2=b2+c2+bcならば

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{- b c}{2 b c} = - \frac{1}{2} \to A = 120^{\circ}

などと答えることができます．

※以下において，式(m.n)→という記号は，式(m.n)を変形するという意味です

（解説）
(6.1)→

a \sin A = b \sin B + c \sin C

に

\sin A = \frac{a}{2 R}

などを代入すると

a \times \frac{a}{2 R} = b \times \frac{b}{2 R} + c \times \frac{c}{2 R}

a^{2} = b^{2} + c^{2}

∠A=90°の直角三角形…(答)

(6.2)→

\sin^{2} A = \sin^{2} B + \sin^{2} C

に

\sin A = \frac{a}{2 R}

などを代入すると

(\frac{a}{2 R})^{2} = (\frac{b}{2 R})^{2} + (\frac{c}{2 R})^{2}

a^{2} = b^{2} + c^{2}

∠A=90°の直角三角形…(答)

(6.3)→

a \sin A = (b + c) (\sin B - \sin C)

に

\sin A = \frac{a}{2 R}

などを代入すると

a \times \frac{a}{2 R} = (b + c) (\frac{b}{2 R} - \frac{c}{2 R})

a^{2} = b^{2} - c^{2}

a^{2} + c^{2} = b^{2}

∠B=90°の直角三角形…(答)

(6.4)→

(\sin A + \sin B + \sin C) (\sin B + \sin C - \sin A)

= 3 \sin B \sin C

に

\sin A = \frac{a}{2 R}

などを代入すると

(\frac{a}{2 R} + \frac{b}{2 R} + \frac{c}{2 R}) (\frac{b}{2 R} + \frac{c}{2 R} - \frac{a}{2 R}) = 3 \frac{b}{2 R} \cdot \frac{c}{2 R}

{(b + c) + a} {(b + c) - a} = 3 b c

(b + c)^{2} - a^{2} = 3 b c

b^{2} + 2 b c + c^{2} - a^{2} = 3 b c

b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b c}{2 b c} = \frac{1}{2}

∠A=60°の三角形…(答)

(6.5)→

※一般には，

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを使って，角を辺に直すのが基本ですが，この問題のように

\cos^{2} A

がある場合には，その式が複雑になりすぎます．
次のように，

\cos^{2} A = 1 - \sin^{2} A

を使うともっと簡単にできます．

(b - c) (1 - \sin^{2} A) = b (1 - \sin^{2} B) - c (1 - \sin^{2} C)

(b - c) (1 - \frac{a^{2}}{4 R^{2}}) = b (1 - \frac{b^{2}}{4 R^{2}}) - c (1 - \frac{c^{2}}{4 R^{2}})

b - c - \frac{a^{2} (b - c)}{4 R^{2}} = b - \frac{b^{3}}{4 R^{2}} - c + \frac{c^{3}}{4 R^{2}}

\frac{a^{2} (c - b)}{4 R^{2}} = \frac{c^{3}}{4 R^{2}} - \frac{b^{3}}{4 R^{2}}

a^{2} (c - b) = c^{3} - b^{3}

a^{2} (c - b) = (c - b) (c^{2} + b c + b^{2})

(c - b) (c^{2} + b c + b^{2} - a^{2}) = 0

c - b = 0

…(*)または

c^{2} + b^{2} - a^{2} = - b c

…(**)
(*)よりb=cの二等辺三角形
(**)より

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{- b c}{2 b c} = - \frac{1}{2}

∠A=120°の三角形
ゆえに，b=cの二等辺三角形または∠A=120°の三角形…(答)

数学Ⅰの余弦定理で解けるもの

■「次の等式が成り立つとき，この三角形ABCはどのような形の三角形か」という問題の場合■

c = 2 a \cos B

…(7.1)

a \cos B = b \cos A

…(7.2)

c a \cos A - b c \cos B = (a^{2} - b^{2}) \cos C

…(7.3)

b \cos C - c \cos B = a

…(7.4)

a \cos A + b \cos B = c \cos C

…(7.5)

\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}

…(7.6)

（解説）
(7.1)→

c = 2 a \cos B

に

\cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

を代入すると

c = 2 a \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

c^{2} = c^{2} + a^{2} - b^{2}

a^{2} = b^{2}

a, b > 0

だから
a=bの二等辺三角形…(答)

(7.2)→

a \cos B = b \cos A

に

\cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

などを代入すると

a \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = b \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

c^{2} + a^{2} - b^{2} = b^{2} + c^{2} - a^{2}

a^{2} = b^{2}

a, b>0だから
a=bの二等辺三角形…(答)

(7.3)→

c a \cos A - b c \cos B = (a^{2} - b^{2}) \cos C

に

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを代入すると

c a \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} - b c \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = (a^{2} - b^{2}) \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを代入すると

c a \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} - b c \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = (a^{2} - b^{2}) \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

a \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b} - b \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 a} = (a^{2} - b^{2}) \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) - b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2})

a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} - a^{4} - b^{2} c^{2} - b^{2} a^{2} + b^{4}

= a^{4} + a^{2} b^{2} - a^{2} c^{2} - a^{2} b^{2} - b^{4} + b^{2} c^{2}

2 a^{4} - 2 a^{2} c^{2} - 2 b^{4} + 2 b^{2} c^{2} = 0

a^{4} - a^{2} c^{2} - b^{4} + b^{2} c^{2} = 0

a^{4} - b^{4} - c^{2} (a^{2} - b^{2}) = 0

(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0

ゆえに，a=bの二等辺三角形または∠C=90°の直角三角形…(答)

(7.4)→

b \cos C - c \cos B = a

に

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

などを代入すると

b \times \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} - c \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = a

\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a} - \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 a} = a

(a^{2} + b^{2} - c^{2}) - (c^{2} + a^{2} - b^{2}) = 2 a^{2}

2 b^{2} = 2 a^{2} + 2 c^{2}

b^{2} = a^{2} + c^{2}

ゆえに，∠B=90°の直角三角形…(答)

(7.5)→

a \cos A + b \cos B = c \cos C

に

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを代入すると

a \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + b \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = c \times \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) = c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})

a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} - a^{4} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} - b^{4} = c^{2} a^{2} + b^{2} c^{2} - c^{4}

c^{4} = (a^{2} - b^{2})^{2}

(c^{2} + a^{2} - b^{2}) (c^{2} - a^{2} + b^{2}) = 0

ゆえに，∠A=90°の直角三角形または∠B=90°の直角三角形…(答)

(7.6)→

\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}

に

\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを代入すると

\frac{a}{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}} = \frac{b}{\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}} = \frac{c}{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}}

\frac{2 a b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} = \frac{2 a b c}{c^{2} + a^{2} - b^{2}} = \frac{2 a b c}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}

b^{2} + c^{2} - a^{2} = c^{2} + a^{2} - b^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2}

b^{2} + c^{2} - a^{2} = c^{2} + a^{2} - b^{2}

c^{2} + a^{2} - b^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2}

(連立！)

b^{2} + c^{2} - a^{2} = c^{2} + a^{2} - b^{2}

よりa=b

c^{2} + a^{2} - b^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2}

よりb=c
ゆえに，a=b=cとなって正三角形…(答)

数学Ⅰの正弦定理・余弦定理で解けるもの

■「次の等式が成り立つとき，この三角形ABCはどのような形の三角形か」という問題の場合■

2 \cos B \sin C = \sin A

…(8.1)

\sin A \cos B = \sin B \cos A

…(8.2)

\sin C + \sin B = \sin A (\cos C + \cos B)

…(8.3)

\sin A \cos A + \sin B \cos B = \sin C \cos C

…(8.4)

\tan A : \tan B = a^{2} : b^{2}

…(8.5)

\tan A \sin^{2} B = \tan B \sin^{2} A

…(8.6)

b^{2} \sin^{2} C + c^{2} \sin^{2} B = 2 b c \cos B \cos C

…(8.7)

（解説）
(8.1)→

2 \cos B \sin C = \sin A

に

\sin A = \frac{a}{2 R}, \cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

などを代入すると

2 \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} \times \frac{c}{2 R} = \frac{a}{2 R}

c^{2} + a^{2} - b^{2} = a^{2}

c^{2} = b^{2}

ゆえに，b=cの二等辺三角形…(答)

(8.2)→

\sin A \cos B = \sin B \cos A

に

\sin A = \frac{a}{2 R}, \cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}

などを代入すると

\frac{a}{2 R} \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = \frac{b}{2 R} \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

c^{2} + a^{2} - b^{2} = b^{2} + c^{2} - a^{2}

2 a^{2} = 2 b^{2}

a^{2} = b^{2}

ゆえに，a=bの二等辺三角形…(答)
※この問題については，原式から

A \neq 90^{\circ}, B \neq 90^{\circ}

のとき

\tan A = \tan B

からA=Bを導く短縮答案が可能であるが，例外処理が長くなる
（A=90°のときは，原式から

\cos B = 0 \to B = 90^{\circ}

となって矛盾.B=90°のときも同様に矛盾．以上からA, B≠90°を言う）

(8.3)→

\sin C + \sin B = \sin A (\cos C + \cos B)

に

\sin C = \frac{c}{2 R}, \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

などを代入すると

\frac{c}{2 R} + \frac{b}{2 R} = \frac{a}{2 R} (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} + \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a})

c + b = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 b} + \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c}

2 b c (c + b) = c (a^{2} + b^{2} - c^{2}) + b (c^{2} + a^{2} - b^{2})

2 b^{2} c + 2 b c^{2} = a^{2} c + b^{2} c - c^{3} + b c^{2} + a^{b} - b^{3}

(b^{3} + b^{2} c + b c^{2} + c^{3}) - (a^{2} c + a^{2} b) = 0

b^{2} (b + c) + c^{2} (b + c) - a^{2} (b + c) = 0

(b + c) (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 0

b+c>0により，∠A=90°の直角三角形…(答)

(8.4)→

\sin A \cos A + \sin B \cos B = \sin C \cos C

に

\sin A = \frac{a}{2 R}, \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを代入すると

\frac{a}{2 R} \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + \frac{b}{2 R} \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = \frac{c}{2 R} \times \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

\frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{b c} + \frac{b (c^{2} + a^{2} - b^{2})}{c a} = \frac{c (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{a b}

a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) = c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})

a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} - a^{4} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} - b^{4} = c^{2} a^{2} + b^{2} c^{2} - c^{4}

a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2} - c^{4} = 0

(a^{2} - b^{2})^{2} - c^{4} = 0

(a^{2} - b^{2} + c^{2}) (a^{2} - b^{2} - c^{2}) = 0

a^{2} + c^{2} = b^{2}

または

a^{2} = b^{2} + c^{2}

ゆえに，∠A=90°の直角三角形または∠B=90°の直角三角形…(答)

(8.5)→

\tan A : \tan B = a^{2} : b^{2}

\frac{\sin A}{\cos A} : \frac{\sin B}{\cos B} = a^{2} : b^{2}

に

\sin A = \frac{a}{2 R}, \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを代入すると

\frac{\frac{a}{2 R}}{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}} : \frac{\frac{b}{2 R}}{\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}} = a^{2} : b^{2}

\frac{a}{2 R} \times \frac{2 b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} \times b^{2} = \frac{b}{2 R} \times \frac{2 c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}} \times a^{2}

b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) = a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2})

b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} - b^{4} = a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} - a^{4}

a^{4} - b^{4} - a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} = 0

(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) - c^{2} (a^{2} - b^{2}) = 0

(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0

ゆえに，a=bの二等辺三角形または∠C=90°の直角三角形…(答)

(8.6)→

\tan A \sin^{2} B = \tan B \sin^{2} A

\frac{\sin A}{\cos A} \sin^{2} B = \frac{\sin B}{\cos B} \sin^{2} A

\sin A, \sin B > 0

により，両辺を

\sin A \cdot \sin B > 0

で割ると

\frac{\sin B}{\cos A} = \frac{\sin A}{\cos B}

\sin B \cos B = \sin A \cos A

この式に

\sin A = \frac{a}{2 R}, \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

などを代入すると

\frac{b}{2 R} \times \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a} = \frac{a}{2 R} \times \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

\frac{b (c^{2} + a^{2} - b^{2})}{a} = \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{b}

b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) = a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2})

b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2} - b^{4} = a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} - a^{4}

a^{4} - b^{4} + b^{2} c^{2} - a^{2} c^{2} = 0

(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) + c^{2} (b^{2} - a^{2}) = 0

(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = 0

ゆえに，a=bの二等辺三角形または∠C=90°の直角三角形…(答)

(8.7)→

※普通に変形すると，左辺に2Rが残ってしまうので，これを避けるために一時的に

\sin^{2} C

などを

1 - \cos^{2} C

で表してみる

b^{2} (1 - \cos^{2} C) + c^{2} (1 - \cos^{2} B) = 2 b c \cos B \cos C

b^{2} + c^{2} = b^{2} \cos^{2} C + 2 b c \cos B \cos C + c^{2} \cos^{2} B

b^{2} + c^{2} = (b \cos C + c \cos B)^{2}

ここで，第1余弦定理により

b \cos C + c \cos B = a

だから

b^{2} + c^{2} = a^{2}

ゆえに，∠A=90°の直角三角形…(答)

...メニューに戻る

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△【アンケート送信】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります