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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「高次方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓複素数の定義・計算
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓複素数の対称式,値の代入
↓複素数のいろいろな問題-現在地
↓共役複素数
↓２次方程式の解の公式
↓同(2)
↓解と係数の関係
↓判別式
↓二直線を表す方程式
↓剰余の定理
↓同(2)
↓同(3)
↓試験問題(剰余の定理)
↓因数定理
↓高次方程式
↓3次方程式の解と係数の関係
↓同(2)
↓１の虚数３乗根ω
実係数方程式，有理係数方程式

【複素数の相等】
a, b, c, dは実数とするとき
a+bi=c+di ⇔ a=c, b=d
特に
a+bi=0 ⇔ a=b=0
※上記の式は，「複素数の実部と虚部がそれぞれ等しい」とき，「２つの複素数は等しい」といい，等号（＝）を使って表す，という定義を述べたものなので，この式に対する証明というものは考えない．

　　《難易度の目安》
教科書レベルの基本問題★
参考書などでよく出る問題★★
大学入試問題★★★

【例1】　★
　次の等式が成り立つように，実数a, bの値を定めてください．
(a+bi)(1−i)=1+5i

以下の問題において，見ているだけでは解説は出ません．採点すれば解説が読めます．

（解答）
両辺を実部と虚部に分けて比較する
2a+3ai+2bi+3bi2=1+8i
(2a−3b)+(3a+2b)i=1+5i
2a−3b=1
3a+2b=8
この連立方程式を解くと
a=2, b=1…（答）
（別解）方程式というよりは，単なる計算問題にする
${\displaystyle a+bi=\frac{1+8i}{2+3i}=\frac{(1+8i)(2-3i)}{2^2+3^2}}$
${\displaystyle =\frac{2+16i-3i+24}{13}=\frac{26+13i}{13}=2+i}$
a=2, b=1…（答）
→解答を隠す←

（解答）
（左辺）＝${\displaystyle \frac{a}{1+2i}+\frac{b}{1-2i}=\frac{a(1-2i)}{(1-2i)(1+2i)}+\frac{b(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}$
${\displaystyle =\frac{a(1-2i)}{1-4i^2}+\frac{b(1+2i)}{1-4i^2}=\frac{a-2ai}{5}+\frac{b+2bi}{5}}$
${\displaystyle =\frac{(a+b)+2(-a+b)i}{5}}$
両辺を実部と虚部に分けて比較すると
a+b=4
−a+b=0
a=2, b=2…（答）
→解答を隠す←

（解答）
a(4+4i+i2)+b(4−4i+i2)=6
a(4+4i−1)+b(4−4i−1)=6
a(3+4i)+b(3−4i)=6
(3a+3b)+(4a−4b)i=6
3(a+b)=6
4(a−b)=0
すなわち
a+b=2
a=b
この連立方程式を解くと
a=1, b=1…（答）
→解答を隠す←

【複素数の実数条件ほか】
　${\displaystyle z}$を複素数，${\displaystyle \overline{z}}$をその共役複素数とするとき
(1)　${\displaystyle z}$が実数であるための必要十分条件は
${\displaystyle z=\overline{z}}$
(2)　${\displaystyle z}$が純虚数であるための必要十分条件は
${\displaystyle z+\overline{z}=0}$

【例2】　★
　次の式が実数となるように実数xの値を定めてください．
(x+2i)(1−i)

（解答）
${\displaystyle \frac{4+2i}{a-i}=\frac{(4+2i)(a+i)}{(a-i)(a+i)}}$
${\displaystyle =\frac{4a+2ai+4i+2i^2}{a^2-i^2}=\frac{(4a-2)+(2a+4)i}{a^2+1}}$
この式が実数になるには
2a+4=0
a=−2…（答）
（別解）
この問題を，複素数の実数条件（z=z）を使って解くこともできるが，次のようにやや長い答案になる．
${\displaystyle \frac{4+2i}{a-i}=\overline{(\frac{4+2i}{a-i})}}$
複素数の実数条件で述べた(1)と(#3)の公式を使って，右辺を変形すると
${\displaystyle \overline{(\frac{4+2i}{a-i})}=\frac{\overline{4+2i}}{\overline{a-i}}=\frac{4-2i}{a+i}}$
したがって
${\displaystyle \frac{4+2i}{a-i}=\frac{4-2i}{a+i}}$
分母を払うと
${\displaystyle (4+2i)(a+i)=(4-2i)(a-i)}$
${\displaystyle \cancel{4a}+2ai+4i+\cancel{2i^2}=\cancel{4a}-2ai-4i+\cancel{2i^2}}$
${\displaystyle 4ai+8i=0}$
${\displaystyle 4(a+2)i=0}$
a=−2…（答）
→解答を隠す←

（解答）
${\displaystyle \frac{1+i}{a+i}=\frac{(1+i)(a-i)}{(a+i)(a-i)}}$
${\displaystyle =\frac{a+ai-i-i^2}{a^2-i^2}=\frac{(a+1)+(a-1)i}{a^2+1}}$
この式が純虚数になるには
a+1=0
a=−1…（答）
（別解）
この問題を，複素数の純虚数条件（z+z=0）を使って解くこともできるが，次のようにやや長い答案になる．
${\displaystyle \frac{1+i}{a-i}+\overline{(\frac{1+i}{a-i})}=0}$
複素数の実数条件で述べた(2)と(#3)の公式を使って，第２項を変形すると
${\displaystyle \frac{1+i}{a-i}+\frac{1-i}{a+i}=0}$
分母を払う
${\displaystyle (1+i)(a+i)+(1-i)(a-i)=0}$
${\displaystyle a+i+ai+i^2+a-i-ai+i^2=0}$
${\displaystyle 2a+2=0}$
a=−1…（答）
→解答を隠す←

（解答）
xを実数解とすると
(x2+ax+2)−(x2+x+2a)i=0
となるから，実部，虚部を分けると
x2+ax+2=0…(1)
x2+x+2a=0…(2)
(1)−(2)により必要条件を絞る
x2+ax+2=0
) x2+x+2a=0
(a−1)x+2(1−a)=0
(a−1)(x−2)=0
ア） a=1のとき，(1)(2)から
x2+x+2=0
この２次方程式は，判別式がD=1−8<0となって実数解をもたないから，a=1は不適当
イ） a≠1のとき，x=2を(1)(2)に代入すると
2a+6=0
a=−3…（答）
→解答を隠す←

【複素数の値の代入】
　「x=a+biのとき，cx4+dx3+···+ex+fの値を求めよ」という形の問題では，xの値を3次式，4次式などに直接代入して「体力仕事」「根性物語」で答を出すこともできますが，そのやり方は「美的でない」「計算が複雑で間違いやすい」などの事情があって，歓迎されません．（部分点となる場合でも低評価です）．
　この形の問題では，xが満たす２次方程式などを利用して，下の例3のように「商と余りに分けて」，次数の低い「余りに代入する」というのが，昔からある十八番おはこ問題です．

【例3】　★★
　${\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$のとき，${\displaystyle x^3+4x^2-4x+5}$の値を求めてください．

（解答）
${\displaystyle x=1+\sqrt{2}i\leftrightarrow x-1=\sqrt{2}i\to (x-1{)}^2=(\sqrt{2}i{)}^2}$
${\displaystyle \leftrightarrow x^2-2x+1=-2\leftrightarrow x^2-2x+3=0}$
${\displaystyle x^3-x^2-x-1=(x^2-2x+3)(x+1)-2x-4}$
${\displaystyle =-2x-4=-2(1+\sqrt{2}i)-4=-6-2\sqrt{2}i}$…（答）
→解答を隠す←

（解答）
${\displaystyle z=-\sqrt{5}+i\leftrightarrow z+\sqrt{5}=i\to (z+\sqrt{5}{)}^2=i^2}$
${\displaystyle \leftrightarrow z^2+2\sqrt{5}z+5=-1\leftrightarrow z^2+2\sqrt{5}z+6=0}$
次に
${\displaystyle z^4+\sqrt{5}{z}^3+z^2+4\sqrt{5}z}$
${\displaystyle =(z^2+2\sqrt{5}z+6)(z^2-\sqrt{5}z+5)-30}$
だから
${\displaystyle z^4+\sqrt{5}{z}^3+z^2+4\sqrt{5}z=-30}$…（答）
→解答を隠す←

（解答）
${\displaystyle \alpha =2-\sqrt{3}i}$のとき
${\displaystyle \alpha -2=-\sqrt{3}i\to (\alpha -2{)}^2=(-\sqrt{3}i{)}^2}$
${\displaystyle \leftrightarrow {\alpha }^2-4\alpha +4=3i^2=-3}$
${\displaystyle \leftrightarrow {\alpha }^2-4\alpha +7=0}$
このとき
${\displaystyle {\alpha }^3-5{\alpha }^2+13\alpha -6=({\alpha }^2-4\alpha +7)(\alpha -1)+2\alpha +1}$
${\displaystyle =2\alpha +1=2(2-\sqrt{3}i)+1=5-2\sqrt{3}i}$ …（答）
→解答を隠す←